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Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 1 6 LOGARITMO O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada pelas grandes navegações. Uma maior intensidade nesse desenvolvimento se deu entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram como meios de cálculos, que transformavam complexas operações de multiplicação e divisão em simples operações de adição e subtração. O inventor dos logaritmos foi o escocês John Neper (1550-1617), embora não tenha sido apenas dele a criação desse conceito. Com exemplos, identifica-se a necessidade do logaritmo para resolver algumas equações exponenciais. Observe a resolução de algumas equações exponenciais: a) 2x = 1 2x = 20 x = 0 , logo V = {0} b) 2x = 2 2x = 21 x = 1 , logo V = {1} c) 2x = 4 2x = 22 x = 2 , logo V = {2} d) 2x = 4 2x = 22 x = 2 , logo V = {2} Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 2 e) 2x = 5 Observe que não podemos escrever o número 5 com uma potência de base 2. Para resolver este tipo de equação estuda-se o conceito de logaritmo. Denomina-se logaritmo de um número 𝐚, para 𝐚 ϵ ℝ| a > 0, em uma base 𝐛, bϵℝ | b > 0 ∧ b ≠ 1 o número 𝐜, para c ϵ ℝ, tal que 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜, se, e somente se: 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜 ⇔ 𝐚 = 𝐛 𝐜, para: a =logaritmando ou antilogaritmo b =base ou sistema c = logaritmo. Observações: a) Quando a base não é especificada, log a = c, temos que b = 10, logo log a = c ⇔ a = 10c. O logaritmo é chamado de decimal. b) Para uma base b = e, onde e = 2,71828182846 …, denominado como número de Euler, temos que loge a = c ⇔ ln a = c ⇔ a = e c. O logaritmo é chamado de natural. Exemplos (Lembre-se que: 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜 ⇔ 𝐚 = 𝐛 𝐜). a) log2 16 = x (Substituir os valores na fórmula logb a = c ⇔ a = b c). 2x = 16 2x = 24 x = 4 , logo V = {4}. Portanto, 4 é o logaritmo de 16 na base 2. b) log7 1 49 = x (Substituir os valores na fórmula logb a = c ⇔ a = b c). 7x = 1 49 7x = 1 72 7x = 7−2 x = −2 , logo V = {−2}. Portanto, -2 é o logaritmo de 1 49 na base 7. c) log9 √27 = x 9x = 27 1 2 (Aplicar a propriedade: √am n = a m n ) 9x = (33) 1 2 (Aplicar a propriedade: (am)n = am x n) Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 3 9x = 3 3 2 (Decompor 9). (32)x = 3 3 2 32x = 3 3 2 2x = 3 2 x = 3 2 2 x = 3 2 . 1 2 x = 3 4 , logo V = { 3 4 }. Portanto, 3 4 é o logaritmo de √27 na base 9. d) loga 25 = 2 a2 = 25 (Por definição o número a deve ser positivo e diferente de 1) a = ±√25 a = ± 5, logo V = {5}, já que a não pode ser negativo. e) log3 x = −2 3−2 = x 1 32 = x x = 1 9 , logo V = { 1 9 }. f) Determinar o valor do número natural A sabendo que A = log 0,001 + log2 1 16 A = log 0,001 + log2 1 16 (Resolver separadamente os logaritmos) log 0,001 = x 10x = 0,001 (Utilizar potência de base 10) 10x = 10−3 x = −3 log2 1 16 = y 2y = 1 16 2y = 1 24 2y = 2−4 y = −4 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 4 A = log 0,001 + log2 1 16 (Substituir os valores encontrados) A = (−3) + (−4) A = −7 , logo V = {−7}. g) Determinar o valor do número natural A sabendo que A = log2 1024 + log1 5 625: A = log2 1024 + log1 5 625 (Resolver separadamente os logaritmos) log2 1024 = x 2x = 1024 2x = 210 x = 10 log1 5 625 = y ( 1 5 ) y = 625 5−y = 53 y = −3 A = log2 1024 + log1 5 625 (Substituir os valores encontrados) A = 10 + (−3) A = 7 , logo V = {7}. 