7 - Cinemática inversa

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Cinemática inversa
Apresentação
A cinemática inversa é um ramo essencial da robótica, focado em determinar os possíveis 
movimentos e configurações de um robô para alcançar a posição e orientação desejadas do 
efetuador final. Trata-se de um problema complexo e multifacetado que envolve um profundo 
conhecimento em geometria e algoritmos. A busca pela solução desses problemas é um dos pilares 
para o controle eficiente e eficaz de sistemas robóticos em diversas aplicações práticas, desde a 
automação industrial até intervenções médicas minimamente invasivas.
Avançando mais profundamente, a cinemática inversa para robôs do tipo RR e RRR envolve a 
análise e o cálculo de juntas rotativas. Aqui, a aplicação da conversão de Denavit-Hartenberg é 
imprescindível, sendo um método consagrado para descrever a geometria de um robô. A 
capacidade de entender e aplicar esses conceitos é vital para o desenvolvimento, o controle e a 
otimização de sistemas robóticos em um vasto espectro de campos e indústrias.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai mergulhar na teoria e na prática da cinemática inversa, 
de modo que aprenderá a enunciar e a aplicar conceitos específicos para robôs do tipo RR e RRR. 
Além disso, você vai dominar a conversão de Denavit-Hartenberg, essencial para a análise e o 
controle eficaz de sistemas robóticos. Esta é uma oportunidade imperdível para aprimorar seus 
conhecimentos e suas habilidades na robótica, preparando-se para os desafios que a área oferece.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o problema geral da cinemática inversa.•
Enumerar a cinemática inversa para robôs do tipo RR e RRR.•
Aplicar a conversão de Denavit-Hartenberg na cinemática inversa.•
Desafio
A cinemática inversa trata do cálculo dos ângulos das juntas de um manipulador robótico para 
alcançar uma posição desejada do efetuador final. Em ambientes planares, isso pode ser visualizado 
como um braço robótico que se move em um plano, dispondo de juntas que rotacionam para 
alcançar determinados pontos desse plano.
 
Acompanhe agora uma situação em que a cinemática inversa deve ser utilizada para que um robô 
se posicione de forma adequada:
Com base nas informações fornecidas, responda:
a) Qual é o ângulo da junta θ1 e θ2 que o robô precisa para alcançar a posição desejada?
b) O ponto é alcançável? Justifique sua resposta.
Infográfico
Os manipuladores robóticos são braços mecânicos utilizados em inúmeras aplicações industriais e 
de pesquisa, desde a execução de tarefas simples até as mais complexas, demandando precisão e 
controle refinado. 
Eles são classificados de acordo com a quantidade e o tipo de seus graus de liberdade, e dois 
exemplos comuns são os manipuladores do tipo RR (com dois graus de liberdade) e RRR (com três 
graus de liberdade). 
Neste Infográfico, conheça as etapas fundamentais para calcular os ângulos das juntas dos 
manipuladores RR, permitindo que eles atinjam uma posição desejada no espaço. Além disso, veja 
um exemplo prático e simples, ilustrando o processo, passo a passo, para encontrar esses ângulos 
com base na posição desejada do efetuador final.
 
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Conteúdo do livro
A cinemática inversa representa um campo vital no estudo da robótica, enfatizando como robôs 
são programados para alcançar, com precisão, pontos específicos no espaço. Essa técnica é crucial 
para quem deseja aprofundar-se no funcionamento e na programação de sistemas robóticos. 
A técnica também abre caminho para a criação de soluções robóticas mais sofisticadas e adaptáveis 
às demandas do mundo real. Com a cinemática inversa, os programadores podem projetar 
movimentos mais fluidos e adaptáveis para os robôs, possibilitando a realização de tarefas variadas 
em diferentes contextos. 
No capítulo Cinemática inversa, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você será 
introduzido a uma análise detalhada da cinemática inversa aplicada a robôs do tipo RR e RRR. 
Explorando o movimento desses sistemas robóticos complexos, você também aprenderá o uso da 
transformação de Denavit-Hartenberg na cinemática inversa, uma metodologia fundamental para 
compreender e analisar o movimento dos robôs. 
Boa leitura.
CINEMÁTICA 
DIRETA DE ROBÔS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir o problema geral da cinemática inversa.
 > Enumerar a cinemática inversa para robôs do tipo RR e RRR.
 > Aplicar a conversão de Denavit-Hartenberg na cinemática inversa.
Introdução
A robótica combina ciência, engenharia e tecnologia para criar e operar robôs, 
máquinas autônomas presentes em diversos setores. Um aspecto vital da 
robótica é a cinemática inversa, que define os movimentos necessários para um 
robô atingir um ponto específico, considerando certas restrições. Compreender 
esse campo ajuda a otimizar operações robóticas e destaca os desafios de 
programar e controlar tais máquinas.
