Capitulo 6 - Logaritmo

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Profª Tania Elisa Seibert 
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UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 
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6 LOGARITMO 
 
 
O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de 
simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente por conta do 
desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada 
pelas grandes navegações. Uma maior intensidade nesse desenvolvimento 
se deu entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram como meios 
de cálculos, que transformavam complexas operações de multiplicação e 
divisão em simples operações de adição e subtração. O inventor dos logaritmos foi o escocês 
John Neper (1550-1617), embora não tenha sido apenas dele a criação desse conceito. 
Com exemplos, identifica-se a necessidade do logaritmo para resolver algumas 
equações exponenciais. 
Observe a resolução de algumas equações exponenciais: 
 
a) 2x = 1 
2x = 20 
x = 0 , logo V = {0} 
 
b) 2x = 2 
2x = 21 
x = 1 , logo V = {1} 
 
c) 2x = 4 
2x = 22 
x = 2 , logo V = {2} 
 
d) 2x = 4 
2x = 22 
x = 2 , logo V = {2} 
 
 
 
 
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e) 2x = 5 
Observe que não podemos escrever o número 5 com uma potência de base 2. Para resolver 
este tipo de equação estuda-se o conceito de logaritmo. 
Denomina-se logaritmo de um número 𝐚, para 𝐚 ϵ ℝ| a > 0, em uma base 𝐛, bϵℝ | b >
0 ∧ b ≠ 1 o número 𝐜, para c ϵ ℝ, tal que 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜, se, e somente se: 
 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜 ⇔ 𝐚 = 𝐛
𝐜, para: 
a =logaritmando ou antilogaritmo 
b =base ou sistema 
c = logaritmo. 
 
Observações: 
a) Quando a base não é especificada, log a = c, temos que b = 10, logo 
log a = c ⇔ a = 10c. O logaritmo é chamado de decimal. 
b) Para uma base b = e, onde e = 2,71828182846 …, denominado como número de Euler, 
temos que loge a = c ⇔ ln a = c ⇔ a = e
c. O logaritmo é chamado de natural. 
 
Exemplos (Lembre-se que: 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜 ⇔ 𝐚 = 𝐛
𝐜). 
a) log2 16 = x (Substituir os valores na fórmula logb a = c ⇔ a = b
c). 
2x = 16 
2x = 24 
x = 4 , logo V = {4}. Portanto, 4 é o logaritmo de 16 na base 2. 
 
b) log7
1
49
= x (Substituir os valores na fórmula logb a = c ⇔ a = b
c). 
7x =
1
49
 
7x =
1
72
 
7x = 7−2 
x = −2 , logo V = {−2}. Portanto, -2 é o logaritmo de 
1
49
 na base 7. 
 
c) log9 √27 = x 
9x = 27
1
2 (Aplicar a propriedade: √am
n
= a
m
n ) 
9x = (33)
1
2 (Aplicar a propriedade: (am)n = am x n) 
 
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3 
9x = 3
3
2 (Decompor 9). 
(32)x = 3
3
2 
32x = 3
3
2 
2x =
3
2
 
x =
3
2
2
 
x =
3
2
 .
1
2
 
x =
3
4
 , logo V = {
3
4
}. Portanto, 
3
4
 é o logaritmo de √27 na base 9. 
 
d) loga 25 = 2 
a2 = 25 (Por definição o número a deve ser positivo e diferente de 1) 
a = ±√25 
a = ± 5, logo V = {5}, já que a não pode ser negativo. 
 
e) log3 x = −2 
3−2 = x 
1
32
= x 
x =
1
9
 , logo V = {
1
9
}. 
 
f) Determinar o valor do número natural A sabendo que A = log 0,001 + log2
1
16
 
A = log 0,001 + log2
1
16
 (Resolver separadamente os logaritmos) 
log 0,001 = x 
10x = 0,001 (Utilizar potência de base 10) 
10x = 10−3 
x = −3 
log2
1
16
= y 
2y =
1
16
 