6.1 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE LOGARITMOS Quando se trabalha com logaritmos é necessário que se observe as condições de existência dos mesmos, isto é logaN, depende das seguintes condições: a) N deve ser um número positivo, logo N > 0. b) A base deve ser um número positivo e diferente de 1, logo a > 0 e a ≠ 1. Exemplos a) Determine os valores reais de x para os quais existe o log2(x − 3). 1º) Analise a base (a): a = 2, logo a é > 0 e ≠ 1 2º) Analise o logaritmando (N). Lembre-se que N > 0 (x − 3) > 0 (Outra vez trabalha-se com inequações). x – 3 > 0 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 5 x > 3, logo x ∈ ℝ | x > 3 b) Determine o conjunto dos valores reais de x para os quais é possível determinar logx−2(x² − 4x + 5). Pelas condições de existência: 1º) Base x − 2 > 0 x > 2 (Lembre-se também que a base deve ser diferente de 1). x − 2 ≠ 1 x ≠ 3 2º) Logaritmando x² − 4x + 5 > 0 Encontre as raízes por Baskara: x1 = −1 e x2 = 5 Observe o sinal de a: a > 0, logo a concavidade é voltada para cima: Represente graficamente e encontre os intervalos onde a função é positiva. Logo: ]−∞, −1[ ∪ ]5, +∞[ (x < - 1 ou x > 5) Tem-se, portanto as seguintes restrições: { x > 2 x ≠ 3 x < −1 x > 5 Logo, o conjunto é {x ∈ ℝ|x > 5} (Pode-se representar todas as restrições em retas numéricas e realizar a união dos conjuntos). 6.2 PROPRIEDADE DOS LOGARITMOS No quadro a seguir descrevem-se as propriedades dos logaritmos, que são consequências da definição. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 6 Número Exemplo Propriedade Condições 1 log2 1 = x 2x = 1 2x = 20 x = 0 loga 1 = 0 para todo a > 0 e a ≠ 1 2 log2 2 = x 2x = 2 x = 1 loga a = 1 para todo a > 0 e a ≠ 1 3 log3 3 2 = x 3x = 32 x = 2 loga a n = n para todo a > 0 e a ≠ 1 e para todo n. 4 2log25 = x log25 = y 2y = 5 Substituindo y 2log25 = 5 (Propriedade 3) alogaN = N para todo a > 0 e a ≠ 1 e N > 0 5 log25 = log25 logax = logay x = y para todo a > 0 e a ≠ 1 e x > 0 e y >0. 6.3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS Além das propriedades do quadro anterior, têm-se também as propriedades operatórias dos logaritmos. Apresentam-se estas propriedades no quadro a seguir. Número Exemplo Propriedade 1 log2(4 . 8) = A log232 = A 2A = 32 2A = 25 𝐀 = 𝟓 log2(4 . 8) = log24 + log28 log24 + log28 = A Logaritmo de um produto loga(M. N) = logaM + logaN Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 7 log24 = x 2x = 4 2x = 22 x = 2 log28 = y 2y = 8 2y = 23 y = 3 log24 + log28 = A x + y = A 2 + 3 = A 𝐀 = 𝟓 Logo: log2(4 . 8) = log24 + log28 2 log2 ( 4 8 ) = A 2A = 4 8 2A = 22 23 2A = 22−3 2A =2−1 , portanto: 𝐀 = −𝟏 log2 ( 4 8 ) = log24 − log28 = A log24 = x 2x = 4 2x = 22 , logo x = 2 log28 = y 2y = 8 2y = 23 y = 3 log24 − log28 = A x − y = A 2 − 3 = A , portanto 𝐀 = −𝟏 Logo: log2 ( 4 8 ) = log24 − log28 Logaritmo de um quociente loga ( M N ) = logaM − logaN Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses números. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 8 3 log28 = A 2A = 8 2A = 23 A = 3 log28 = log2(2 . 2 . 2) = log22 + log22 + log22 = 3. log22 = A 3. 1 = A A = 3 Observe que: log2(2 . 2 . 