4_unidade_III - Punção

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Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
 
Unidade III – Dimensionamento à Punção 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho, MSc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itajaí, outubro 2007 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
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Índice da unidade III – Dimensionamento à Punção 
 
1 MODELO DE CÁLCULO ............................................................................................................... 3 
2 DEFINIÇÃO DA TENSÃO SOLICITANTE NAS SUPERFÍCIES CRÍTICAS C E C’ ............ 3 
2.1 PILAR INTERNO, COM CARREGAMENTO SIMÉTRICO .................................................................... 3 
2.2 PILAR INTERNO, COM EFEITO DE MOMENTO ............................................................................... 4 
2.3 PILARES DE BORDA..................................................................................................................... 5 
2.4 PILARES DE CANTO ..................................................................................................................... 6 
2.5 CAPITEL ..................................................................................................................................... 7 
2.6 CASOS ESPECIAIS DE DEFINIÇÃO DO CONTORNO CRÍTICO ........................................................... 7 
2.7 INTERAÇÃO DE SOLICITAÇÕES NORMAIS E TANGENCIAIS ........................................................... 8 
3 DEFINIÇÃO DA TENSÃO RESISTENTE NAS SUPERFÍCIES CRÍTICAS C, C’ E C”........ 8 
3.1 VERIFICAÇÃO DA TENSÃO RESISTENTE DE COMPRESSÃO DIAGONAL DO CONCRETO NA 
SUPERFÍCIE CRÍTICA C .............................................................................................................................. 8 
3.2 TENSÃO RESISTENTE NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C’ EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS OU TRECHOS 
SEM ARMADURA DE PUNÇÃO .................................................................................................................... 8 
3.3 TENSÃO RESISTENTE NAS SUPERFÍCIES C’ EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS OU TRECHOS COM 
ARMADURAS DE PUNÇÃO .......................................................................................................................... 9 
3.4 DEFINIÇÃO DA SUPERFÍCIE CRÍTICA C” .................................................................................... 11 
3.5 COLAPSO PROGRESSIVO ........................................................................................................... 11 
3.6 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES SEM VIGAS ............................................................. 12 
3.7 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS EM LAJES SEM VIGAS ............................... 13 
4 EXEMPLO DE CÁLCULO ........................................................................................................... 14 
4.1 COMBINAÇÕES DE AÇÕES ......................................................................................................... 14 
4.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS .............................................................................................. 15 
4.3 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO ................................................................................................ 21 
4.4 DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO ................................................................................................ 25 
4.4.1 Armadura de punção para o pilar central (P5) .................................................................. 25 
4.4.2 Armadura de punção para os pilares de borda (P2, P4, P6 e P8) ..................................... 30 
4.4.3 Armadura de punção para os pilares de canto (P1, P3, P7 e P9) ...................................... 36 
4.5 DETALHAMENTO FINAL DA ARMADURA POSITIVA .................................................................... 42 
4.6 VERIFICAÇÃO DA FLECHA (ELS – DEF) .................................................................................. 43 
4.7 ABERTURA DE FISSURAS (ELS – W) ......................................................................................... 44 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................... 46 
 
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Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
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UNIDADE III 
Dimensionamento à Punção 
 
 
1 Modelo de cálculo 
 
O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais 
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. 
 
Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser 
verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão 
de cisalhamento. 
 
Na segunda superfície crítica (contorno C’), afastada 2d do pilar ou carga concentrada, 
deve ser verificada a capacidade de ligação à punção, associada à resistência à tração 
diagonal. Esta verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento, no 
contorno C’. 
 
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. 
 
A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for 
necessário colocar armadura transversal. 
 
2 Definição da tensão solicitante 
 
2.1 Pilar interno, com carregamento simétrico 
 
Caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico (figura 2.1): 
 
du
F
τ Sd
Sd = 
sendo: 
d = (dx + dy)/2 
onde: 
 
d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje; 
dx e dy as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
u é o perímetro do contorno crítico C'; 
ud é a área da superfície crítica; 
FSd é a força ou a reação concentrada, de cálculo. 
 
A força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da 
laje, dentro do contorno considerado na verificação, C ou C'. 
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Figura 2.1 - Perímetro crítico em pilares internos 
 
2.2 Pilar interno, com efeito de momento 
 
Caso em que além da força vertical existe transferência de momento da laje ao pilar, 
cujo efeito de assimetria deve ser considerado, de acordo com a expressão: 
 
dW
KM
ud
F
τ
p
SdSd
Sd += 
 
onde: 
 
K é o coeficiente que fornece a parcela do MSd transmitida ao pilar por cisalhamento, 
que depende da relação C1/C2. 
 
O coeficiente K assume os valores indicados na tabela 2.1. 
 
Tabela 2.1 - Valores de K 
 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força 
C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força 
 
Os valores de Wp devem ser calculados pelas expressões a seguir: 
 
Para um pilar retangular, no contorno C’: 
1
2
221
2
1
p dC216dd4CCC
2
C
W π++++= 
Para um pilar retangular, no contorno C”: 
pCp4pd16p2CdC216dd4CCC
2
C
W 1
2
21
2
221
2
1
p π++++π++++= 
 
 
Para um pilar circular, no contorno C’: 
( )2
p 4dDW += 
onde: 
 
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D é o diâmetro do pilar. 
W pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico, através 
da expressão: 
∫=
u
d
0
p eW l 
onde: 
dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; 
e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o 
momento fletor MSd. 
 
2.3 Pilares de borda 
 
a) quando não agir momento no plano paralelo à borda livre: 
 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
Sd11Sd
Sd += 
sendo: 
MSd1 = (MSd - MSd*) ≥ 0 
 
onde: 
 
FSd é a reação de apoio; 
 
u* é o perímetro crítico reduzido; 
 
MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; 
 
MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido 
u* em relação ao centro do pilar; 
 
WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre,calculado para o 
perímetro u; 
 
O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2.1, com C1 e C2 de 
acordo com a figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2 - Perímetro crítico em pilares de borda 
 
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b) quando agir momento no plano paralelo à borda livre: 
 
dW
MK
dW
MK
d*u
F
τ
p2
Sd22
p1
Sd11Sd
Sd ++= 
onde: 
 
MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; 
 
WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo 
perímetro u. 
 
O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2.1, substituindo-se 
C1/C2 por C2/2C1 (sendo C1 e C2 conforme a figura 2.2). 
 
2.4 Pilares de canto 
 
Aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à 
borda. 
 
Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação 
separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é 
perpendicular à borda livre adotada. 
 
Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, 
respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, 
conforme tabela 2.1 (ver figura 2.3). 
 
 
Figura 2.3 - Perímetro crítico em pilares de canto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5 Capitel 
 
Quando existe capitel, devem ser feitas duas verificações nos contornos críticos C1’ C2’, 
conforme indica a figura 2.4. 
 
 
Figura 2.4 - Definição da altura útil no caso de capitel 
 
onde: 
 
d é a altura útil da laje no perímetro C2’; 
 
dc é a altura útil da laje na face do pilar; 
 
da é a altura útil da laje no perímetro C1’; 
 
lc é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Quando: 
 
lc ≤ 2(dc – d) basta verificar o contorno C2’; 
 
2(dc – d) 2dc é necessário verificar os contornos C1’ e C2’. 
 
2.6 Casos especiais de definição do contorno crítico 
 
Se o contorno C apresentar reentrâncias, o contorno crítico C' deve ser paralelo ao 
polígono circunscrito ao contorno C (ver figura 2.5). 
 
 
Figura 2.5 - Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância 
 
Se na laje existir abertura situada a menos de 8d do contorno C, não deve ser 
considerado o trecho do contorno crítico C' entre as duas retas que passam pelo centro 
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de gravidade da área de aplicação da força e que tangenciam o contorno da abertura (ver 
figura 2.6). 
 
 
Figura 2.6 - Perímetro crítico junto a abertura na laje 
 
2.7 Interação de solicitações normais e tangenciais 
 
Não se exige a verificação da influência das solicitações normais, decorrentes de flexão 
simples ou composta da laje, na resistência à punção. 
 
3 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C’ e C” 
 
3.1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do 
concreto na superfície crítica C 
 
Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas a punção, com ou 
sem armadura. 
 
τSd ≤ τRd2 = 0,27αvfcd 
 
cd
ck
Rd2 f
250
f
10,27τ 





−= 
onde: 
 
αν = (1 - fck/250) , com fck em MPa; 
 
τSd é calculado conforme 2.1, com u0 (perímetro do contorno C) em lugar de u. 
 
3.2 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais 
ou trechos sem armadura de punção 
 
A tensão resistente na superfície crítica C’deve ser calculada como segue: 
 
( )1/3
ckRd1Sd f100ρ)20/d0,13(1ττ +=≤ 
 
sendo: 
 
d = (dx + dy) / 2 
 
yxρρρ = 
 
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onde: 
 
d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C' da área de aplicação da força, em 
centímetros; 
 
ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser 
desprezada); 
 
ρx e ρy são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas: 
 
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para 
cada um dos lados; 
 
- no caso de proximidade da borda prevalece a distância até a borda quando 
menor que 3d. 
 
Essa verificação deve ser feita no contorno crítico C' ou em C1' e C2' no caso de existir 
capitel. 
 
No caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
deve ser prevista armadura de punção, mesmo que τSd seja menor que τRd1. Essa 
armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd. 
 
 
3.3 Tensão resistente nas superfícies C’ em elementos estruturais ou 
trechos com armaduras de punção 
 
A tensão resistente na superfície crítica C’deve ser calculada como segue: 
 
( )
du
senαfA
s
d
1,5fρ100)20/d0,10(1ττ
ywdsw
r
1/3
ckRd3Sd ++=≤ 
sendo: 
 
sr ≤ 0,75d 
 
onde: 
 
sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior do que 0,75d; 
 
Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C'; 
 
α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; 
 
u é o perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de borda ou 
canto. 
 
fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com 
espessura maior que 15 cm esses valores podem ser aumentados segundo o critério: 
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As armaduras para resistir à punção devem ser constituídas por estribos verticais ou 
conectores (“studs”), com preferência pela utilização destes últimos. 
 
Para estribos, a resistência de cálculo pode ser considerada com os seguintes valores 
máximos, sendo permitida interpolação linear: 
 
- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
 
- 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm. 
 
Para conectores: 
 
- 300 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
 
- 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm. 
 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do 
perímetro do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da 
armadura de flexão correspondente. 
 
O diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20 e deve haver contato 
mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem mecânica). 
 
As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem como as 
distâncias regulamentares a serem obedecidas estão mostradas na figura 3.1. 
 
 
 
Figura 3.1 – Armaduras de punção 
 
 
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3.4 Definição da superfície crítica C” 
 
Quando for necessário utilizar armadura transversal ela deve ser estendida em contornos 
paralelos a C’ até que, num contorno C” afastado 2d do último contorno de armadura 
(ver figuras 3.2 e 3.3), não seja mais necessária armadura, isto é, τsd ≤ τRd1 (3.2). 
 
 
Figura 3.2 - Disposição da armadura de punção em planta e perímetro da superfície 
crítica C” 
 
 
Figura 3.3 - Disposição da armadura de punção em corte 
 
No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas: 
 
- tensão resistente de compressão do concreto no contorno C, conforme 3.1; 
- tensão resistente à punção no contorno C’, considerando a armadura de punção, 
conforme 3.3; 
- tensão resistente à punção no contorno C”, sem armadura de punção, conforme 3.2. 
 
No caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
deve ser prevista armadura de punção, mesmo que τSd seja menor que τRd1. Essa 
armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd. 
 
3.5 Colapso progressivo 
 
Para garantir a dutilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso progressivo,a 
armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar suficientemente 
ancorada além do perímetro C', conforme figura 3.4, e deve ser tal que: 
≤ 0,75d 
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As fyd ≥≥≥≥ FSd 
onde: 
As é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 - Armadura contra colapso progressivo 
 
3.6 Determinação dos esforços em lajes sem vigas 
 
A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo deve ser realizada mediante emprego de 
procedimento numérico adequado, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos e 
elementos de contorno. 
 
Nos casos em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira regular 
e com vãos pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo processo 
elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar em cada direção 
pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes. 
 
Para cada pórtico deve ser considerada a carga total. A distribuição dos momentos, 
obtida em cada direção, segundo as faixas indicadas na figura 3.5, deve ser feita da 
seguinte maneira: 
 
a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; 
b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; 
c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; 
d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. 
 
Devem ser cuidadosamente estudadas as ligações das lajes com os pilares, com especial 
atenção nos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da laje em 
relação ao apoio. Obrigatoriamente devem ser considerados os momentos de ligação 
entre laje e pilares extremos. 
 