A cinemática inversa é uma das pedras angulares para garantir que os 
robôs operem com precisão, eficiência e segurança. Isso é válido tanto para um 
ambiente industrial, onde, por exemplo, um braço robótico precisa posicionar 
uma peça com precisão milimétrica, quanto para uma sala de cirurgia, onde 
um robô assistente deve realizar movimentos precisos sem margem para 
erro. A área da robótica não está isenta de desafios, especialmente quando 
se considera a multiplicidade de soluções possíveis para um único problema.
Neste capítulo, você vai estudar o problema fundamental da cinemática 
inversa e suas complexidades. Além disso, vai ver a análise específica dos 
robôs do tipo RR e RRR, que apresentam seus próprios conjuntos de desafios 
e soluções. Por fim, vai conhecer a conversão de Denavit-Hartenberg, uma 
metodologia que tem facilitado significativamente o estudo e a aplicação da 
cinemática inversa na robótica moderna.
Cinemática inversa
Jéssica Laisa Dias da Silva
Problema geral da cinemática inversa
No vasto campo da robótica, a cinemática inversa é um dos tópicos mais 
intrigantes e desafiadores. Seu estudo tem como foco entender e replicar 
movimentos, tornando-se fundamental para a programação e o controle de 
manipuladores robóticos.
Para compreender a essência da cinemática inversa, é importante enten-
der a sua contraparte: a cinemática direta. Nesta, a partir de um conjunto 
conhecido de variáveis de juntas (p. ex., ângulos ou distâncias), busca-se 
determinar a posição e a orientação do efetuador final do manipulador, como 
a ponta de um braço robótico. A cinemática inversa, por outro lado, lida com 
o problema oposto: um ponto específico no espaço que se deseja alcançar. O 
objetivo primário da cinemática inversa é descobrir as configurações de junta 
que permitirão que o robô alcance uma posição e orientação específicas do 
efetuador final (Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2006).
Como mostra a Figura 1, a cinemática direta tem como entrada parâmetros 
como os ângulos das articulações e os comprimentos dos elos e, por sua vez, 
retorna à posição cartesiana do efetuador X, Y e Z. Já a cinemática inversa tem 
como entrada o ponto final do efetuador (X, Y e Z) e, como saída, os ângulos 
para chegar à determinado ponto.
Figura 1. Cinemática em robôs. A cinemática direta recebe dados dos ângulos das articulações 
e retorna a posição do efetuador (X, Y e Z). A cinemática inversa, por sua vez, propõe um 
conjunto de valores de ângulos a partir da posição do efetuador.
Em relação à complexidade matemática, a cinemática inversa frequente-
mente envolve a resolução de equações não lineares. Pode haver múltiplas 
soluções, ou nenhuma, para um determinado problema de cinemática inversa, 
tornando-o um desafio computacional (Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2006). 
Por exemplo, um braço robótico pode ser capaz de alcançarum objeto em 
Cinemática inversa2
uma mesa de diversas maneiras diferentes, com diferentes configurações de 
suas juntas. Em contraste, pode haver posições que o braço simplesmente 
não consegue alcançar, devido às suas limitações físicas.
Os métodos de solução para a cinemática inversa são os métodos analíticos 
e numéricos. O melhor método depende da complexidade do robô e do pro-
blema específico. Além disso, softwares especializados são frequentemente 
empregados para resolver problemas de cinemática inversa, devido à sua 
complexidade matemática (Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2006). Nesse 
sentido, a multiplicidade de soluções torna a cinemática inversa não apenas 
um problema matemático, mas também um problema de decisão. Em que 
situações uma solução é preferível a outra? Quais critérios, como velocidade, 
eficiência ou segurança, devem ser considerados?
Para exemplificar essa complexidade, considere dois manipuladores robó-
ticos simples: um com duas juntas rotativas e outro com uma junta rotativa e 
uma deslizante. No primeiro caso, as soluções para um ponto específico no 
espaço podem ser visualizadas como diferentes combinações de rotações 
nas duas juntas. No segundo caso, combina-se a rotação da junta rotativa 
com o deslocamento da junta deslizante para alcançar o ponto desejado. O 
desafio presente nesse campo é colossal, dadas as suas intrincadas equações 
matemáticas e as múltiplas variáveis que influenciam o comportamento e a 
movimentação dos robôs. As soluções não são únicas, o que introduz uma 
gama de possibilidades para a movimentação robótica, e a obtenção dessas 
soluções demanda um profundo entendimento dos princípios matemáticos 
e mecânicos que regem a cinemática inversa.
A cinemática inversa é fundamental para programar robôs em áreas como 
a indústria automotiva e a medicina. A eficácia dos robôs depende da correta 
aplicação desse conceito.