2y =
1
24
 
2y = 2−4 
y = −4 
 
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4 
A = log 0,001 + log2
1
16
 (Substituir os valores encontrados) 
A = (−3) + (−4) 
A = −7 , logo V = {−7}. 
 
g) Determinar o valor do número natural A sabendo que A = log2 1024 + log1
5
 625: 
A = log2 1024 + log1
5
 625 (Resolver separadamente os logaritmos) 
log2 1024 = x 
2x = 1024 
2x = 210 
x = 10 
log1
5
625 = y 
(
1
5
)
y
= 625 
5−y = 53 
y = −3 
A = log2 1024 + log1
5
 625 (Substituir os valores encontrados) 
A = 10 + (−3) 
A = 7 , logo V = {7}. 
 
6.1 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE LOGARITMOS 
 
Quando se trabalha com logaritmos é necessário que se observe as condições de 
existência dos mesmos, isto é logaN, depende das seguintes condições: 
a) N deve ser um número positivo, logo N > 0. 
b) A base deve ser um número positivo e diferente de 1, logo a > 0 e a ≠ 1. 
 
Exemplos 
a) Determine os valores reais de x para os quais existe o log2(x − 3). 
1º) Analise a base (a): a = 2, logo a é > 0 e ≠ 1 
2º) Analise o logaritmando (N). Lembre-se que N > 0 
(x − 3) > 0 (Outra vez trabalha-se com inequações). 
x – 3 > 0 
 
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x > 3, logo x ∈ ℝ | x > 3 
 
b) Determine o conjunto dos valores reais de x para os quais é possível determinar 
logx−2(x² − 4x + 5). Pelas condições de existência: 
1º) Base 
x − 2 > 0 
x > 2 (Lembre-se também que a base deve ser diferente de 1). 
x − 2 ≠ 1 
x ≠ 3 
 
2º) Logaritmando 
x² − 4x + 5 > 0 
Encontre as raízes por Baskara: 
x1 = −1 e x2 = 5 
Observe o sinal de a: a > 0, logo a concavidade é voltada para cima: 
Represente graficamente e encontre os intervalos onde a função é positiva. 
 
Logo: ]−∞, −1[ ∪ ]5, +∞[ (x < - 1 ou x > 5) 
Tem-se, portanto as seguintes restrições: 
{
x > 2
x ≠ 3
x < −1
x > 5
 
Logo, o conjunto é {x ∈ ℝ|x > 5} (Pode-se representar todas as restrições em retas numéricas 
e realizar a união dos conjuntos). 
 
6.2 PROPRIEDADE DOS LOGARITMOS 
 
No quadro a seguir descrevem-se as propriedades dos logaritmos, que são 
consequências da definição. 
 
 
 
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Número Exemplo Propriedade Condições 
1 log2 1 = x 
2x = 1 
2x = 20 
x = 0 
loga 1 = 0 para todo a > 0 e a ≠ 1 
2 log2 2 = x 
2x = 2 
x = 1 
loga a = 1 para todo a > 0 e a ≠ 1 
3 log3 3
2 = x 
3x = 32 
x = 2 
loga a
n = n 
 
para todo a > 0 e a ≠ 1 e 
para todo n. 
4 2log25 = x 
log25 = y 
2y = 5 
Substituindo y 
2log25 = 5 (Propriedade 3) 
alogaN = N para todo a > 0 e a ≠ 1 e 
N > 0 
5 log25 = log25 
 
logax = logay 
x = y 
para todo a > 0 e a ≠ 1 e 
x > 0 e y >0. 
 
6.3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
 
Além das propriedades do quadro anterior, têm-se também as propriedades operatórias 
dos logaritmos. Apresentam-se estas propriedades no quadro a seguir. 
 