 
Figura 3.5 - Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos 
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3.7 Detalhamento das armaduras longitudinais em lajes sem vigas 
 
Em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo aproximado do 
pórtico equivalente, devem ser respeitadas as disposições contidas na figura 3.6. 
 
 
Figura 3.6 – Lajes sem vigas 
 
Pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, 
respeitando-se também a armadura de colapso progressivo. 
 
Em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender às demais 
prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24φ no capitel. 
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4 Exemplo de cálculo 
 
A figura 4.1 ilustra a planta de forma do pavimento analisado. O pavimento não 
apresenta vigas, sendo a laje maciça de 24cm apoiada diretamente sobre nove pilares 
com seção constante de 40×40cm. A distância entre os eixos dos pilares é 6,8m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Pavimento analisado (sem escala). 
 
Considerou-se o pavimento como edifício comercial, com concreto C30 (fck=30 MPa) e 
cobrimento de 2,5cm. 
 
Módulo de elasticidade secante do concreto: Ecs = 0,85×5600 fck
1/2 = 26071,6 MPa. 
 
4.1 Combinações de ações 
 
Peso próprio (g) = 6,0 kN/m2 
Revestimentos (g) = 1,5 kN/m2 
Variável (q) = 2,0 kN/m2 
Carga característica total (p) = 9,5 kN/m2 
 
Combinação quase-permanente: 
pd,serv = g + ψ2 q 
pd,serv = 6,0 + 1,5 + 0,4×2,0 
P1 
40x40 
P2 
40x40 
P3 
40x40 
P4 
40x40 
P5 
40x40 
P6 
40x40 
P7 
40x40 
P8 
40x40 
P9 
40x40 
40 40 40 640 640 
640 
640 
40 
40 
40 
h=24cm 
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pd,serv = 8,3 kN/m2 
 
Combinação freqüente: 
pd,serv = g + ψ1 q 
pd,serv = 6,0 + 1,5 + 0,6×2,0 
pd,serv = 8,7 kN/m2 
 
4.2 Determinação dos Esforços 
 
Para determinação dos esforços utilizou-se o Método do Pórtico Equivalente, que 
consiste em: 
 
- Dividir a estrutura seguindo as linhas que unem os pilares (linhas de apoio), nas 
direções longitudinal e transversal; 
 
- Cada pórtico se compõe de uma linha de pilares ou apoios e uma faixa de laje 
(faixa tributária), limitada lateralmente pelas linhas que unem os pontos médios dos 
painéis de lajes adjacentes à linha de apoio ou por uma face externa da laje; 
 
- Para cálculo dos esforços devido às cargas verticais, os pórticos poderão ser 
considerados isoladamente para cada piso, com os pilares superiores e inferiores 
engastados nas extremidades. 
 
Quando as cargas acidentais não ultrapassarem 75% das cargas permanentes, os 
esforços poderão ser calculados considerando todos os vãos carregados, 
simultaneamente, com a carga total. 
 
Caso contrário, os esforços deverão ser calculados alternando-se as cargas acidentais, de 
modo a produzirem o maior esforço na seção considerada, tomando-se, no entanto, 
apenas 75% do valor da carga acidental. Os esforços não deverão ser menores que 
aqueles resultantes do carregamento total em todos os vãos. 
 
Segundo a NBR 6118, para a distribuição dos momentos, obtida em cada direção, 
segundo as faixas indicadas na figura 4.2, deve ser feita da seguinte maneira: 
 
a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; 
b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; 
c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; 
d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. 
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Figura 4.2 – Determinação das faixas para o pórtico equivalente. 
 
Deve-se observar que no cálculo do pórtico equivalente considera-se a totalidade das 
cargas em ambas as direções. Com relação às reações verticais, entretanto, adota-se o 
maior valor obtido nas duas direções, não devendo somar as duas reações. Recomenda-
se não usar valor inferior ao obtido por área de influência do pilar. 
 
Os valores para os momentos negativos obtidos neste processo não podem ser 
arredondados. Para as flechas, devem-se somar os valores obtidos nos pórticos das duas 
direções. 
 
As figuras 4.3 e 4.4 mostram as faixas internas e externas para o pavimento em estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 - Faixas internas e externas para o pavimento na direção x. 
 
 
P1 P2 P3 
P4 P5 P6 
P7 P8 P9 
170 
170 
170 
170 
340 
340 
FAIXA EXTERNA 
FAIXAS EXTERNAS 
FAIXA EXTERNA 
FAIXAS INTERNAS 
FAIXAS INTERNAS 
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Figura 4.4 - Faixas internas e externas para o pavimento na direção y. 
 
 
A figura 4.5 mostra o pórtico equivalente lançado no programa SAP2000. A laje é 
discretizada como uma viga com largura de 680cm e altura de 24cm. 
 
As cargas verticais distribuídas consideradas no pórtico são: 
Peso próprio (g) = 6,0 kN/m2×6,8m = 40,8 kN/m 
Revestimentos (g) = 1,5 kN/m2×6,8m = 10,2 kN/m 
Variável (q) = 2,0 kN/m2×6,8m = 13,6 kN/m 
 
Carga característica total (p) = 64,6 kN/m 
Combinação quase-permanente (pd,serv) = 56,44 kN/m 
Combinação freqüente (pd,serv) = 59,16 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 P2 P3 
P4 P5 P6 
P7 P8 P9 
170 170 170 170 340 340 
F
A
IX
A
S
 IN
T
E
R
N
A
S
 
F
A
IX
A
S
 IN
T
E
R
N
A
S
 
F
A
IX
A
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 E
X
T
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IX
A
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X
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F
A
IX
A
 E
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N
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Figura 4.5 – Pórtico plano equivalente. 
 
 
A figura 4.6 mostra os diagramas de momentos fletores para a carga característica total 
(p). 
 
 
Figura 4.6 - Diagrama de momentos fletores para a carga característica total (p). 
 
 
Após a determinação dos momentos para o pórtico equivalente, faz-se a distribuição dos 
momentos para as faixas segundo o critério da NBR 6118:2003: 
 
 
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a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; 
b) 27,5% dos momentospositivos para cada uma das faixas externas; 
c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; 
d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. 
 