A compreensão da cinemática inversa deve ser feita de forma gradual, 
devido à sua complexidade. Agora que você já conheceu a diferença entre a 
cinemática direta e a inversa, vai estudar, na próxima seção, o desenvolvimento 
da análise em dois robôs mais simples: o RR e o RRR.
Cinemática inversa para robôs do tipo RR e 
RRR
Um bom ponto de partida é analisar um robô representado de forma planar, 
ou seja, um robô que pode ser representado apenas no plano XY. Esses ro-
bôs podem ter juntas rotacionais (R), prismáticas (P) ou torcionais (T), mas, 
Cinemática inversa 3
independentemente do tipo de articulação, todos os seus membros podem 
ser rastreados dentro do plano XY, inclusive é o efetuador final.
Um robô do tipo RR é um robô com duas juntas rotativas. Imagine um robô 
planar com dois elos articulados por juntas rotativas (Figura 2). Esse robô 
tem a aparência de um braço humano com apenas um ombro e um cotovelo. 
Seu objetivo é alcançar um ponto P(x,y) no plano. Dado um ponto desejado 
P, pode-se visualizar pelo menos duas configurações possíveis para o robô 
alcançá-lo: uma com o cotovelo voltado para cima e outra com o cotovelo 
voltado para baixo. Ao usar a cinemática inversa, é possível determinar os 
ângulos de cada junta que o robô precisaria adotar para alcançar o ponto P. 
Matematicamente, isso pode ser resolvido usando trigonometria básica, com 
o teorema de Pitágoras e algumas identidades trigonométricas.
Figura 2. Robô tipo RR mostrando que é possível obter mais de um conjunto de valores de 
ângulos para chegar ao mesmo ponto.
Trabalhar com cinemática inversa requer uma compreensão clara das 
equações e dos métodos matemáticos necessários para encontrar as 
configurações das juntas de um robô que satisfaçam a uma posição e orientação 
desejadas do efetuador final. A seguir, veja um guia básico sobre como proceder, 
de acordo com Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2006).
Antes de iniciar qualquer cálculo, é essencial entender a estrutura do robô, 
incluindo o número e o tipo de juntas (p. ex., rotacional ou prismática) e a 
configuração do robô.
Cinemática inversa4
Utilize a convenção de Denavit-Hartenberg para definir os sistemas de coor-
denadas em cada junta do robô e derive os parâmetros de Denavit-Hartenberg. 
Esse passo é crucial para simplificar o processo de cálculo da cinemática inversa.
Em seguida, derive as equações da cinemática direta usando os parâmetros 
de Denavit-Hartenberg. Esse passo vai proporcionar as expressões para a posição 
e a orientação do efetuador final em termos das variáveis das juntas.
Para determinar as variáveis das juntas, utilize métodos analíticos ou numé-
ricos para resolver as equações da cinemática inversa. Para um sistema com n 
graus de liberdade, você vai ter n equações a serem resolvidas.
Por exemplo, se um robô RR (dois links rotacionais) é dado, a posição do 
efetuador final (x,y), em termos das variáveis de junta θ1,θ2 e dos comprimentos 
de link a1,a2, pode ser escrita da seguinte forma.
x = a1 cos (θ1) + a2 cos (θ1 + θ2)
y = a1 sen (θ1) + a2 sen (θ1 + θ2)
Para sistemas mais complexos, utilize métodos numéricos, como o método 
de Newton-Raphson, para encontrar as variáveis das juntas que satisfazem às 
equações da cinemática inversa.
Após calcular as variáveis da junta, valide os resultados usando simulação 
de software, para garantir que o robô atinja a posição e a orientação desejadas. 
Por fim, implemente os cálculos na controladora do robô para mover o robô 
para a posição e a orientação desejadas.
Esse é um guia básico, e a complexidade do processo vai depender da com-
plexidade do robô e da tarefa desejada. O domínio dessas técnicas é essencial 
para resolver os problemas de cinemática inversa com eficiência.
Um robô do tipo RRR tem três juntas rotacionais em série. A sigla “RRR” 
refere-se ao tipo de junta do robô, e cada "R" representa uma junta rotacional. 
Um exemplo clássico de um robô RRR é um braço robótico de três links que 
pode mover-se em torno de três eixos de rotação. Agora, considere um robô 
tridimensional com três elos articulados por juntas rotativas. Visualize-o 
como um braço humano com um ombro, um cotovelo e um pulso, todos 
capazes de fazer rotação. Dado um ponto Q(x,y,z) no espaço tridimensional, 
a complexidade de encontrar soluções possíveis aumenta, pois agora temos 
um sistema de equações baseado na geometria do robô e na localização de 
Q (Craig, 2017).
Em algumas situações, esse robô poderia alcançar o ponto Q com o pulso 
apontando para cima; em outras, poderia fazer isso com o pulso girado ou 
apontando em uma direção diferente. A cinemática inversa ajudaria a deter-
minar essas possíveis configurações (Craig, 2017).
