Prova final - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Questão 1
Respondida
Para as funções logarítmica e exponencial há regras de derivações especificas, bem como regras específicas de acordo com o tipo de função construída. Por exemplo, a função fx=ln x possui sua derivada igual a 1x.
Com base nessas informações, seja a função dada por:
gx=ln 7x2-4
A derivada de 1ª ordem da função g é dada por:
· g'x=1x.
· g'x=14x7x2-4.
· g'x=114x.
· g'x=ex.
· g'x=17x2-4.
Sua resposta
g'x=14x7x2-4.
Calculando a derivada degx=ln 7x2-4pela regra da cadeia teremos:g'x=17x2-4⋅14x-0=14x7x2-4.
Questão 2
Respondida
Em uma loja que trabalha com roupas para cama, mesa e banho, o salário de um vendedor é calculado a partir de um valor fixo de R$ 1 200,00, acrescido de R$ 10,00 por mercadoria vendida em um mês, independentemente do preço do produto.
Suponha que em certo mês, o vendedor Lucas conseguiu concluir a venda de 10 toalhas, 15 colchas de cama e 5 cobertores.
Qual será o salário de Lucas no mês em questão?
· R$ 1 300,00.
· R$ 1 400,00.
· R$ 1 500,00.
· R$ 1 600,00.
· R$ 2 300,00.
Sua resposta
R$ 1 500,00.
O salário dos vendedores dessa loja é calculado a partir da quantidade de produtos vendidos no mês. Assim, para x produtos vendidos, o salário será de:Sx=1 200+10xSe Lucas vendeu 10+15+5=30 produtos, então seu salário será:S30=1 200+10⋅30=1 200+300=1 500Portanto, o salário de Lucas será de R$ 1 500,00.
Questão 3
Respondida
A partir do estudo do vértice de uma parábola é possível resolver problemas práticos que dependem da localização do máximo e do mínimo da função. Diante desse tema, considere a função f:ℝ→ℝ definida por fx=- 2x2-7x-3.
Assinale a alternativa que indica as coordenadas do vértice da função f:
· -1,75; 3,125.
· -3,5; -1,5.
· 0,5; 3.
· 1,75; 5,25.
· 3,5; 6,25.
Sua resposta
-1,75; 3,125.
Para fx=- 2x2-7x-3 temos a=-2, b=-7 e c=-3. Logo,Δ=-72-4⋅-2⋅-3=49-24=25Calculando as coordenadas do vértice, obtemos:xv=--72-2=-74=-1,75yV=-254-2=258=3,125.Portanto, o vértice tem coordenadas -1,75; 3,125.
Questão 4
Respondida
Há alguns testes que são realizados utilizando a derivada, como o teste da derivada primeira que nos diz onde uma função é crescente e onde é decrescente. Além disso, tal teste revela se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico.
Mediante essas informações considere a função:
fx=7x2+4x
Assinale a alternativa que forneça o(s) ponto(s) crítico(s) de f(x):
· x=0.
· x=27.
· x=14.
· x=-27.
· x=0 e x=-47.
Sua resposta
x=-27.
Para calcular os pontos críticos, devemos identificar x para que f'x=0. Assim,f'x=14x+4=014x=-4x=-414=-27Portanto, o ponto crítico de f é x=-27.
Questão 5
Respondida
Limites infinitos e limites no infinito são conceitos essenciais no estudo do cálculo, desempenhando um papel fundamental na compreensão do comportamento das funções à medida que suas variáveis independentes se aproximam de valores extremos.
Nesse contexto, seja f a função racional definida pela seguinte lei de formação:
fx=3x3+4x+25x3+1
Qual é o resultado do limite da função f apresentada quando x tende a valores muito grandes de x?
· 0.
· 0,5.
· 0,6.
· 0,7.
· ∞.
Sua resposta
0,6.
Calculando o limite de f quando x→∞ temos:limx→∞ 3x3+4x+25x3+1=limx→∞ 3+4x2+2x35+1x3=35=0,6Portanto, limx→∞ f(x)=0,6.
Questão 6
Sem resposta
Os limites no infinito podem ser aplicados quando desejamos determinar, por exemplo, qual é o comportamento de uma função que descreve a população de determinada espécie em uma região, dada em função do tempo, quando tomamos valores de tempo muito grandes. Nesse caso, é importante avaliar a existência de limites, as propriedades que podem ser aplicadas, não utilizando procedimentos que ocasionem em indeterminações.
Com base nesse tema, e considerando o estudo apenas dos valores positivos dos domínios das funções, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):
(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções polinomiais não constantes, independentemente do grau, o limite será sempre infinito.
(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções racionais, independentemente do grau, o limite será sempre constante e igual a zero.
(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para as funções trigonométricas seno e cosseno, o limite sempre será igual a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
· V – V – F.