2) = log2(2 3) Logo: log28 = log2(2 3) = 3log22 Logaritmo de uma potência logaM N = N. logaM Observe: loga √M N = logaM 1 N = 1 N logaM Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 4 Observe: log464 = log264 log24 Vamos calcular separadamente: log464 = x 4x = 64 4x = 43 x = 3 log264 = y 2y = 64 2y = 26 y = 6 log24 = z 2z = 4 2z = 22 z = 2 Substituindo: log464 = log264 log24 3 = 6 2 Mudança de base logbN = logaN logab Esta propriedade é muito utilizada nas calculadoras científicas. Lembre-se que a calculadora só trabalha com log (base 10) e ln (base e). Portanto, se quisermos encontrar, por exemplo, o log58, aplica- se a mudança de base: log58 = log 8 log 5 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 9 Exemplos: a) Dados logb g = 2 e logb h = 3, determine logb(g. h). logb(g. h) = logb g + logb g logb g + logb g = 2 + 3 = 5 , logo logb(g. h) = 5 b) Dados log 2 = 0,30103 e log 6 = 0,77815, determine log 12. log 12 = log(2.6) (Como o exercício pede para determinar o log 12, deve-se decompor 12 em 2 x 6, já que estes foram os dados fornecidos). log 12 = log(2.6) log(2.6) = log2 + log6 log2 + log6 = 0,30103 + 0,77815 = 1,07918 , logo: log 12 = 1,07918 c) Dados log 2 = 0,30103 e log 6 = 0,77815, determine log 36. log 36 = log 62 (Para determinar o log 36, deve-se decompor 36 em 6²). log 36 = log 62 log 36 = 2 log 6 log 36 = 2 . 0,77815 log 36 = 1,5562 d) Dados log 2 = 0,30103, determine log 5. (Perceber que se pode representar 5, pela divisão de 10 por 2). log 5 = log 10 2 log 5 = log10 − log 2 (Lembrar que log 10 = 1, pela propriedade logaa = 1). log 5 = 1 − 0,30103 log 5 = 0,69897 _________________________________________________________________________ Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 10 ATIVIDADES 1) Se logab = 3 e logabc = 4, então logac é igual a: 2) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log ( a.b² c ). 3) Sendo logx2 = a, logx3 = b, calcule logx √12 3 . 4) Sendo loga2 = 20, loga5 = 30 , calcule loga100. 5) Resolva a seguintes equação logx−39 = 2 6) Resolva a equação log4(2x + 10) = 2 7) Resolver a equação log23 + log2(x − 1) = log26 RESPOSTAS 1) Se logab = 3 e logabc = 4, então logac é igual a: logab = 3 a³ = b logabc = 4 (Substui-se b = a³). logaa³c = 4 (a . a³ = a 4 ). loga4c = 4 (a4)4 = c c = a16 logac = x (Substituir os valores de c). loga(a) 16 = x (Aplicar a propriedade logaritmo da potência) 16 logaa = x (Lembre-se que: logaa = 1). 16 . 1 = 16, logo logac = 16 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 11 2) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log ( a.b² c ). log ( a.b² c ) = loga + 2logb − logc (Aplicar as propriedades operatórias). log ( a.b² c ) = 5 + 2 . 3 − 2 (Substituir os valores). log ( a.b² c ) = 9 3) Sendo logx2 = a, logx3 = b, calcule logx √12 3 . logx √12 3 = logx(12) 1 3 (Aplicar as propriedades operatórias). logx(12) 1 3 = logx(2² . 3) 1 3 (Aplicar as propriedades operatórias). logx(2² . 3) 1 3 = 1 3 (2 log2 + log3) (Aplicar as propriedades operatórias). 1 3 (2 log2 + log3) = 1 3 (2a + b) , logo: (Substituir os valores). logx √12 3 = 2a+b 3 4) Sendo loga2 = 20, loga5 = 30 , calcule loga100. loga100 = loga10² (Aplicar as propriedades operatórias). loga10² = 2loga10 (Aplicar as propriedades operatórias). 2loga10 = 2loga(5 . 2) (Aplicar as propriedades operatórias). 2loga(5 . 2) = 2(loga5 + loga2 ) (Aplicar as propriedades operatórias). 