Cinemática inversa 5
É importante notar que, devido à geometria e aos limites físicos 
das juntas, existem regiões no espaço que o robô RRR pode não ser 
capaz de alcançar, independentemente de sua configuração.
O robô do tipo RRR pode ser considerado planar quando todas as suas 
juntas rotacionais giram em torno de eixos paralelos entre si e o movimento 
do efetuador final (a mão do robô) está restrito a um único plano.
No que tange à cinemática inversa, os robôs do tipo RR e RRR fornecem um 
estudo de caso esclarecedor. Um robô RR tem uma flexibilidade que permite 
que ele alcance pontos em um plano bidimensional. Devido a essa flexibilidade, 
para muitos pontos nesse plano, pode haver duas configurações distintas 
de juntas que permitem ao efetuador alcançar o mesmo ponto (Niku, 2013). 
A complexidade aumenta significativamente com a adição de uma terceira 
junta. A Figura 3 mostra um exemplo de robô RRR.
Figura 3. Exemplo de manipulador RRR.
Nos robôs RR e RRR, o desafio é determinar as configurações das juntas 
algoritmicamente, usando equações trigonométricas. Isso é essencial porque, 
em ambientes de produção, a configuração eficiente economiza tempo; já em 
espaços limitados, a melhor configuração otimiza o espaço.
Cinemática inversa6
Singularidades e ambiguidades na cinemática 
inversa de robôs RR
A cinemática inversa em robôs RR busca as configurações de juntas paraatingir uma posição, considerando desafios de singularidades e ambiguida-
des. As singularidades ocorrem quando segmentos do robô se alinham ou o 
efetuador atinge limites. Já as ambiguidades referem-se às várias formas de 
alcançar uma posição, como um braço humano que pode tocar um ponto com 
o cotovelo voltado para cima ou para baixo (Siciliano et al., 2009).
O manipulador RR planar é um robô planar com duas juntas rotativas. A 
primeira junta (R1) permite que o primeiro segmento do robô gire em um plano, 
geralmente em torno de um ponto fixo que serve como sua base. A segunda 
junta (R2) possibilita que o segundo segmento do robô gire em relação ao 
primeiro segmento, permitindo que o efetuador final (ou a ponta do robô) 
alcance diferentes posições dentro do plano de trabalho.
A cinemática desse tipo de robô pode ser descrita usando equações tri-
gonométricas para relacionar os ângulos das juntas às coordenadas x e y do 
efetuador final no plano de trabalho (Siciliano et al., 2009).
Assim, considere um manipulador RR planar com dois elos de comprimentos 
(a e b) e um ponto alvo (x,y) no plano (Figura 2). Podemos começar resolvendo 
o problema da cinemática inversa considerando as relações geométricas e 
trigonométricas (Siciliano et al., 2009).
Para o cálculo de θ2, usamos o teorema de cossenos:
Ao calcular o arco tangente do valor acima, temos o θ2.
Depois de obter θ2, é possível encontrar o θ1 usando trigonometria:
Para um robô RRR planar, a determinação dos três ângulos seria uma 
extensão do método acima, incluindo um terceiro elo e um terceiro ângulo. 
Isso tornaria a trigonometria um pouco mais complexa, mas seguiria um 
procedimento semelhante.
Considere um manipulador RRR (Figura 4) com três elos de comprimento 
(L1, L2 e L3) e um ponto alvo (x,y) no plano.
Cinemática inversa 7
Figura 4. Robô tipo RRR, planar.
É possível determinar os valores de θ1, θ2 e θ3 como:
Essas equações são baseadas em considerações geométricas básicas e 
assumem que todas as juntas rotativas giram em torno de um ponto fixo. É 
importante validar e ajustar essas equações de acordo com o caso específico.
Ao trabalhar com a cinemática inversa em ambientes práticos, é funda-
mental lembrar de lidar com as ambiguidades e singularidades mencionadas. 
Esses fenômenos podem afetar a escolha das soluções de ângulo de junta 
e precisam ser manejados cuidadosamente. A abordagem específica pode 
variar, e técnicas adicionais, como otimização e controle avançado, são fre-
quentemente empregadas para gerenciar esses desafios, garantindo que 
o robô opere de maneira eficaz e segura no espaço de trabalho desejado.
Cinemática inversa8
Conversão de Denavit-Hartenberg na 
cinemática inversa
A conversão de Denavit-Hartenberg é uma ferramenta essencial para entender 
a cinemática dos manipuladores robóticos. Essa metodologia foi desenvolvida 
para padronizar a maneira como os sistemas de coordenadas são atribuídos 
aos elos de um robô, simplificando a formulação da cinemática direta. No 
entanto, seu valor não se limita apenas a isso (Paul, 1981).