Então, para a faixa externa tem-se: 
 
Momento negativo no centro: 
M = 303,39 × 0,375 / 1,70 
M = 66,92 kN.m/m 
 
Momento negativo no bordo: 
M = 136,91 × 0,375 / 1,70 
M = 30,20 kN.m/m 
 
Momento positivo: 
M = 157,51 × 0,275 / 1,70 
M = 25,48 kN.m/m 
 
Para a faixa interna: 
 
Momento negativo no centro: 
M = 303,39 × 0,25 / 3,40 
M = 22,31 kN.m/m 
 
Momento negativo no bordo: 
M = 136,91 × 0,25 / 3,40 
M = 10,07 kN.m/m 
 
Momento positivo: 
M = 157,51 × 0,45 / 3,40 
M = 20,85 kN.m/m 
 
Na figura 4.7 são apresentadas as reações obtidas: pilar central = 488,24 kN; pilar de 
extremidade = 195,16 kN. Para os pilares de canto a reação vertical é considerada 
metade da reação do pilar de extremidade (97,58 kN). 
 
 
 
 
 
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Figura 4.7 – Reações para a carga característica total (p). 
 
 
Recomenda-se não empregar valor para as reações inferiores aos obtidos por área de 
influência dos pilares. 
 
Reação por área de influência para os pilares de canto (P1, P3, P7 e P9): 
Reação = área x carga característica total 
R = 3,6 m × 3,6 m × 9,5 kN/m2 
R = 123,12 kN 
 
Reação por área de influência para os pilares de Bordo (P2, P4, P6 e P8); 
R = 3,6 m × 6,8 m × 9,5 kN/m2 
R = 232,56 kN 
 
Reação por área de influência para o pilar central (P5); 
R = 6,8 m × 6,8 m × 9,5 kN/m2 
R = 439,28 kN 
 
Sendo assim, consideraram-se as reações máximas indicadas na figura 4.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 4.8 – Máximas reações obtidas (pelo processo de pórtico e por área de 
influência). 
 
4.3 Dimensionamento à flexão 
 
Dimensionamento para o momento negativo no centro da faixa externa 
 
Momento de cálculo: 
Md = γf Mk = 1,4×66,92 = 93,69 kN.m/m = 9369 kN.cm/m 
 
Altura útil (considerando a camada com menor altura útil e bitola de 12,5mm): 
d = h - c - φ - φ/2 = 24 - 2,5 - 1,25 - 1,25/2 = 19,625cm 
 
Altura da linha neutra: 








−−=
2
wcd
d
dbf0,425
M
11d25,1x 








×××
−−×=
219,6251003/1,40,425
9369
1119,6251,25x 
x = 3,53cm 
xlim = 0,5 d = 9,81cm 
Como x ≤ xlim → armadura simples: 
 
Área de armadura: 
P1 P2 P3 
P4 P5 P6 
P7 P8 P9 
R=123,12 kN R=123,12 kN R=232,56 kN 
R=123,12 kN R=123,12 kN R=232,56 kN 
R=232,56 kN R=232,56 kN R=488,24 kN 
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yd
wcd
s f
xbf0,68
A = 
( )
( )1,1550
3,531001,430,68
A s
×××
= 
As = 11,83cm2 
 
Taxa mínima de armadura: 
0,15%
f
f
ωρ
yd
cd
minmin ≥= → ρmin = 0,173%. 
ωmin = 0,035 (para seção retangular) 
( )
( )
%173,0
15,150
4,13
035,0min =×=ρ 
 
Armadura mínima: 
As min = ρmin b h = 0,00173×100×24 = 4,14cm2. 
 
Espaçamento máximo entre as barras: 



=
≤
48cmh2
20cm
smax 20cmsmax = 
 
Será utilizada a bitola (φ) 12,50mm. 
 
10cmc/ mm12,50
11,83
1,25100
s12,5mm
A
100.as
n
s
φ=
×
=→φ∴= 
 
Nas tabelas 4.1 e 4.2 são mostrados os resultados para os demais momentos das faixas 
externa e interna. 
 
Tabela 4.1 – Resultados do dimensionamento à flexão para as faixas externas 
 
Posição do momento Mk (kN.m/m) As (cm2/m) Bitolas e espaçamentos 
Momento negativo centro 66,92 11,83 φ 12,5mm c/10 
Momento negativo bordo 30,20 5,11 φ 10,0mm c/15 
Momento positivo 25,48 4,29 φ 10,0mm c/18 
 
Tabela 4.2 – Resultados do dimensionamento à flexão para as faixas internas 
 
Posição do momento Mk (kN.m/m) As (cm2/m) Bitolas e espaçamentos 
Momento negativo centro 22,31 4,14 φ 10,0mm c/19 
Momento negativo bordo 10,07 4,14 φ 10,0mm c/19 
Momento positivo 20,85 4,14 φ 10,0mm c/19 
 
Nas figuras 4.9 a 4.12 são mostrados os detalhamentos das armaduras positivas e 
negativas da laje, nas duas direções. 
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Figura 4.9 – Detalhamento da armadura positiva (1/2). 
SEM ARMADURA CONTRA COLAPSO PROGRESSIVO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Detalhamento da armadura positiva (2/2). 
SEM ARMADURA CONTRA COLAPSO PROGRESSIVO 
Obs.: l0t=α0t lb =1,8×34φ=62 
62 
62 
10 N1 φ10 c/38 C=829 
817 12 
10 N2 φ10 c/38 C=652 
640 12 
10 N2 φ10 c/38 C=652 
640 12 
10 N1 φ10 c/38 C=829 
817 12 
11 N1 φ10 c/36 11 N2 φ10 c/36 
11 N2 φ10 c/36 11 N1 φ10 c/36 
10 N1 φ10 c/38 10 N2 φ10 c/38 
10 N2 φ10 c/38 10 N1 φ10 c/38 
6 N1 φ10 c/36 6 N2 φ10 c/36 
6 N2 φ10 c/36 6 N1 φ10 c/36 
6 N1 φ10 c/36 6 N2 φ10 c/36 
6 N2 φ10 c/36 6 N1 φ10 c/36 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
11
 N
1 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
2 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
1 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
2 
φ
10
 c
/3
6 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
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Figura 4.11 – Detalhamento da armadura negativa (1/2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12 – Detalhamento da armadura negativa (2/2). 
 
