Esferas_geometria_euclidiana_2.pptx

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
ARÉA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
EXA 499- GEOMETRIA EUCLIDIANA II
ESFERAS
Bruna Lima Moreira
Paula Carolyne Bomfim Oliveira
Feira de Santana, 08 de Agosto de 2015
A atração pela forma esférica não é prerrogativa do homem moderno, pois desde a Antiguidade grega essa forma é considerada padrão de equilíbrio e perfeição. Segundo Aristóteles (384-322 a. C.): 
 “O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera sendo gerada pela rotação do círculo é, de todos os corpos, o mais perfeito.”
Além do fascínio estético, a forma esférica permitiu grandes invenções e descobertas. O próprio Aristóteles foi um dos primeiros pensadores a defender a concepção esférica da Terra. Seus argumentos fundamentavam-se no fato de a sombra da Terra sobre a Lua ser circular em um eclipse lunar.
 DEFINIÇÃO
	A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.
 	
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
 Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o
 sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
 
Considerando a definição anterior, temos que: 
 o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores que R é chamado de interior da esfera;
 o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é chamado superfície esférica;
 o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são maiores que R são chamados exterior da esfera.
Concluímos então, que a esfera é maciça enquanto a superfície esférica é apenas a “casca” da esfera.
Exemplo: levar a bolinha de gude, maciça.
 Bolinha de pingue- pongue, oca.
 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PLANO E UMA ESFERA
 Plano secante à esfera: 
	Um plano α é secante a uma esfera se, e somente se, ambos têm em comum infinitos pontos. Esses infinitos pontos comuns formam um círculo chamado de secção plana da esfera.
Se o plano secante passa pelo centro da esfera, a secção plana é chamada de círculo máximo da esfera.
 Sendo R a medida do raio da esfera, r a medida do raio de uma secção plana e d, com d>0, a distância do plano α ao centro O da esfera, temos, pelo teorema de Pitágoras:
 Plano tangente à esfera: 
 Um plano α é tangente a uma esfera se, e somente se, ambos têm em comum um único ponto.
O raio da esfera é perpendicular ao plano tangente no ponto de contato.
 Um plano α é exterior a uma esfera se, 
e somente se, não existe ponto comum a ambos. 
 Plano exterior à esfera: 
 VOLUME
 O volume da esfera de raio R  é dado por:
Acompanhe a demonstração no quadro!
PARTES DA ESFERA
 Superfície Esférica:
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
 A área da superfície esférica é dada por:
 Zona esférica:
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da zona esférica é dada por:
 Calota esférica:
 É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da calota esférica é dada por:
 Fuso esférico:
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo   em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:
 Cunha esférica:
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo  
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:
 REFERÊNCIAS
Geometria Espacial. Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php> . Acesso em: 08 de agosto de 2015.
PAIVA, M. Matemática Paiva. 2 ed. São Paulo: Moderna, 2013. 302p