A cinemática inversa está relacionada com a conversão de Denavit-Har-
tenberg de forma a facilitar a representação matemática dos manipuladores. 
O desafio da cinemática inversa não é apenas encontrar uma solução, mas 
também lidar com possíveis múltiplas soluções, que, em robôs complexos, 
são agravadas pela geometria detalhada e pelos vários graus de liberdade.
Ao utilizar a conversão de Denavit-Hartenberg, cada elo do robô é associado 
a um sistema de coordenadas, com quatro parâmetros definindo unicamente a 
relação entre um elo e seu predecessor. Esses parâmetros são duas distâncias 
(a e d) e dois ângulos (α e θ). Essa padronização ajuda a reduzir a complexidade 
do problema, realizando uma série de transformações matriciais.
Para compreender a conversão de Denavit-Hartenberg, é fundamental 
conhecer algumas fórmulas e conceitos, como os que você vai ver a seguir, 
de acordo com Denavit e Hartenberg (1955).
A matriz de transformação ii–1T de Denavit-Hartenberg descreve a relação 
entre dois sistemas de coordenadas consecutivos. Ela é composta de uma 
rotação e de uma translação nos eixos, sendo representada da seguinte forma:
onde:
 � ai‒1 é a distância entre a origem do sistema de coordenadas i‒1 e i ao 
longo do eixo xi‒1;
 � (ai‒1) é o ângulo entre os eixos xi‒1 e xi, medido em torno de zi‒1;
 � Di é a distância entre a origem do sistema de coordenadas i‒1 e i ao 
longo do eixo zi;
 � θ i é o ângulo entre os eixos xi‒1 e xi, medido em torno de zi‒1.
Cinemática inversa 9
Os parâmetros de Denavit-Hartenberg, ai–1, (αi–1), di e θi, são utilizados para 
descrever a geometria do robô de forma compacta e sistemática. A posição 
e a orientação do efetuador final em relação à base do robô podem ser de-
terminadas multiplicando as matrizes de transformação de todas as juntas:
onde n é o número total de juntas do robô.
Para resolver a cinemática inversa utilizando a conversão de Denavit-
-Hartenberg, é necessário encontrar os valores das variáveis das juntas que 
resultam na posição e na orientação desejadas do efetuador final. Esse é 
um problema não linear que pode requerer o uso de técnicas numéricas de 
otimização.
O benefício adicional da aplicação do método de Denavit-Hartenberg na 
cinemática inversa é que ele fornece uma linguagem comum e uma abordagem 
padronizada que pode ser aplicada a manipuladores robóticos de diferentes 
geometrias e configurações. Isso é particularmente útil em ambientes edu-
cacionais, onde os alunos podem ser expostos a diferentes tipos de robôs 
ao longo de seus estudos.
Entretanto, é essencial reconhecer que, embora a conversão de Denavit-
-Hartenberg simplifique muitos aspectos do problema, a cinemática inversa 
ainda é um desafio computacional. Em robôs com vários graus de liberdade, 
as equações resultantes podem ser não lineares e de alta ordem, exigindo 
técnicas avançadas de resolução.
Em uma linha de montagem automotiva, um braço robótico RRR 
instala parafusos na carroceria de carros. Apesar de conhecerem 
a posição dos parafusos, os engenheiros precisam ajustar o robô, devido a 
variações da carroceria e diferenças entre modelos de carros. Usando a cine-
mática direta e o método de Denavit-Hartenberg, eles preveem a posição do 
efetuador com base nos ângulos das juntas. Na cinemática inversa, partindo da 
posição desejada do efetuador, eles aplicam o método de Denavit-Hartenberg 
para determinar os ângulos das juntas. Solucionando as equações, encontram 
múltiplas posições para o braço. A escolha vai depender de fatores como os 
obstáculos e a eficiência. Assim, o robô se adapta rapidamente, assegurando 
uma montagem precisa.
Nesse cenário, a conversão de Denavit-Hartenberg permite que o braço robó-
tico opere de forma flexível e adaptável, respondendo a variações e maximizando 
a eficiência em uma linha de montagem em constante evolução.
Cinemática inversa10
A conversão de Denavit-Hartenberg não é apenas uma ferramenta para 
simplificar a formulação da cinemática direta; ela é uma metodologia poderosa 
que, quando aplicada corretamente, pode iluminar o caminho para resolver 
os desafios intricados da cinemática.
Para aplicar a matriz de Denavit-Hartenberg, é importante compreender a 
estrutura do robô e identificar os parâmetros de Denavit-Hartenberg: links, 
juntas e os respectivos ângulos e deslocamentos. Para construir a matriz 
de transformação, são usados os parâmetros de Denavit-Hartenberg. Então 
aplicam-se as transformações sucessivamente para cada junta e link. Deve-se 
usar as matrizes de Denavit-Hartenberg para encontrar as equações de cine-
mática inversa. Em seguida, deve-se resolver as equações para encontrar os 
ângulos das juntas para a posição e orientação desejadas do efetuador final.