Número Exemplo Propriedade 
1 log2(4 . 8) = A 
log232 = A 
2A = 32 
2A = 25 
𝐀 = 𝟓 
log2(4 . 8) = log24 + log28 
log24 + log28 = A 
Logaritmo de um produto 
loga(M. N) = logaM + logaN 
 
Numa mesma base, o logaritmo do 
produto de dois números positivos é igual 
à soma dos logaritmos de cada um desses 
números. 
 
 
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log24 = x 
2x = 4 
2x = 22 
x = 2 
log28 = y 
2y = 8 
2y = 23 
y = 3 
log24 + log28 = A 
x + y = A 
2 + 3 = A 
𝐀 = 𝟓 Logo: 
log2(4 . 8) = log24 + log28 
2 log2 (
4
8
) = A 
2A =
4
8
 
2A =
22
23
 
2A = 22−3 
2A =2−1 , portanto: 𝐀 = −𝟏 
log2 (
4
8
) = log24 − log28 = A 
log24 = x 
2x = 4 
2x = 22 , logo x = 2 
log28 = y 
2y = 8 
2y = 23 
y = 3 
log24 − log28 = A 
x − y = A 
2 − 3 = A , portanto 𝐀 = −𝟏 
Logo: 
log2 (
4
8
) = log24 − log28 
Logaritmo de um quociente 
loga (
M
N
) = logaM − logaN 
 
Numa mesma base, o logaritmo do 
quociente de dois números positivos é 
igual à diferença dos logaritmos de cada 
um desses números. 
 
 
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8 
3 log28 = A 
2A = 8 
2A = 23 
A = 3 
log28 = log2(2 . 2 . 2) = 
log22 + log22 + log22 = 
3. log22 = A 
3. 1 = A 
A = 3 
Observe que: 
log2(2 . 2 . 2) = log2(2
3) 
Logo: 
log28 = log2(2
3) = 3log22 
Logaritmo de uma potência 
logaM
N = N. logaM 
Observe: 
loga √M
N
= logaM
1
N =
1
N
logaM 
 
Numa mesma base, o logaritmo de uma 
potência de base positiva é igual ao 
produto do expoente pelo logaritmo da 
base da potência. 
4 Observe: 
log464 =
log264
log24
 
Vamos calcular separadamente: 
log464 = x 
4x = 64 
4x = 43 
x = 3 
log264 = y 
2y = 64 
2y = 26 
y = 6 
log24 = z 
2z = 4 
2z = 22 
z = 2 
Substituindo: 
log464 =
log264
log24
 
3 =
6
2
 
Mudança de base 
logbN =
logaN
logab
 
 
Esta propriedade é muito utilizada nas 
calculadoras científicas. Lembre-se que a 
calculadora só trabalha com log (base 10) 
e ln (base e). Portanto, se quisermos 
encontrar, por exemplo, o log58, aplica-
se a mudança de base: 
log58 =
log 8
log 5
 
 
 
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Exemplos: 
 
a) Dados logb g = 2 e logb h = 3, determine logb(g. h). 
logb(g. h) = logb g + logb g 
logb g + logb g = 
2 + 3 = 5 , logo logb(g. h) = 5 
 
b) Dados log 2 = 0,30103 e log 6 = 0,77815, determine log 12. 
log 12 = log(2.6) (Como o exercício pede para determinar o log 12, deve-se decompor 12 em 
2 x 6, já que estes foram os dados fornecidos). 
log 12 = log(2.6) 
log(2.6) = log2 + log6 
log2 + log6 = 
0,30103 + 0,77815 = 1,07918 , logo: log 12 = 1,07918 
 
c) Dados log 2 = 0,30103 e log 6 = 0,77815, determine log 36. 
log 36 = log 62 (Para determinar o log 36, deve-se decompor 36 em 6²). 
log 36 = log 62 
log 36 = 2 log 6 
log 36 = 2 . 0,77815 
log 36 = 1,5562 
 
d) Dados log 2 = 0,30103, determine log 5. (Perceber que se pode representar 5, pela divisão 
de 10 por 2). 
log 5 = log
10
2
 
log 5 = log10 − log 2 (Lembrar que log 10 = 1, pela propriedade logaa = 1). 
log 5 = 1 − 0,30103 
log 5 = 0,69897 
 
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ATIVIDADES 
 
1) Se logab = 3 e logabc = 4, então logac é igual a: 
 
2) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log (
a.b²
c
). 
 
