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Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o Prof. Dr. Josinaldo Menezes EC&T - UFRN 16 de maio de 2013 Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 1 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Seja uma func¸a˜o racional f(x)g(x) , se 1 a frac¸a˜o for pro´pria, ou seja, se o grau de f(x) for menor que g(x) 2 conhecemos os fatores de g(x) fazemos o procedimento ilustrado nos exemplos a seguir: Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 2 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Exemplo 1: Calcular ∫ x2+4 x+1 (x−1)(x+1)(x+3) dx Decompomos a frac¸a˜o em frac¸o˜es parciais: x2 + 4x+ 1 (x− 1)(x+ 1)(x+ 3) = A x− 1 + B x+ 1 + C x+ 3 (1) onde A, B e C sa˜o determinados fazendo-se x2 + 4x+ 1 = A(x+ 1)(x+ 3) +B(x− 1)(x+ 3) (2) + C(x− 1)(x+ 1) (3) = (A+B + C)x2 + (4A+ 2B)x (4) + (3A− 3B − C) (5) ou seja, A+B + C = 14A+ 2B = 43A− 3B − C = 1 que nos da´ A = 34 , B = 1 2 e C = − 14 . Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 3 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais A integral e´ enta˜o∫ x2 + 4x+ 1 (x− 1)(x+ 1)(x+ 3) dx (6) = ∫ (3 4 1 x− 1 + 1 2 1 x+ 1 − 1 4 1 x+ 3 ) dx (7) = 3 4 ln |x− 1|+ 1 2 ln |x+ 1| − 1 4 ln |x+ 3|+K. (8) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 4 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Exemplo 2: Calcular ∫ 6x+7 (x+2)2 dx 6x+ 7 (x+ 2)2 = A x+ 2 + B (x+ 2)2 (9) onde 6x+ 7 = A(x+ 2) +B (10) = Ax+ (2A+B). (11) ou seja, { A = 6 2A+B = 7 resultando A = 6 e B = −5. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 5 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais A integral e´ ∫ 6x+ 7 (x+ 2)2 = ∫ 6 x+ 2 dx− ∫ 5 (x+ 2)2 dx (12) = 6 ln |x+ 2| − 5 x+ 2 + C. (13) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 6 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Exemplo 3: Calcular ∫ 2x3−4 x2−x−3 x2−2 x−3 dx A frac¸a˜o impro´pria, por isso a escrevemos com a soma de um polinoˆmio com uma frac¸a˜o pro´pria∫ 2x3 − 4x2 − x− 3 x2 − 2x− 3 dx = ∫ 2xdx+ ∫ 5x− 3 x2 − 2x− 3 dx (14) Resolvemos separadamente: 1 Z 2xdx = x2 + C1 (15) 2 Z 5x− 3 x2 − 2x− 3 dx = Z A x+ 1 + B x− 3 = Z 2 x+ 1 + 3 x− 3 = 2 ln |x+ 1|+ 3 ln |x− 3|+ C2 resultando A = 6 e B = −5. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 7 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Assim,∫ 2x3 − 4x2 − x− 3 x2 − 2x− 3 dx = x 2 + 2 ln |x+ 1|+ 3 ln |x− 3|+ C onde C = C1 + C2. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 8 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Exemplo 4: ∫ −2x+4 (x2+1)(x−1)2 dx O denominador possui um fator quadra´tico irredut´ıvel. Assim, −2x+ 4 (x2 + 1)(x− 1)2 = Ax+B x2 + 1 + C x− 1 + D (x− 1)2 ou seja, −2x+ 4 = (Ax+B)(x− 1)2 + C(x− 1)(x2 + 1) +D(x2 + 1) = (A+ C) (x− 1)2 + (−2A+B − C +D)x2 + (A− 2B + C)x+ (B − C +D). ou seja, A = 2 B = 1 C = −2 D = 1 Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 9 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais A integral e´ enta˜o,∫ −2x+ 4 (x2 + 1)(x− 1)2 dx = ∫ ( 2x+ 1 x2 + 1 − 2 x− 1 + 1 (x− 1)2 ) dx = ∫ ( 2x x2 + 1 + 1 x2 + 1 − 2 x− 1 + 1 (x− 1)2 ) dx = 2 ln(x2 + 1) + tg−1 x− 2 ln |x− 1| − 1 x− 1 + C. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 10 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais O me´todo de Heaviside O me´todo de Heaviside Exemplo 5: Encontrando A, B e C na decomposic¸a˜o de frac¸o˜es parciais usando o me´todo de Heaviside x2 + 1 (x− 1)(x− 2)(x− 3) = A x− 1 + B x− 2 + C x− 3 . (16) Para encontrar A, ocultamos o primeiro termo e substituimos na expressa˜o a raiz escondida x = 1 A = 12 + 1 (1− 2)(1− 3) = 2 (−1)(−2) = 1 (17) Da mesma forma, para encontrar B, ocultamos o segundo termo e substituimos x = 2 B = 22 + 2 (2− 1)(2− 3) = 5 1(−1) = −5 (18) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 11 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais O me´todo de Heaviside Por fim, encontramos C ocultando o terceiro termo e substituindo x = 3 C = 32 + 1 (3− 1)(3− 2) = 10 2 = 5 (19) Conclusa˜o: x2 + 1 (x− 1)(x− 2)(x− 3) = 1 x− 1 − 5 x− 2 + 5 x− 3 . (20) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 12 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o Exemplo 6: Encontrando A, B e C na equac¸a˜o x− 1 (x+ 1)3 = A x+ 1 + B (x+ 1)2 + C (x+ 1)3 . (21) Eliminando as frac¸o˜es x− 1 = A(x+ 1)2 +B(x+ 1) + C. (22) Substituimos pela primeira vez a raiz x = −1 −x− 1 = C → C = −2 (23) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 13 / 24 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Encontrando os Coeficientes por Derivac¸a˜o Derivamos a equac¸a˜o com relac¸a˜o a x e substituimos a raiz x = −1 pela segunda vez 1 = 2A(x+ 1) +B (24) 1 = B → B = 1 (25) Repetimos o procedimento, derivando e substituindo a raiz 0 = 2A→ A = 0 (26) Conclusa˜o: x− 1 (x+ 1)3 = 2 (x+ 1)2 − 2 (x+ 1)3 . (27) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 14 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Substituic¸o˜es Trigonome´tricas As treˆs substituic¸o˜es ba´sicas sa˜o retiradas dos triaˆngulos retaˆngulos: Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 15 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Exemplo 7: Calcular ∫ dx√ 4+x2 . Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 16 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Utilizamos a substituic¸a˜o x = 2 tg θ e dx = 2 sec2 θdθ, com −pi2 ≤ θ ≤ pi2 . Assim, 4 + x2 = 4 + 4 tg2 θ = 4(1 + tg2 θ) = 4 sec2 θ. (28) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 17 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas A integral e´ ∫ dx√ 4 + x2 = ∫ 2 sec2 θ dθ√ 4 sec2 θ (29) = ∫ sec2 θ | sec θ| dθ = ∫ sec θdθ (30) = ln | sec θ + tg θ|+ C1 (31) = ln | √ 4 + x2 + x|+ C2. (32) onde C2 = C1 − ln 2. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 18 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Exemplo 8: Calcular ∫ x2 dx√ 9−x2 . Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 19 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Utilizamos a substituic¸a˜o x = 3 sen θ e dx = 3 cos θdθ, com −pi2 ≤ θ ≤ pi2 . Assim,9− x2 = 9− 9 sen2 θ = 9(1− sen2 θ) = 9 cos2 θ. (33) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 20 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Temos enta˜o a integral e´∫ x2 dx√ 9− x2 = ∫ (9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ√ 9 cos2 θ (34) = ∫ (9 sen2 θ) (3 cos θ) dθ |3 cos θ| dθ (35) = 9 ∫ sen2 θdθ (36) = 9 ∫ 1− cos(2θ) 2 dθ (37) = 9 2 ( θ − sen(2θ) 2 ) + C (38) = 9 2 (θ − sen θ cos θ) + C (39) = 9 2 ( sen−1 (x 3 ) − x √ 9− x2 9 ) + C. (40) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 21 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Exemplo 9: Calcular ∫ x2 dx√ 25 x2−4 . Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 22 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas Primeiro, reescrevemos o denominador como √ 25x2 − 4 = √ 25 ( x2 − 4 25 ) = 5 √ x2 − 4 25 . (41) Nesse caso, a substituic¸a˜o e´ x = 25 sec θ e dx = 2 5 sec θ tg θdθ, com−pi2 ≤ θ ≤ pi2 . Assim, x2 − 4 25 = 4 25 sec2 θ − 4 25 = 4 25 (sec2 θ − 1) = 4 25 tg2 θ. (42) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 23 / 24 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas A integral e´ ∫ dx√ 25x2 − 4 = ∫ dx 5 √ x2 − 425 (43) = ∫ 2 5 sec θ tg θ dθ 5 √ 4 25 tg 2 θ (44) = ∫ 2 5 sec θ tg θ dθ 5 25 tg θ (45) = 1 5 ∫ sec θdθ (46) = 1 5 ln | sec θ + tg θ|+ C (47) = 1 5 ln ∣∣5x 2 + √ 25x2 − 4 2 ∣∣+ C. (48) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 16 de maio de 2013 24 / 24 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais O método de Heaviside Encontrando os Coeficientes por Derivação Substituições Trigonométricas
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