18 N1 φ12,5 c/20 C=514 
476 19 19 
18 N2 φ12,5 c/20 C=378 
340 19 19 
18 N3 φ10,0 c/19 C=378 
340 19 19 
18 N3 φ10,0 c/19 
10 N1 φ12,5 c/20 
10 N2 φ12,5 c/20 
10 N1 φ12,5 c/20 
10 N2 φ12,5 c/20 
18 N4 φ10,0 c/19 C=206 
187 19 
18 N4 φ10,0 c/19 
18 N4 φ10,0 c/19 18 N4 φ10,0 c/19 
10 N5 φ10,0 c/38 C=274 
255 19 
10 N4 φ10,0 c/38 
10 N5 φ10,0 c/38 
10 N4 φ10,0 c/38 
6 N4 φ10,0 c/38 
6 N5 φ10,0 c/38 
6 N4 φ10,0 c/38 
6 N5 φ10,0 c/38 
6 N4 φ10,0 c/38 
6 N5 φ10,0 c/38 
6 N4 φ10,0 c/38 
6 N5 φ10,0 c/38 
6 
N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
6 
N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
18
 N
4 
φ
10
,0
 c
/1
9 
10
 N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
10
 N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
18
 N
4 
φ
10
,0
 c
/1
9 
6 
N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
6 
N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
10
 N
1 
φ
12
,5
 c
/2
0 
10
 N
2 
φ
12
,5
 c
/2
0 
18
 N
3 
φ
10
,0
 c
/1
9 
18
 N
1 
φ
12
,5
 c
/2
0 
18
 N
2 
φ
12
,5
 c
/2
0 
18
 N
3 
φ
10
,0
 c
/1
9 
10
 N
1 
φ
12
,5
 c
/2
0 
10
 N
2 
φ
12
,5
 c
/2
0 
6 
N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
6 
N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
18
 N
4 
φ
10
,0
 c
/1
9 
10
 N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
10
 N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
18
 N
4 
φ
10
,0
 c
/1
9 
6 
N
5 
φ
10
,0
 c
/3
8 
6 
N
4 
φ
10
,0
 c
/3
8 
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25 
4.4 Dimensionamento à punção 
 
4.4.1 Armadura de punção para o pilar central (P5) 
 
Carga vertical característica (Fk) = 488,24 kN. 
Carregamento simétrico (Mx=My=0). 
Seção do pilar 40×40cm. 
 
Devem ser realizadas verificações ao cisalhamento nas superfícies críticas C e C´ com o 
objetivo de se determinar a necessidade da utilização da armadura de punção. 
 
4.4.1.1 Verificação na superfície C 
 
Deve-se verificar: 
τSd ≤ τRd2 = 0,27αvfcd 
 
Esta verificação deve ser feita em lajes submetidas a punção, com ou sem armadura 
transversal. 
 
A tensão resistente é dada por: 
 
τRd2 = 0,27αv fcd 
cd
ck
Rd2 f
250
f
10,27τ 





−= 
MPa09,5
1,4
30
250
30
10,27τRd2 =





−= 
 
A tensão solicitante é calculada por: 
du
F
τ Sd
Sd = 
onde: 
d = (dx + dy)/2 
d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje; 
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
ué o perímetro do contorno considerado; 
ud é a área da superfície crítica; 
FSd é a força ou a reação concentrada, de cálculo. 
 
dx = h - c - φx = 24 – 2,5 – 1,25/2 = 20,87cm 
dy = h - c - φx - φy/2 = 24 – 2,5 – 1,25 – 1,25/2 = 19,625cm 
d = (20,87 + 19,625)/2 = 20,25cm 
u = 2×40 + 2×40 = 160cm 
 
du
F
τ Sd
Sd = = 2kN/cm211,0
20,25 160
488,24 1,4
=
×
×
= 2,11 MPa 
 
Então: 
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26 
Rd2Sd ττ ∴ 0,814 MPa > 0,684 MPa → Não Ok, usar armadura transversal ou 
aumentar a espessura da laje. 
 
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27 
4.4.1.3 Verificação na superfície C’ com armadura transversal 
 
Para lajes com armadura transversal, deve-se verificar: 
 
τSd ≤ τRd3 
sendo 
( )
ud
senαfA
s
d
1,5f100)20/d0,10(1τ
ywdsw
r
1/3
ckRd3 ++= ρ 
onde: 
sr ≤ 0,75d (distância entre as camadas de armadura) 
sr ≤ 0,75×20,25 = 15,19cm 
sr = 15cm 
 
Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C'; 
α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; 
u é o perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de borda ou 
canto. 
fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com 
espessura maior que 15 cm esses valores podem ser aumentados até o limite de 435 
MPa para lajes com 35cm de espessura. Para espessuras entre 15 e 35 cm deve-se 
interpolar os valores. 
 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do 
perímetro do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da 
armadura de flexão correspondente. 
 
Considerando armadura transversal do tipo conectores com CA-50, deve-se interpolar a 
tensão de escoamento de cálculo, pois a laje tem 24cm de espessura: 
 
2435
f435
15 -35
300 - 435 ywd
−
−
= ∴ fywd = 360,75 kN/cm2
 
 
Fazendo τSd = τRd3 → τRd3 = 0,814 MPa: 
 
( )
20,25414,46
360,75A
15
20,25
1,53000612,0100)20/20,25(10,100,814 sw1/3
×
+×××+×= 
 
Então: 
Asw = 3,21 cm2 
 
Como o valor é pequeno, pode-se optar por utilizar distribuição em cruz com oito pinos 
em cada camada de armadura. Assim: 
φp= 
p
sw
n
A
 = 
8
3,21
 = 0,39 cm2 
onde np é o numero de pinos e φp é o diâmetro do pino. 
 
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28 
Então serão utilizados 8 pinos com diâmetros de 8mm, com distribuição em cruz (ver 
figura 4.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.13 – Detalhe da armadura transversal. 
 
A distância entre as armaduras transversais deve respeitar os limites superiores 
indicados na figura 3.2. 
 
4.4.1.4 Verificação na superfície C’’ com armadura transversal 
 
Quando for necessário utilizar armadura transversal ela deve ser estendida em contornos 
paralelos a C’ até que, num contorno C”, afastado 2d do último contorno de armadura 
(ver figura 4.14), não seja mais necessária armadura, isto é, τsd ≤ τRd1. 
 