3) Sendo logx2 = a, logx3 = b, calcule logx √12
3
. 
 
4) Sendo loga2 = 20, loga5 = 30 , calcule loga100. 
 
5) Resolva a seguintes equação logx−39 = 2 
 
6) Resolva a equação log4(2x + 10) = 2 
 
7) Resolver a equação log23 + log2(x − 1) = log26 
 
RESPOSTAS 
 
1) Se logab = 3 e logabc = 4, então logac é igual a: 
logab = 3 
a³ = b 
logabc = 4 (Substui-se b = a³). 
logaa³c = 4 (a . a³ = a
4
). 
loga4c = 4 
(a4)4 = c 
c = a16 
logac = x (Substituir os valores de c). 
loga(a)
16 = x (Aplicar a propriedade logaritmo da potência) 
16 logaa = x (Lembre-se que: logaa = 1). 
16 . 1 = 16, logo logac = 16 
 
 
 
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2) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log (
a.b²
c
). 
log (
a.b²
c
) = loga + 2logb − logc (Aplicar as propriedades operatórias). 
log (
a.b²
c
) = 5 + 2 . 3 − 2 (Substituir os valores). 
log (
a.b²
c
) = 9 
3) Sendo logx2 = a, logx3 = b, calcule logx √12
3
. 
logx √12
3
 = logx(12)
1
3 (Aplicar as propriedades operatórias). 
logx(12)
1
3 = logx(2² . 3)
1
3 (Aplicar as propriedades operatórias). 
logx(2² . 3)
1
3 = 
1
3
(2 log2 + log3) (Aplicar as propriedades operatórias). 
1
3
(2 log2 + log3) =
1
3
(2a + b) , logo: (Substituir os valores). 
logx √12
3
 = 
2a+b
3
 
 
4) Sendo loga2 = 20, loga5 = 30 , calcule loga100. 
loga100 = loga10² (Aplicar as propriedades operatórias). 
loga10² = 2loga10 (Aplicar as propriedades operatórias). 
2loga10 = 2loga(5 . 2) (Aplicar as propriedades operatórias). 
2loga(5 . 2) = 2(loga5 + loga2 ) (Aplicar as propriedades operatórias). 
2(loga5 + loga2 ) = 2(20 + 30) , logo (Substituir por valores fornecidos pelo exercício). 
loga100 = 100 
 
5) Resolva a seguintes equação logx−39 = 2 
logx−39 = 2 
(x − 3)2 = 9 
x² - 6x + 9 – 9 = 0 
x² - 6x = 0 (Resolver a equação do segundo grau). 
x1 = 0, x2 = 6 
Condições de existência da base (b >0 e b≠ 1) 
b> 0 
x – 3 > 0 
x > 3 
b≠ 1 
 
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x – 3 ≠ 1 
x ≠ 4, portanto x > 3 e x ≠ 4 (Condições de existência do logaritmo). 
Valores de x encontrados na resolução da equação do 2º grau: x1 = 0, x2 = 6 
Analisando as condições de existências e os valores de x1e x2, temos: 
V = {6}, pois 6 é x > 3 e x ≠ 4. 
Observação: a outra raiz encontrada na solução da equação do segundo grau (x = 0) não faz 
parte do conjunto solução, pois 0 é menor que 3. 
 