Para exemplificar, considere um manipulador planar de dois links. Esse 
exemplo vai ilustrar como construir as matrizes de transformação usando os 
parâmetros de Denavit-Hartenberg e como aplicá-laspara calcular a posição 
do efetuador final.
Para um manipulador de dois links em um plano, temos dois links e duas 
juntas rotacionais. Cada junta rotacional tem um parâmetro θ (ângulo de 
rotação). Assuma que não há deslocamentos translacionais nas juntas, então 
os parâmetros a e d são zero. O parâmetro α, que é o ângulo entre os links 
adjacentes, é 0 graus, pois estamos em um plano (Craig, 2017).
O próximo passo é construir a matriz de transformação homogênea de 
Denavit-Hartenberg. Os parâmetros convencionais são a, α, d, e θ. Assim, ao 
utilizar r em vez de α, a matriz de transformação homogênea baseada nos 
parâmetros de Denavit-Hartenberg é:
onde:
 � θi é o ângulo da junta, que descreve a rotação em torno do eixo zi-1;
 � di é o deslocamento da junta, que descreve a translação ao longo do 
eixo;
 � ai é o ângulo de torção, que descreve a rotação em torno do eixo;
Cinemática inversa 11
 � ri (frequentemente referido como ai) é o comprimento do link, que 
descreve a translação ao longo do eixo x para mover zi-1 para o eixo zi.
Ao utilizar essa matriz de transformação, é possível definir a relação espa-
cial entre elos consecutivos em um manipulador robótico. Multiplicando todas 
as matrizes de transformação homogêneas juntas (na ordem correta), obtemos 
a matriz que descreve a relação entre a base do robô e seu efetuador final.
Para junta 1:
Para a junta 2:
Deve-se multiplicar as matrizes de transformação para obter a transfor-
mação total do efetuador em relação à base:
Ao realizar essa multiplicação matricial, obtemos uma matriz que associa 
a posição e a orientação do efetuador em relação à base em função dos 
ângulos das juntas.
Para encontrar os ângulos das juntas para uma posição desejada do efe-
tuador, deve-se substituir a posição desejada na matriz de transformação 
total e resolver as equações para θ1 e θ2.
Vale ressaltar algumas observações para robôs diferentes. Veja a seguir:
 � Robôs com três juntas (3R): nesse caso, o problema pode ser decom-
posto. Primeiro, resolve-se para os dois primeiros graus de liberdade, 
a fim de alcançar a projeção do ponto no plano xy. Depois, resolve-se 
para a terceira junta, a fim de atingir a altura z.
Cinemática inversa12
 � Robôs com juntas mistas (RPR, RPP, entre outros): para robôs que 
combinam juntas rotacionais e prismáticas, primeiro determina-se a 
extensão necessária para a junta prismática e, em seguida, resolve-se 
para as juntas rotacionais, como se fosse um robô 2R.
 � Robôs com mais de três juntas: nesse caso, a cinemática inversa torna-
-se ainda mais complicada. Em muitas ocasiões, não há soluções fe-
chadas, e algoritmos iterativos ou métodos numéricos, como o método 
de Newton-Raphson ou o método jacobiano, são utilizados.
A complexidade da cinemática inversa varia dependendo da estrutura do 
robô, do número de juntas e dos tipos de juntas. A abordagem geral envolve 
a utilização de geometria, trigonometria e, em casos mais complexos, algo-
ritmos numéricos. 
Toda essa dificuldade está relacionada à precisão dos movimentos dos 
robôs. Uma boa solução de cinemática inversa possibilita a construção de 
robôs que trabalham no chão de fábrica como montadores automotivos, por 
exemplo, e que realizam cirurgias com alta precisão de movimento. O campo 
de atuação da robótica é bastante vasto e envolve o trabalho de diferentes 
profissionais, incluindo engenheiros, matemáticos, físicos, programadores e 
outros das áreas de computação, humanas e saúde.
Referências
CRAIG, J. J. Introduction to robotics: mechanics and control. 4th ed. Boston: Pearson, 2017.
DENAVIT, J.; HARTENBERG, R. S. A kinematic notation for lower-pair mechanisms based 
on matrices. Journal of Applied Mechanics, n. 77, p. 215-221, 1955.
NIKU, S. B. Introdução à robótica: análise, sistemas, aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2013.
PAUL, R. P. Robot manipulators: mathematics, programming, and control. Cambridge: 
MIT Press, 1981.
PIEPER, D. L. The kinematics of manipulators under computer control. PhD Thesis – 
Computer Science Department, Stanford University, Stanford, 1968.
SICILIANO, B. et al. Robotics: modelling, planning and control. London: Springer-Verlag, 
2009.