2(loga5 + loga2 ) = 2(20 + 30) , logo (Substituir por valores fornecidos pelo exercício). loga100 = 100 5) Resolva a seguintes equação logx−39 = 2 logx−39 = 2 (x − 3)2 = 9 x² - 6x + 9 – 9 = 0 x² - 6x = 0 (Resolver a equação do segundo grau). x1 = 0, x2 = 6 Condições de existência da base (b >0 e b≠ 1) b> 0 x – 3 > 0 x > 3 b≠ 1 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 12 x – 3 ≠ 1 x ≠ 4, portanto x > 3 e x ≠ 4 (Condições de existência do logaritmo). Valores de x encontrados na resolução da equação do 2º grau: x1 = 0, x2 = 6 Analisando as condições de existências e os valores de x1e x2, temos: V = {6}, pois 6 é x > 3 e x ≠ 4. Observação: a outra raiz encontrada na solução da equação do segundo grau (x = 0) não faz parte do conjunto solução, pois 0 é menor que 3. 6) Resolva a equação log4(2x + 10) = 2 log4(2x + 10) = 2 42 = 2x + 10 16 = 2x + 10 2x = 6 x = 3 Condições de existência do logaritmando (N > 0) 2x + 10 > 0 2x > −10 x > −5 (Comparar a solução da equação com a solução da condição de existência). Logo, V = {3} 7) Resolver a equação log23 + log2(x − 1) = log26 log23 + log2(x − 1) = log26 (Aplicar as propriedades) log23(x − 1) = log26 (Por se ter apenas um termo em cada lado da equação e os dois termos ter em comum log2, pode-se simplificar). 3(x − 1) = 6 3x − 3 = 6 3x = 9 x = 3 Condição de existência do logaritmando x − 1 > 0 x > 1 (Analisar as duas respostas, a da equação e a da condição de existência). Logo: V = {3} Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 13 6.4 LOGARITMO NATURAL Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por: lnx = logex Todas as propriedades estudadas para logaritmos até agora, também são aplicadas no estudo dos logaritmos Naturais. Observe a seguinte situação: a) log2 log5 = 0,30103 0,69897 = 0,43068 b) ln2 ln5 = 0,69315 1,60944 = 0,43068 Perceba que mesmo tendo valores diferentes para as diferentes bases, o resultado da razão (divisão) é o mesmo. 6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para a função f: ℝ → ℝ, na forma f(x) = logb ax, para b=base tal que: a, b ϵ ℝ, b > 0, b ≠1 , denomina-se a f(x) como uma função logarítmica de base b. Observe os seguintes exemplos: a) f(x) = log2 x (Base do logaritmo é igual a 2, portanto b > 1). 1) Gráfico da função 2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} 3) Imagem: Im = ℝ x y Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 14 4) A raiz da função: f(x) = log2 x 0 = log2 x log2 x = 0 20 = x x = 1 5) A função é crescente em todo o seu domínio. 6) A função é negativa no intervalo ]0,1[ 7) A função é positiva no intervalo ]1, +∞[ b) f(x) = log1 2 x (Base do logaritmo é igual a 1 2 , portanto 0 < b < 1). 1) Gráfico da função 2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} 3) Imagem: Im = ℝ 4) A raiz da função: f(x) = log1 2 x 0 = log1 2 x log1 2 x = 0 ( 1 2 ) 0 = x x = 1 x y Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 15 4) A função é decrescente em todo o seu domínio. 5) A função é negativa no intervalo ]1, +∞[ 6) A função é positiva no intervalo ]0,1[ Portanto, as características da função logarítmica, logb x , são: a) Pela condição de existência base > 0, base ≠ 1, logaritmando > 0, x > 0, logo: D = {xϵℝ|x > 0} e Im = ℝ. b) Raiz: a função logarítmica tem uma raiz para f(x) = 0. c) Imagem: para qualquer x no Domínio existe um y correspondente nos Reais, logo: Im = ℝ. d) Crescente: para b > 1 a função é crescente para todo o Domínio, ou seja, V = ℝ; e) Decrescente: para 0 < b < 1 a função é decrescente para todo o Domínio, ou seja, V = ℝ; f) Positiva ou negativa: f. 1)f(x) > 0, para: b > 1 , a função é crescente, logo a função é positiva para x > raiz; 0 < b < 1 , a função é decrescente, logo a função é positiva para xϵℝ|x < raiz; f.2) f(x) < 0, para b > 1 , a função é crescente, logo a função é negativa para xϵℝ|x < raiz; 0 < b < 1 , a função é decrescente, logo a função é negativa para x > raiz. c) Analisa-se as característica da função w(x) = log (x − 3) 1) Gráfico da função Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 16 2) Pela condição de existência base > 0, base ≠ 1, logaritmando > 0 Base = 10, logo base > 0 Logaritmando: x − 3 > 0 x > 3 Logo D = {xϵℝ|x > 3}. 