6) Resolva a equação log4(2x + 10) = 2 
log4(2x + 10) = 2 
42 = 2x + 10 
16 = 2x + 10 
2x = 6 
x = 3 
Condições de existência do logaritmando (N > 0) 
2x + 10 > 0 
2x > −10 
x > −5 (Comparar a solução da equação com a solução da condição de existência). Logo, 
V = {3} 
 
7) Resolver a equação log23 + log2(x − 1) = log26 
log23 + log2(x − 1) = log26 (Aplicar as propriedades) 
log23(x − 1) = log26 (Por se ter apenas um termo em cada lado da equação e os dois termos 
ter em comum log2, pode-se simplificar). 
3(x − 1) = 6 
3x − 3 = 6 
3x = 9 
x = 3 
Condição de existência do logaritmando 
x − 1 > 0 
x > 1 (Analisar as duas respostas, a da equação e a da condição de existência). Logo: 
V = {3} 
 
 
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6.4 LOGARITMO NATURAL 
 
Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é um número 
irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). 
Matematicamente representamos o logaritmo natural por: lnx = logex 
Todas as propriedades estudadas para logaritmos até agora, também são aplicadas no 
estudo dos logaritmos Naturais. 
Observe a seguinte situação: 
a) 
log2
log5
 = 
0,30103
0,69897
= 0,43068 
b) 
ln2
ln5
=
0,69315
1,60944
= 0,43068 
Perceba que mesmo tendo valores diferentes para as diferentes bases, o resultado da 
razão (divisão) é o mesmo. 
 
6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Para a função f: ℝ → ℝ, na forma f(x) = logb ax, para b=base tal que: 
a, b ϵ ℝ, b > 0, b ≠1 , denomina-se a f(x) como uma função logarítmica de base b. 
Observe os seguintes exemplos: 
 
a) f(x) = log2 x (Base do logaritmo é igual a 2, portanto b > 1). 
1) Gráfico da função 
 
 
2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} 
 
3) Imagem: Im = ℝ 
 
x
y
 
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4) A raiz da função: 
f(x) = log2 x 
0 = log2 x 
log2 x = 0 
20 = x 
x = 1 
 
5) A função é crescente em todo o seu domínio. 
 
6) A função é negativa no intervalo ]0,1[ 
 
7) A função é positiva no intervalo ]1, +∞[ 
 
b) f(x) = log1
2
x (Base do logaritmo é igual a 
1
2
, portanto 0 < b < 1). 
1) Gráfico da função 
 
2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} 
 
3) Imagem: Im = ℝ 
 
4) A raiz da função: 
f(x) = log1
2
x 
0 = log1
2
x 
log1
2
x = 0 
(
1
2
)
0
= x 
x = 1 
x
y
 
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4) A função é decrescente em todo o seu domínio. 
 
5) A função é negativa no intervalo ]1, +∞[ 
 
6) A função é positiva no intervalo ]0,1[ 
 
Portanto, as características da função logarítmica, logb x , são: 
a) Pela condição de existência base > 0, base ≠ 1, logaritmando > 0, x > 0, logo: 
D = {xϵℝ|x > 0} e Im = ℝ. 
b) Raiz: a função logarítmica tem uma raiz para f(x) = 0. 
c) Imagem: para qualquer x no Domínio existe um y correspondente nos Reais, logo: 
Im = ℝ. 
d) Crescente: para b > 1 a função é crescente para todo o Domínio, ou seja, V = ℝ; 
e) Decrescente: para 0 < b < 1 a função é decrescente para todo o Domínio, ou seja, V = ℝ; 
f) Positiva ou negativa: 
f. 1)f(x) > 0, para: 
b > 1 , a função é crescente, logo a função é positiva para x > raiz; 
0 < b < 1 , a função é decrescente, logo a função é positiva para xϵℝ|x < raiz; 
f.2) f(x) < 0, para 
b > 1 , a função é crescente, logo a função é negativa para xϵℝ|x < raiz; 
0 < b < 1 , a função é decrescente, logo a função é negativa para x > raiz. 
 
c) Analisa-se as característica da função w(x) = log (x − 3) 
1) Gráfico da função 
 
 
 
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2) Pela condição de existência base > 0, base ≠ 1, logaritmando > 0 
Base = 10, logo base > 0 
Logaritmando: 
x − 3 > 0 
x > 3 
Logo D = {xϵℝ|x > 3}. 
 