 
Figura 4.14 - Disposição da armadura de punção em planta e perímetro da superfície 
crítica C” 
 
Então, deve-se verificar: 
Rd1Sd ττ ≤ 
 
sendo τRd1 o valor já calculado anteriormente: τRd1 = 0,068 kN/cm2 
sr1 = 10cm 
sr = 15cm 
sr = 15cm 
sr1 ≤ 0,5d 
sr ≤ 0,75d 
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29 
 
Tensão solicitante (para carregamento simétrico, ou seja, sem efeito de momento): 
du
F
τ Sd
Sd = 
 
Para distribuição em cruz: 
u = 4×40 + 8d + 2π(2d) = 4×40 + 8×20,25 + 2 π (2×20,25) = 576,46cm 
 
du
F
τ Sd
Sd = = 2kN/cm058,0
20,25 576,46
488,24 1,4
=
×
×
= 0,58 MPa 
 
Rd1Sd ττé dada por: 
( )1/3
ckRd1 f100ρ)20/d(10,13τ += 
 
Armadura negativa paralela à borda: φ12,5mm c/ 10cm 
 
s
c-C3d
n 1+
= barras 99,8
10
2,5-4020,313
==
+×
= 
)C(3dd
asn
1x
x
+
=ρ = %534,0
)4031,203(87,20
25,19
=
+××
×
 
 
Armadura negativa perpendicular à borda: φ10,0mm c/ 19cm 
 
s
3dC3d
n 2 ++
= barras 851,8
19
20,3134020,313
==
×++×
= 
)C3d(2d
asn
2y
y
+×
=ρ = %20,0
)4031,2032(75,19
8,08
=
+×××
×
 
 
yxρρρ = = 0,3275% 
 
( )1/3
ckRd1 f100ρ)20/d(10,13τ += 
( )1/3
Rd1 300,003275100)20/20,31(10,13τ ××+= = 0,555 MPa 
 
Tensão solicitante no perímetro C’: 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
sd11Sd
Sd += 
sendo 
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32 
K1 = 0,6 para C1/C2=1,0 (conforme a tabela 2.1) 
MSd1 = (MSd - MSd*) ≥ 0 
MSd* = FSd e* 
 
 
u* = 2a + 2πd+C2 = 2×20 + 40 +2π20,31= 207,61cm 
 
π++
++++−
=
2dC2a
πdC8dd2C
2
CC
aaC
*e
2
1
2
2
212
1
 
20,31240202
40π20,3120,31820,31402
2
4040
202040
e*
22
π++×
×+×+××+
×
+−×
= 
 
e* = 41,79cm 
 
MSd* = FSd e* = 1,4×232,56×41,79 = 13607,59 kN.cm = 136,08 kN.m 
 
MSd = 1,4 Mk = 1,4×136,91 = 191,67 kN.m 
 
MSd1 = (MSd - MSd*) = 191,67 - 136,08 = 55,594 kN.m > 0 
 
Cálculo de Wp segundo a correção dos Comentários Técnicos da NB1: 
222
p 5708,97cm53,42722eW =×== 
247,61
22,13229
u
W
e 0
x == = 53,427cm 
2
0
22
0
1
2
221
2
10
13229,22cmW
402ππ20,320,25820,31402404040W
dC28dd2CCCCW
=
×+×+××+×+=
π++++=
 
247,61cmu
20,31240402u
d2C2Cu 21
=
π++×=
π++=
 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
sd11Sd
Sd += 
20,315708,97
4,5559 0,6
20,31 207,61
232,56 1,4
τSd
×
×
+
×
×
= = 0,0772 + 0,0288 = 0,106 kN/cm2 = 1,06 MPa 
Rd1Sd ττ 0,555 MPa → Não Ok, utilizar armadura de punção. 
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Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
33 
 
Observação: Cálculo de Wp segundo os Comentários Técnicos da NB1: 
dC8dd2C
2
CC
2
C
W 1
2
2
21
2
1
p π++++= 
2
p 7,0cm907W = 
 
4.4.2.3 Verificação na superfície C’ com armadura transversal 
 
Para lajes com armadura transversal, deve-se verificar: 
 
τSd ≤ τRd3 
sendo 
( )
ud
senαfA
s
d
1,5f100)20/d0,10(1τ
ywdsw
r
1/3
ckRd3 ++= ρ 
onde: 
sr ≤ 0,75d (distância entre as camadas de armadura) 
sr ≤ 0,75×20,31 
sr = 15cm 
 
Fazendo τSd = τRd3 → τRd3 = 1,06 MPa: 
 
( )
20,31207,61
360,75A
15
20,31
1,530003275,0100)20/20,31(10,101,06 sw1/3
×
+×××+×= 
Então: 
Asw = 3,64 cm2 
Esta armadura deve estar localizada no contorno do perímetro crítico. 
 
 
Para pilares de borda e de canto o ideal é utilizar a distribuição radial. Assim, usando-se 
9 pinos em cada camada: 
φp= 
p
sw
n
A
 = 
9
3,64
 = 0,404 cm2 
onde np é o numero de pinos e φp é o diâmetro do pino. 
 
Então serão utilizados 9 pinos com diâmetros de 8mm, com distribuição radial (ver 
figura 4.16). 
 
 
 
 
 
 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
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34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.16 – Detalhe da armadura transversal. 
 
 
4.4.2.4 Verificação na superfície C’’ com armadura transversal 
 
Deve-se verificar: 
Rd1Sd ττ ≤ 
 
sendo τRd1 o valor já calculado anteriormente: τRd1 = 0,0555 kN/cm2 
 
Tensão solicitante no perímetro C”: 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
sd11Sd
Sd += 
sendo 
K1 = 0,6 para C1/C2=1,0 (conforme a tabela 2.1) 
MSd1 = (MSd - MSd*) ≥ 0 
MSd* = FSd e* 
 
u* = 2a + C2 + π(2d + p) = 2×20 + 40 +π (2×20,31+40) = 333,275cm 
 
pd2C2a
2p
2
pC
8dppCdC8dd2C
2
CC
aaC
e*
2
21
21
2
2
212
1
ππ
π
π
+++
++++++++−
= 
e* = 67,48cm 
 
MSd* = FSd e* = 1,4×232,56×67,48 = 21970 kN.cm = 219,70 kN.m 
 
MSd = 1,4 Mk = 1,4×136,91 = 191,67 kN.m 
 
MSd1 = (MSd - MSd*) = 191,67 - 219,70 0 
 
 
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38 
Cálculo de Wp segundo a correção dos Comentários Técnicos da NB1: 
222
p 6602,88cm57,4622eW =×== 
144,40
11,8297
u
W
e 0
x == = 57,46cm 
1
2
221
2
10 dC4dd2CCC2/CW π++++= 
2
0 8297,11cmW = 
dCCu 21 π++= 
144,40u = cm 
 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
sd11Sd
Sd += 
20,56602,88
2337 0,6
20,5 104,4
12,123 1,4
τSd
×
×
+
×
×
= = 0,0805 + 0,0104 = 0,091 kN/cm2 = 0,91 MPa 
Rd1Sd ττ 0,463 MPa → Não Ok, utilizar armadura de punção. 
 