· V – F – V.
· V – F – F.
· F – V – F.
· F – F – V.
Sua resposta
V – F – F.
(V) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções polinomiais não constantes, independentemente do grau, o limite será sempre infinito.Para uma função polinomial cuja lei de formação é fx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, com n inteiro positivo e coeficientes reais, temos que limx→∞ f(x)=∞, independentemente do grau do polinômio não constante associado a f.(F) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções racionais, independentemente do grau, o limite será sempre constante e igual a zero.Nem sempre o limite, no infinito, de funções racionais será igual a 0. Tomando, por exemplo, a função fx=3x+56x-8. Avaliando o limite quando x tende a infinito, e aplicando o procedimento de divisão do numerador e denominador por x, que consiste na potência mais alta de x presente na função racional, obtemos:limx→∞ 3x+56x-8=limx→∞ 3+5x6-8x=3+06-0=12Portanto, limx→∞ fx=12, sendo f uma função racional.(F) Quando calculamos o limite, no infinito, para as funções trigonométricas seno e cosseno, o limite sempre será igual a zero.Analisando o comportamento das funções seno e cosseno quando x tende a valores muito grandes, observamos que os valores de ambas as funções oscilam entre -1 e 1, não aproximando-se de um valor específico. Logo, não existem os limites, no infinito, para as funções trigonométricas seno e cosseno.
Questão 7
Sem resposta
As funções trigonométricas apresentam por características ser periódicas, ou seja, em valores específicos do seu domínio há uma repetição da imagem, semelhante a ideia de ciclo, ou seja, o período a ser constituído. Considere a função
Ht=tg t+3t2-t+1
Assinale a alternativa que apresenta a primeira derivada dessa função.
· y=sec3 t+6t-1.
· y=sec2 t+6t2-1.
· y=sec2 t+6t.
· y=sec2 t+6t-1.
· y=-sec2 t+6t-1.
Sua resposta
y=-sec2 t+6t-1. erado
Calculando a derivada da função obtemos:H't=sec2 t+6t-1Portanto, a derivada de 1ª ordem é y=sec2 t+6t-1.
Questão 8
Sem resposta
As taxas relacionadas consistem em um dos estudos que podem ser realizados com base nas derivadas e suas propriedades.
Diante desse tema, analise as seguintes afirmações:
I. Para resolver um problema de taxas relacionadas, o procedimento consiste em determinar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a regra da cadeia para derivar.
II. Para resolver um problema de taxas relacionadas é necessário utilizar o teste da derivada de segunda ordem.
III. O estudo das derivadas de funções implícitas está relacionado às taxas relacionadas.
Está correto o que se afirma apenas em:
· I.
· II.
· I e II.
· I e III.
· II e III.
Sua resposta
I e III.
Para resolver um problema de taxas relacionadas, o procedimento consiste em determinar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a regra da cadeia para derivar. Então I está correta.Para resolver um problema de taxas relacionadas não é necessário empregar o teste da derivada de segunda ordem, mas sim a regra da cadeia. Logo, II está incorreta.O estudo das derivadas de funções implícitas está relacionado às taxas relacionadas, visto que as taxas relacionadas envolvem esse tipo de relação entre variáveis. Então III está correta.
Questão 9
Sem resposta
A regra de l’Hospital é uma estratégia que pode favorecer o cálculo de determinados tipos de limites, desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis.
Nesse sentido, considere o limite a seguir:
limx→0 3x-sen xx
Pela regra de l’Hospital, podemos concluir que o limite apresentado resulta em:
· 0.
· 1.
· 2.
· 12.
· ∞.
Sua resposta
2.
Como limx→0 3x-sen xx está vinculado a uma indeterminação da forma 00, podemos empregar a regra de l’Hospital em seu cálculo.Aplicando a regra de l’Hospital obtemos:limx→0 3x-sen xx=limx→03-cos x1=3-11=2Portanto, limx→0 3x-sen xx resulta em 2.
Questão 10
Sem resposta
Considere a função polinomial
ft=t2-4t+5
que relaciona o espaço percorrido por um móvel a cada instante de tempo t. Sabe-se que a derivada dessa função resulta na velocidade.
Assinale a velocidade apresentada pelo móvel no instante de tempo t=5s.
· 6 m/s.
· 7 m/s.
· 8 m/s.
· 9 m/s.
· 10 m/s.
Sua resposta
6 m/s.
Queremos determinar f'5. Nesse caso,limh→0 f5+h-f(5)h=limh→0 5+h2-45+h+5-52-4⋅5+5h=limh→0 25+10h+h2-20-4h+5-25+20-5h=limh→0 6h+h2h=limh→0 (6+h)=6+0=6Portanto, a velocidade é de 6 m/s.