3) Im = ℝ. 
 
4) Raiz: 
w(x) = 0 
log(x − 3) = 0 
100 = x − 3 
1 = x − 3 
x = 4 , logo V = {4}(Observe a raiz no gráfico) 
 
5) Para base = 10 (base > 0), a função é crescente para todo o Domínio, então: 
 V = {xϵℝ|x > 1} e não é decrescente para nenhum intervalo de x 
 
6) Como a função é crescente é positiva, f(x) > 0, para x > raiz, logo: 
 𝑉={xϵℝ|x > 2}; e negativa, para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x < 2}. 
 
d) Analisa-se a função logarítmica natural f(x) = ln x. 
1) Gráfico 
 
2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} 
 
 
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3) Imagem: Im = ℝ 
 
4) A raiz da função: 
f(x) = lnx 
0 = lnx 
e0 = x 
x = 1 
 
5) A função é crescente em todo o seu domínio. 
 
6) A função é negativa no intervalo ]0,1[. 
 
7) A função é positiva no intervalo ]1, +∞[. 
 
Observação 
a) A definição de função logarítmica mostra que a função logarítmica natural f(x) = ln x e a 
função exponencial natural g(x) = ex, são funções inversas uma da outra. Isto significa que 
seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x, conforme gráfico a seguir. 
 
Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/ 
b) O domínio da função logarítmica natural f(x) = ln x é o conjuntos dos números Reais 
positivos. Portanto, o valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0. 
c) As funções f(x) = ln x e g(x) = ex são inversas uma da outra, então o domínio de f(x)=ln x é 
igual à imagem de g(x) = ex e a imagem de f(x) = ln x é igual ao domínio de g(x) = ex. 
 
 
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Retoma-se agora a situação apresentada no início deste capítulo, em relação à resolução 
de equações exponenciais. 
a) 2x = 1 
2x = 20 
x = 0 , logo V = {0} 
 
b) 2x = 2 
2x = 21 
x = 1 , logo V = {1} 
 
c) 2x = 4 
2x = 22 
x = 2 , logo V = {2} 
 
Porém, para resolver a equação 2x = 5, não foi possível com os conceitos estudados até 
então. Agora, conhecendo-se o logaritmo, é possível resolvê-la. Lembre que, como a divisão e 
a multiplicação são operações inversas, logaritmo e exponencial também são. 
2x = 5 (Lembre-se do conceito de equação como “Balança de dois pratos”). 
log2x = log5 (Aplicando log dos dois lados da equação, mantêm-se o equilíbrio). 
x(log2) = log 5 
x =
log5
log2
 (Utilizar a calculadora para obter os valores de log5 e log 2). 
x =
0,69897
0,30103
 
x ≅ 2,32193 
 
6.6 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 
 
As funções logarítmicas e exponenciais são aplicadas para resolver problemas, com 
aplicação em diferentes áreas, como as que se apresentam a seguir. 
 
a) Um comerciante aplicou a importância de R$ 500,00 em uma agência que paga juros 
mensais de 3,5% no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante 
será de R$ 3 500,00? 
 