4.4.3.3 Verificação na superfície C’ com armadura transversal 
 
Para lajes com armadura transversal, deve-se verificar: 
 
τSd ≤τRd3 
sendo 
( )
ud
senαfA
s
d
1,5f100)20/d0,10(1τ
ywdsw
r
1/3
ckRd3 ++= ρ 
onde: 
sr ≤ 0,75d (distância entre as camadas de armadura) 
sr ≤ 0,75×20,5 
sr = 15cm 
 
Fazendo τSd = τRd3 → τRd3 = 0,91 MPa: 
 
( )
20,5104,4
360,75A
15
20,5
1,53000192,0100)20/20,5(10,100,91 sw1/3
×
+×××+×= 
Então: 
Asw = 1,60 cm2 
Esta armadura deve estar localizada no contorno do perímetro crítico. 
 
Para pilares de canto o ideal é utilizar a distribuição radial. Assim, usando-se 5 pinos em 
cada camada: 
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39 
φp= 
p
sw
n
A
 = 
5
1,60
 = 0,32 cm2 
onde np é o numero de pinos e φp é o diâmetro do pino. 
 
Então serão utilizados 5 pinos com diâmetros de 8mm, com distribuição radial (ver 
figura 4.17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.17 – Detalhe da armadura transversal. 
 
 
4.4.3.4 Verificação na superfície C’’ com armadura transversal 
 
Deve-se verificar: 
Rd1Sd ττ ≤ 
 
sendo τRd1 o valor já calculado anteriormente: τRd1 = 0,463 MPa 
 
Tensão solicitante no perímetro C”: 
dW
MK
d*u
F
τ
p1
sd11Sd
Sd += 
sendo 
K1 = 0,6 para C1/C2=1,0 (conforme a tabela 2.1) 
MSd1 = (MSd - MSd*) ≥ 0 
MSd* = FSd e* 
 
u* = a1 + a2 + π d + π p/2 = 167,23cm 
 
p/2)da(a 2
2p
2
pC
8dpp2adC8dda4aCaaC
e*
21
21
21
2
221
2
111
ππ
π
π
+++
++++++++−
= 
e* = 67,72cm 
32 0,463 MPa → Não Ok, precisa mais camadas de armadura. 
 
Para mais uma camada de armadura: p = 10 + 15 + 15 + 15 = 55cm 
u* = a1 + a2 + π d + π p/2 = 190,80cm 
0,0
20,5 190,80
12,123 1,4
τSd +
×
×
= = 0,0440 + 0,0 = 0,044 kN/cm2 = 0,44 MPa 
Rd1Sd ττ 0,463 MPa → Ok, não precisa mais camadas de armadura. 
 
Então, o detalhamento final deve ter 4 camadas, conforme a figura 4.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.18 – Detalhe da armadura transversal. 
 
 
 
41=2d 
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41 
4.4.3.5 Armadura contra colapso progressivo 
 
As fyd ≥ FSd 
As = 2cm 4,25
43,5
132,121,4
=
×
 
A armadura positiva existente é φ10mm c/18 → 2 barras atravessam as faces do pilar 
em cada direção, mas passam por apenas uma face. 
Então, tem-se: 
As = 2 × 2 × 0,8 = 3,2 cm2 → armadura positiva insuficiente 
 
Armadura adicional: 
As = 4,25 – 3,2 = 1,05cm2 
 
Em cada face: 
As = 1,05 / 2 
As = 0,525cm2 
 
Então, pode-se usar como armadura adicional contra colapso progressivo: 1 φ10 mm nas 
duas direções. 
 
 
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42 
4.5 Detalhamento final da armadura positiva 
Adicionando-se as armaduras contra colapso progressivo (figuras 4.19 e 4.20): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.19 – Detalhamento da armadura positiva (1/2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.20 – Detalhamento da armadura positiva (2/2). 
62 
62 
10 N1 φ10 c/38 C=829 
817 12 
10 N2 φ10 c/38 C=652 
640 12 
10 N2 φ10 c/38 C=652 
640 12 
10 N1 φ10 c/38 C=829 
817 12 
11 N1 φ10 c/36 11 N2 φ10 c/36 
11 N2 φ10 c/36 11 N1 φ10 c/36 
10 N1 φ10 c/38 10 N2 φ10 c/38 
10 N2 φ10 c/38 10 N1 φ10 c/38 
6 N1 φ10 c/36 
6 N2 φ10 c/36 
6 N2 φ10 c/36 6 N1 φ10 c/36 
6 N1 φ10 c/36 6 N2 φ10 c/36 
6 N2 φ10 c/36 6 N1 φ10 c/36 
3 N3 φ10 C=188 2 N4 φ10 C=133 2 N4 φ10 
1 N4 φ10 
1 N4 φ10 
1 N4 φ10 
1 N4 φ10 
2 N3 φ10 
2 N3 φ10 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
11
 N
1 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
2 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
1 
φ
10
 c
/3
6 
11
 N
2 
φ
10
 c
/3
6 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
1 
φ
10
 c
/3
8 
10
 N
2 
φ
10
 c
/3
8 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
1 
φ
10
 c
/3
6 
6 
N
2 
φ
10
 c
/3
6 
3 
N
3 
φ
10
 
1 
N
4 
φ
10
 
2 
N
3 
φ
10
 
2 
N
3 
φ
10
 
1 
N
4 
φ
10
 
1 
N
4 
φ
10
 
1 
N
4 
φ
10
 
2 
N
4 
φ
10
 
2 
N
4 
φ
10
 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
43 
4.6 Verificação da Flecha (ELS – DEF) 
 
Combinação quase-permanente (CQP): 
pd,serv = g + ψ2 q 
pd,serv = 8,3 kN/m2 
Para o pórtico plano: pd,serv = 56,44 kN/m 
 
Momento de Serviço: 
Obtido do programa SAP2000 para a combinação quase-permanente: 
 
Momento positivo na faixa externa: 
M = 137,61 x 0,275 / 1,70 
Ma = Md,serv = 22,26 kN.m/m 
 
Momento de fissuração: 
fctm = 0,3 fck
2/3 = 2,897 MPa = 0,2897 kN/cm2 
Mr = 0,25 fctm b h2 = 4171,68 kN.cm/m = 41,71 kN.m/m 
 
Ma 70 meses 
 
para to = 1mês → ξ(to) = 0,68 
para t = ∞→ ξ( t = ∞) = 2,0 
αf = 2,0 – 0,68 = 1,32 
 
δ (t=∞) = (1 +1,32) δ (t=0) = 2,32 δ (t=0) 
δ (t=∞) = 2,32×0,48 = 1,11cm 
 
Flecha admissível: 
Considerando que não existe parede sobre a laje e nem acima, tem-se como limite: 
δadm = L/250 = 680/250 =2,8cm 
δ (t=∞) Mr → seção fissurada, estádio II. 
 