3) Im = ℝ. 4) Raiz: w(x) = 0 log(x − 3) = 0 100 = x − 3 1 = x − 3 x = 4 , logo V = {4}(Observe a raiz no gráfico) 5) Para base = 10 (base > 0), a função é crescente para todo o Domínio, então: V = {xϵℝ|x > 1} e não é decrescente para nenhum intervalo de x 6) Como a função é crescente é positiva, f(x) > 0, para x > raiz, logo: 𝑉={xϵℝ|x > 2}; e negativa, para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x < 2}. d) Analisa-se a função logarítmica natural f(x) = ln x. 1) Gráfico 2) Domínio: D = {x ∈ ℝ|x > 0} Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 17 3) Imagem: Im = ℝ 4) A raiz da função: f(x) = lnx 0 = lnx e0 = x x = 1 5) A função é crescente em todo o seu domínio. 6) A função é negativa no intervalo ]0,1[. 7) A função é positiva no intervalo ]1, +∞[. Observação a) A definição de função logarítmica mostra que a função logarítmica natural f(x) = ln x e a função exponencial natural g(x) = ex, são funções inversas uma da outra. Isto significa que seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x, conforme gráfico a seguir. Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/ b) O domínio da função logarítmica natural f(x) = ln x é o conjuntos dos números Reais positivos. Portanto, o valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0. c) As funções f(x) = ln x e g(x) = ex são inversas uma da outra, então o domínio de f(x)=ln x é igual à imagem de g(x) = ex e a imagem de f(x) = ln x é igual ao domínio de g(x) = ex. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 18 Retoma-se agora a situação apresentada no início deste capítulo, em relação à resolução de equações exponenciais. a) 2x = 1 2x = 20 x = 0 , logo V = {0} b) 2x = 2 2x = 21 x = 1 , logo V = {1} c) 2x = 4 2x = 22 x = 2 , logo V = {2} Porém, para resolver a equação 2x = 5, não foi possível com os conceitos estudados até então. Agora, conhecendo-se o logaritmo, é possível resolvê-la. Lembre que, como a divisão e a multiplicação são operações inversas, logaritmo e exponencial também são. 2x = 5 (Lembre-se do conceito de equação como “Balança de dois pratos”). log2x = log5 (Aplicando log dos dois lados da equação, mantêm-se o equilíbrio). x(log2) = log 5 x = log5 log2 (Utilizar a calculadora para obter os valores de log5 e log 2). x = 0,69897 0,30103 x ≅ 2,32193 6.6 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS As funções logarítmicas e exponenciais são aplicadas para resolver problemas, com aplicação em diferentes áreas, como as que se apresentam a seguir. a) Um comerciante aplicou a importância de R$ 500,00 em uma agência que paga juros mensais de 3,5% no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 19 M = C(1 + i)n 3 500 = 500(1 + 0,035)n 3 500 500 = 1,035n 7 = 1,035n ln 7 = ln 1,035n ln 7 = n . ln 1,035 n = ln 7 ln 1,035 n = 1,9459 0,0344 n = 56,56 meses n = 4a 8m 17d b) Em uma cidade, a taxa de crescimento populacional é de aproximadamente 3% ao ano. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar se a taxa de crescimento se manter? População inicial = Po População final = 2 Po Taxa de crescimento anual: 3% = 0,03 (i) Tempo = n P(n) = Po(1 + i) n 2 Po = Po(1 + i) n 2Po Po = (1 + 0,03)n 2 = 1,03n log2 = log1,03n log2 = n log1,03 n = log2 log1,03 = 0,30103 0,01284 = 23,44 anos = 23a 5m 10d 3) Determine o tempo que leva para que 1 000g de certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g, segundo a função: Q(t) = Qo e −rt, em que Q é a massa (em gramas) da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Q(t) = Qo e −rt 200 = 1 000 e−0,02t Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 20 200 1 000 = e−0,02t 1 5 = e−0,02t 0,2 = e−0,02t ln 0,2 = ln e−0,02t ln 0,2 = (−0,02t) ln e (Lembrar que ln e = 1) ln 0,2 = −0,02t −1,60944 = −0,02t t = −1,60944 −0,02 t = 80,47 anos = 80a 5m 20d _______________________________________________________________________ ATIVIDADE 1) Utilizando a condição de existência determine o domínio das funções: a) f(x) = log(x + 4) b) f(x) = log3(x 2 − 7x) c) f(x) = ln(2x − 5) 2) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100 . 2 t 3. Nessas condições, pode-se afirmar que a população seráde 51.200 bactérias depois de que período de tempo? 3) Sendo log2 = 0,3; log4 = 0,4; log5 = 0,7; calcule: a) log250 b) log345 c) log92 d) log8600 e) log53 f) log615 4) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? 5) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m 2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m 2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicológica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade, mas, com melhor Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 21 aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítmica para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10 -12 ), onde I é a intensidade do som. Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa, em decibéis. 6) (FGV) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3.(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas. a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto? b) Faça o gráfico de y em função de t. 7) A partir da análise do gráfico a seguir, responda o que se pede. a) O gráfico representa uma função logarítmica ou exponencial? b) Qual o domínio da função do gráfico? c) Qual a imagem da função do gráfico? 8) Determine o valor da expressão log2 64 – log3 27. 9) Determine a solução da equação 8log8x . 8log84x = 1 10) Determine o valor de x em log2 3 8 27 = x RESPOSTAS 1a) x > - 4 b) {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 7} c) ] 5 2 , +∞[ 2) 1 dia e 3 horas 3) a) 17 3 b) 15 4 c) 3 8 d)3 e) 4 7 f) 11 7 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 2 – CAPÍTULO 6 22 4) 35 meses 5) 120 decibéis. 6a) Em até 10 dias. b) 7a) Função exponencial b) D = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 > 0} c) Im = ℝ 8) 3 9) V = { 1 2 } 10) 3 ___________________________________________________________________________ REFERÊNCIAS HISTÓRIA DOPS LOGARITMOS. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/historia-dos-logaritmos>. Acesso em 29 jul. 2015. HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 2010. LOGARITMO NATURAL. Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/>. Acesso em 31 jul. 2015. LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003.
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