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M = C(1 + i)n 
3 500 = 500(1 + 0,035)n 
3 500
500
= 1,035n 
7 = 1,035n 
ln 7 = ln 1,035n 
ln 7 = n . ln 1,035 
n =
ln 7
ln 1,035
 
n =
1,9459
0,0344
 
n = 56,56 meses 
n = 4a 8m 17d 
 
b) Em uma cidade, a taxa de crescimento populacional é de aproximadamente 3% ao ano. Em 
quantos anos a população desta cidade irá dobrar se a taxa de crescimento se manter? 
População inicial = Po 
População final = 2 Po 
Taxa de crescimento anual: 3% = 0,03 (i) 
Tempo = n 
P(n) = Po(1 + i)
n 
2 Po = Po(1 + i)
n 
2Po
Po
= (1 + 0,03)n 
2 = 1,03n 
log2 = log1,03n 
log2 = n log1,03 
n =
log2
log1,03
 = 
0,30103
0,01284
= 23,44 anos = 23a 5m 10d 
 
3) Determine o tempo que leva para que 1 000g de certa substância radioativa, que se 
desintegra a uma taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g, segundo a função: Q(t) = Qo e
−rt, em 
que Q é a massa (em gramas) da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 
Q(t) = Qo e
−rt 
200 = 1 000 e−0,02t 
 
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200
1 000
= e−0,02t 
1
5
= e−0,02t 
0,2 = e−0,02t 
ln 0,2 = ln e−0,02t 
ln 0,2 = (−0,02t) ln e (Lembrar que ln e = 1) 
ln 0,2 = −0,02t 
−1,60944 = −0,02t 
t =
−1,60944
−0,02
 
t = 80,47 anos = 80a 5m 20d 
 
_______________________________________________________________________ 
ATIVIDADE 
 
1) Utilizando a condição de existência determine o domínio das funções: 
a) f(x) = log(x + 4) b) f(x) = log3(x
2 − 7x) c) f(x) = ln(2x − 5) 
 
2) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n 
de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100 . 2
t
3. Nessas condições, pode-se 
afirmar que a população seráde 51.200 bactérias depois de que período de tempo? 
 
3) Sendo log2 = 0,3; log4 = 0,4; log5 = 0,7; calcule: 
a) log250 b) log345 c) log92 
d) log8600 e) log53 f) log615 
 
4) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de 
juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? 
 
5) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras 
(som), desde cerca 10
 -12
 w/m
2
 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca 
de 1w/m
2
 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme 
faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação 
psicológica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade, mas, com melhor 
 
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aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala 
logarítmica para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade 
G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10
 -12
), onde I é a intensidade do som. 
Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa, em decibéis. 
 
6) (FGV) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. 
Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam 
conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3.(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas. 
a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto? 
b) Faça o gráfico de y em função de t. 
 
7) A partir da análise do gráfico a seguir, responda o que se pede. 
 
a) O gráfico representa uma função logarítmica ou exponencial? 
b) Qual o domínio da função do gráfico? 
c) Qual a imagem da função do gráfico? 
 
8) Determine o valor da expressão log2 64 – log3 27. 
 
9) Determine a solução da equação 8log8x . 8log84x = 1 
 
10) Determine o valor de x em log2
3
8
27
= x 
 
RESPOSTAS 
1a) x > - 4 b) {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 7} c) ]
5
2
, +∞[ 
2) 1 dia e 3 horas 
3) a)
17
3
 b)
15
4
 c)
3
8
 d)3 e)
4
7
 f)
11
7
 
 
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4) 35 meses 
5) 120 decibéis. 
6a) Em até 10 dias. 
b) 
 
7a) Função exponencial 
b) D = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 > 0} 
c) Im = ℝ 
8) 3 
9) V = {
1
2
} 
10) 3 
___________________________________________________________________________ 
REFERÊNCIAS 
 
HISTÓRIA DOPS LOGARITMOS. Disponível em: 
<http://www.infoescola.com/matematica/historia-dos-logaritmos>. Acesso em 29 jul. 2015. 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 
2010. 
 
LOGARITMO NATURAL. Disponível em: 
http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/>. Acesso em 31 jul. 2015. 
 
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003.