SPONG, M. W.; HUTCHINSON, S.; VIDYASAGAR, M. Robot modeling and control. New 
York: Wiley, 2006.
Cinemática inversa 13
Dica do professor
A robótica tem transformado uma ampla gama de indústrias e setores, impulsionando inovações e 
otimizando operações. Um componente essencial por trás desse avanço é a cinemática robótica, a 
ciência dedicada a entender e analisar o movimento dos robôs. Esse campo é crucial para garantir 
que os robôs executem tarefas de forma eficiente e eficaz, posicionando-se e orientando-se 
corretamente para realizar uma variedade de operações. 
Imagine um braço robótico que precisa pegar um objeto em uma localização específica. A 
cinemática possibilita calcular exatamente quais movimentos cada articulação do braço deve 
realizar para que a garra do robô alcance o ponto exato de agarre. Isso envolve uma série de 
cálculos matemáticos complexos, levando em consideração a geometria do robô e as restrições de 
movimento de suas articulações. 
Nesta Dica do Professor, aprofunde seu entendimento sobre a cinemática inversa, um aspecto vital 
da cinemática robótica, que se concentra em determinar os ângulos das articulações de um robô 
para atingir a posição e orientação desejadas do efetor final.
 
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Exercícios
1) A cinemática inversa ocupa uma posição crucial no campo da robótica, centrada na dedução 
de variáveis de juntas necessárias para alcançar uma posição e orientação específicas do 
efetuador final de um robô. Este campo é essencial para inúmeras aplicações práticas em 
robótica, incluindo operações delicadas, como cirurgias robóticas, onde a precisão é de suma 
importância.
Considerando os desafios e as complexidades da cinemática inversa, bem como os exemplos 
de robôs com diferentes configurações de juntas, analise as opções abaixo e marque a 
alternativa correta:
 
A) A cinemática inversa sempre apresenta uma única solução para determinar a posição e 
orientação de um efetuador final.
B) A cinemática direta e a cinemática inversa lidam com os mesmos problemas e são 
essencialmente intercambiáveis.
C) O estudo da cinemática inversa é irrelevante para tarefas mais avançadas e delicadas, como 
cirurgias robóticas.
D) Os problemas de cinemática inversa podem ser resolvidos exclusivamente com métodos 
analíticos, não necessitando de abordagens numéricas.
E) A cinemática inversa considera as limitações físicas das juntas ao buscar soluções, garantindo 
que nenhum componente seja sobrecarregado ou utilizado fora de suas capacidades 
especificadas.
2) Em uma indústria de montagem de veículos, um robô manipulador do tipo RRR é utilizado 
para mover componentes desde o armazém até a linha de montagem. Esse robô tem três 
juntas rotativas e três elos de comprimento igual. Para garantir que o componente chegue à 
linha de montagem na posição correta, é essencial ajustar precisamente os ângulos das 
juntas.
Considerando que o robô precisa mover uma peça do ponto A, localizado em (3, 2, 1), até o 
ponto B, em (6, 5, 2), e sabendo que cada elo do robô tem um comprimento fixo de 2 
unidades, assinale a alternativa que traz qual seria o ajuste aproximado necessário no ângulo 
da segunda junta, θ2:
 
A) θ2 precisa ser ajustado para 45° em relação à posição original.
B) θ2 não precisa de ajuste, pois a distância entre A e B é diretamente alcançada pelos elos.
C) θ2 precisa ser ajustado para um valor menor que 45° em relação à posição original.
D) θ2 precisa ser ajustado para um valor maior que 45° em relação à posição original.
E) Não é possível alcançar o ponto B a partir do ponto A apenas ajustando θ2
3) No contexto dacinemática inversa em robôs dos tipos RR e RRR, conforme estudo sobre 
singularidades e ambiguidades na cinemática inversa de robôs RR e RRR, há desafios 
inerentes de singularidades e ambiguidades que essas configurações podem apresentar. 
Sendo assim, assinale qual das seguintes afirmações melhor descreve esses desafios e sua 
relevância prática no controle robótico:
A) Singularidades se referem à única configuração de juntas que permite ao robô alcançar uma 
posição desejada no espaço.
B) Ambiguidades ocorrem quando o jacobiano de um robô se torna singular, dificultando o 
controle do robô.
C) Singularidades e ambiguidades são fenômenos irrelevantes na cinemática inversa, pois não 
afetam o desempenho ou a segurança do robô.
D) A cinemática inversa foca apenas a determinação das configurações das juntas, sem 
considerar singularidades e ambiguidades.
E) Ambiguidades referem-se a múltiplas configurações de juntas possíveis para uma única 
posição do efetuador, e a gestão adequada dessas ambiguidades é crucial para evitar 
movimentos inseguros ou indesejados do robô.