Posição da LN: 
b = 100cm 
d = 20,25cm 
As = 100as/s = 100×1,25/10 = 12,5cm2/m 
A’s = 100as/s = 100×0,8/18 = 4,44cm2/m 
Es = 210.000 MPa 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
45 
n = 15 
0x)(dnA)d'(x1)(nA'
2
xb
ss
2
=−−−−+ 
x = 6,81cm 
 
Momento de inércia da seção no estádio II: 
III = 2
s
2
s
3
x)(dnA)d'(x)1(nA'
3
xb
−+−−+ 
III = 45027cm4 
 
Tensão na armadura: 
kII = Ma/ III =6128/45027 = 0,136 kN/cm3 
x)-(dnkσ IIs = = 27,43 kN/cm2 
 
Controle sem a avaliação da abertura de fissuras (Tabela NBR 6118:2003): 
σs = 280 MPa - φmax = 12,5mm → Ok 
σs = 280 MPa - smax = 15cm → Ok (s = 10cm) 
 
Parâmetros para as fórmulas de abertura de fissura: 
 
 
 
 
 
 
 
Acr = (c + φ + 7φ)×100 = 1250cm2 
ρr = As/Acr = 0,01 
η1 = 2,25 
Es = 21000 kN/cm2 
 
Abertura de fissura: 
mm17,0
f
3σ
E
σ
12,5η
w
ctm
s
s
s
1
=
φ
= 
mm26,045
ρ
4
E
σ
12,5η
w
rs
s
1
=





+
φ
= 
 
Então: w = 0,17mm2003. 
 
CORDOVIL, F. A. B. Lajes de Concreto Armado – Punção. Editora da UFSC: 
Florianópolis, 1997. 
 
IBRACON. Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB1. IBRACON: Rio 
de Janeiro, 2007. 
 
MARCOLLA, A. J. Análise de lajes planas de concreto armado e protendido. Trabalho 
de Conclusão de Curso – Engenharia Civil, UNIVALI: Itajaí, 2007. 
 
 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
47 
Exercício (peso 6,0 na M2) – Estruturas de Concreto Armado II Data: 13/06/08 
Professor: Luiz Alberto Duarte Filho 
Aluno(a):______________________________________________________________ 
 
Verificar à punção a ligação laje-pilar indicada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Planta baixa e corte da ligação laje-pilar (dimensões em cm). Sem escala. 
 
Dados: Fk = 500 kN (reação vertical característica da laje no pilar); 
Mk1 = 50 kN.m (momento característico transmitido para o pilar); 
Mk2 = 35 kN.m (momento característico transmitido para o pilar); 
seção do pilar: 25×55cm; 
espessura da laje no capitel: 25cm; 
 c = 2,0cm; 
 concreto C30; 
usar armadura radial e conectores de aço CA-50. 
 
 
25 
55 
35 kN.m 
50 kN.m 
55 
φ12,5 c/10 φ16,0 c/10 
25 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
48 
Resolução: 
 
Verificações sem armadura de punção: 
 
Perímetro C: 
τRd2 = 0,509 kN/cm2 
d = 21,50cm 
τSd = 0,204 kN/cm2 
 
Perímetro C’: 
ρ = 0,718% 
τRd1 = 0,071 kN/cm2 
u’ = 430,05 cm 
W’px = 19852 cm2 
W’py = 17180 cm2 
Kx = 0,72 
Ky = 0,45 
τ’Sd = 0,0935 kN/cm2 
Não Ok 
 
Verificações com armadura de punção: 
 
Perímetro C’: 
fywd = 367,5 MPa 
Asw = 4,84 cm2 
16 φ 6,3mm (radial) 
 
Perímetro C”: 
τRd1 = 0,071 kN/cm2 
u” = 694,07 cm 
W”px = 50706 cm2 
W”py = 46592 cm2 
τ”Sd = 0,054 kN/cm2 
Ok 
 
 
Armadura contra colapso progressivo: 
As = 19,8 cm2 
As/4 = 4,94 cm2 
3 φ 16mm em cada direção 
 
 
 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
49 
Exercício (peso 6 na M2) – Estruturas de Concreto Armado II Data: 12/11/08 
Professor: Luiz Alberto Duarte Filho 
Aluno(a):_____________________________________________________________ 
 
 
 
Verificar à punção a ligação laje-pilar indicada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Planta baixa e corte da ligação laje-pilar (dimensões em cm). Sem escala. 
 
Dados: Fk = 615 kN (reação vertical característica da laje no pilar); 
Mk = 30 kN.m (momento característico transmitido para o pilar); 
Mk = 20 kN.m (momento característico transmitido para o pilar); 
seção do pilar: 30×50cm; 
espessura da laje no capitel: 30cm; 
 c = 2,0cm; 
 concreto C35; 
usar armadura radial e conectores de aço CA-50. 
 
 
50 
30 
20 kN.m 
30 kN.m 
30 
φ12,5 c/12 φ12,5 c/8 
30 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado II 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
50 
Resolução: 
 
Verificações sem armadura de punção: 
 
Perímetro C: 
τRd2 = 0,581 kN/cm2 
d = 26,75cm 
τSd = 0,201 kN/cm2 
 
Perímetro C’: 
ρx = 0,574% 
ρy = 0,381% 
ρ = 0,47% 
τRd1 = 0,0616 kN/cm2 
u’ = 496,15 cm 
W’px = 23791 cm2 
W’py = 25812 cm2 
Kx = 0,48 
Ky = 0,667 
τ’Sd = 0,0707 kN/cm2 
Não Ok 
 
Verificações com armadura de punção: 
 
Perímetro C’: 
fywd = 401,25 MPa 
sr = 20 
sr1 = 13 
Asw = 3,85 cm2 
14 φ 6,3mm (radial) 
 
Perímetro C”: 
τRd1 = 0,0616 kN/cm2 
u” = 496,15 cm 
W”px = 68006 cm2 
W”py = 71237 cm2 
τ”Sd = 0,0409 kN/cm2 
Ok 
 
 
Armadura contra colapso progressivo: 
As = 19,8 cm2 
As/4 = 4,94 cm2 
3 φ 16mm em cada direção