4) A conversão de Denavit-Hartenberg (D-H) é um método matemático amplamente utilizado 
na robótica para simplificar a descrição da geometria dos manipuladores robóticos. Sobre as 
complexidades e os desafios da cinemática inversa no contexto da robótica, destaca-se a 
utilidade da conversão de Denavit-Hartenberg (D-H) como ferramenta crucial para resolver 
tais desafios.
Com base nessa discussão, assinale a alternativa com a principal contribuição da conversão 
de Denavit-Hartenberg (D-H) para a cinemática inversa na robótica:
A) A conversão D-H se aplica somente à cinemática direta, sem impacto na cinemática inversa.
B) A conversão D-H permite apenas a simplificação das equações, sem auxiliar na resolução de 
problemas de cinemática inversa.
C) A conversão D-H na cinemática inversa permite aos engenheiros trabalharem de traz para 
frente, derivando as equações necessárias para determinar os ângulos e as posições das 
juntas a partir da posição desejada do efetuador.
D) A conversão D-H complica o processo de cinemática inversa, adicionando mais parâmetros e 
aumentando a complexidade do problema.
E) A conversão D-H elimina a necessidade de utilização de outras técnicas de resolução, sendo a 
única necessária para a cinemática inversa.
5) Considere um robô manipulador planar com três juntas, atuando em um ambiente de 
manufatura. Este robô está posicionando uma peça em uma estação de trabalho. Você 
precisa calcular a posição e a orientação do efetuador final usando a cinemática inversa e os 
parâmetros de Denavit-Hartenberg.
Dado um conjunto de parâmetros de Denavit-Hartenberg, e sabendo que a posição desejada 
do efetuador final é (2,3), calcule o ângulo da terceira junta θ3, considerando que todos os 
comprimentos dos elos são iguais a 1 e que θ1 e θ2 são conhecidos e iguais a 30 graus. A 
seguir, marque a alternativa que contém a resposta correta:
A) θ3=40o
B) θ3=60o
C) θ3=50o
D) θ3=20o
E) θ3=30o
Na prática
O Método D-H é um procedimento consagrado utilizado para descrever sistematicamente a 
geometria de um robô. Ele usa quatro parâmetros — dois ângulos e duas distâncias — para definir 
univocamente a posição e a orientação de um elo de robô em relação ao elo anterior. 
Tal método é uma ferramenta crucial para engenheiros e projetistas de robôs, permitindo que eles 
visualizem e analisem a configuração espacial e os movimentos de um robô de forma eficiente e 
estruturada. 
Neste Na Prática, veja o caso fictício da empresa RoboTech, que enfrentou desafios significativos 
ao tentar desenvolver um novo modelo de braço robótico para operar em espaços confinados. As 
limitações e as dificuldades encontradas pela equipe de engenheiros da RoboTech são semelhantes 
às enfrentadas por profissionais de robótica em todo o mundo.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Análise da eficiência computacional para solução do problema 
da cinemática inversa de robôs seriais utilizando a Teoria de 
Bases de Gröbner
Este artigo traz um estudo sobre a eficiência computacional na resolução da questão da cinemática 
inversa em robôs manipuladores seriais. Duas estratégias são exploradas: a primeira utiliza o 
método de Paul, empregando a matriz gerada pelo algoritmo de Denavit-Hartenberg; enquanto a 
segunda emprega a Teoria de Bases de Gröbner.
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Iterative technique for solving the inverse kinematics problem 
of serial manipulator
Neste estudo, é introduzida uma abordagem iterativa para resolver o problema IK em 
manipuladores seriais. São propostas fórmulas iterativas específicas para manipuladores planares 
com dois e três elos. Ao aplicar a técnica, as variáveis conjuntas desses manipuladores são 
computadas e cotejadas com soluções exatas. Adicionalmente, o erro relativo é determinado com 
base em diversas iterações. A evidência sugere que essa abordagem é tanto simplificada quanto 
eficaz, e pode ser estendida para manipuladores seriais de alta complexidade.
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Simulação do comportamento animal em aplicações de 
realidade virtual
https://proceedings.science/proceedings/100113/_papers/111577/download/fulltext_file2?lang=pt-br 
https://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1227266493/IterativeTechniqueforSolvingtheInverseKinematicsProblemofSerialManipulator1.pdf?v=1731600948
As construções de controle e o desenvolvimento de sistemas de simulação que permitam a 
representação do comportamento de diversas espécies animais nos seus hábitats naturais, em 
aplicações de realidade virtual, é o assunto principal do estudo. São mencionados os diversos 
problemas existentes e as técnicas usadas, quer para a animação de animais envolvidos nessas 
simulações, quer para a implementação e representação compreensiva da visão do universo pelos 
olhos de várias espécies.
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https://diglib.eg.org/xmlui/bitstream/handle/10.2312/pt19951460/085-099.pdf?sequence=1&isAllowed=y?v=2117853512