Elemento de maquina - análise de tensões e deformações

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CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
 
 
2.1 - INTRODUÇÃO 
 
Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a 
tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se 
determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo 
como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões 
resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo. 
 
 
2.2 - TENSÃO 
 
A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido 
a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida 
como a força atuante por unidade de área de um plano. 
 
 
 
 
 
∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A 
 
Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal 
 
Tensão 
 
 
lim 
 
força / área 
 
P
x
 
 
 
 
Py lim 
 
 
 
lim Pz 
xx A 0 A xy A 0 A xz A 0 A 
 
 
σxx, xy, xz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O 
 
σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise 
 
- tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano. 
 
 
 
Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma 
função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do 
material pode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões 
como atuando em pequenos elementos dentro da peça. 
25 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a 
algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto 
de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida 
pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela 
aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo 
positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove 
componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados 
nas figuras 3 e 4. Os componentes xx , yy , zz são as tensões normais, assim chamadas 
porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As 
componentes xy , xz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas 
direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente 
 
 
 
 
Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional 
 
 
Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão 
são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões 
normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de 
tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão). Tensões cisalhantes atuam 
paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o 
cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes 
no elemento infinitesimal compõem o tensor. 
Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para 
descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz: 
26 
 
 
 
 
 
 
Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude 
( ou ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação 
(segundo subscrito). Utiliza-se para tensões normais e para tensões cisalhantes. Muitos 
elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor 
tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional 
 
Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b) 
O tensor tensão para o estado bidimensional é: 
 
 
Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto: 
 
∑ M o 0 ∑ Fy 0 ∑ Fx 0 
 
de onde podemos mostrar que: 
 
xy yx 
 
ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos 
mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade 
para um estado mais geral de tensões, ou seja: 
27 
 
 
 
 
 
 
 
xz zx yz zy 
 
 
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL 
 
2.3.1 - CARGA AXIAL 
Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas 
extremidades. 
 
P Tensão Normal (tração) 
A 
 
 
 
Figura 4 - Tensão normal (tração) 
 
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO 
 
P Tensão de Apoio (compressão) 
A 
 
Figura 5 -Tensão de compressão 
28 
 
 
 
 
 
2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO 
 
 
Figura 6 - Tensão de cisalhamento 
 
a) Cisalhamento simples: 
 
 
Figura 7 - Cisalhamento simples 
 
 
b) Rebite: 
 
 
 
 
 
 
 
V P 
m A A 
 
Figura 8 - Cisalhamento de rebite 
 
 
c) Cisalhamento duplo: 
 
 
 
 
 
 
V P 
m A 2 A 
 
Figura 9 - cisalhamento duplo 
29 
 
2 2
 
 
 
 
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
 
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA 
 
Uma vez determinadas às tensões normais x e y e a tensão de cisalhamento xy, é 
possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um 
dado estado de tensão. 
 
 
Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer 
 
 
 
 
Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer 
 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático: 
 
∑ Fx ' 
 
x ' 
dA
 
0 
 
x 
dA.cos
 
 
 
 
.cos 
 
 
 
xy dA.cos 
 
 
 
.sen 
 
 
 
y dA.sen 
 
 
 
.sen 
 
 
 
xy dA.sen 
 
 
 
.cos 0 
 
x ' x 
.cos
 y .sen 2. xy .cos .sen 
 
Sabendo que: 
30 
 
2 R
 
 
 
 
sen2 
 
Assim: 
2.sen .cos , cos 2 cos 2 sen 2 , 1 cos 2 sen 2 
 
cos 
2
 
 
1 cos 2 
, 
2 
 
sen 
2
 
 
1 cos 2 
2 
 
Substituindo as expressões de sen2 , cos2 e sen 2 : 
 
1 
x ' x 
 
cos 2 
2 
 
1 cos 2 
y 2 
 
xy sen2 
 
x y 
x ' 2 
∑ Fy 0 
x y 
cos 2 
2
 
xy sen2 
 
x ' y ' dA 
 
x 
dAcos
 
 
.sen 
 
xy dA.cos 
 
.cos 
 
y dA.sen 
 
.cos 
 
xy dA.sen 
 
.sen 0 
 
 
 
x ' y ' 
 x y   sen2 
 2  
 
xy cos 2 
 
 
 
 
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR 
 
Sejam as equações de transformação de tensão: 
 
x y 
x ' 2 
x y 
cos 2 
2 xy 
sen2 
 
x y 
sen2 
xy 2 xy 
cos 2 
 
Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se: 
 
 
 
x ' 
 
 
2 
x y   
2  
 
 
2 
x ' y ' 
 
2 
 x y  2   
xy 
 2  
 
Esta equação pode ser de maneira mais compacta: 
 
x ' 
a
 
 
2 2 
x ' y ' 
 
 
A equação acima é a equação de um circulo de raio R 
2 
 x y    
 2  
 
2 
xy 
e o centro 
 
a 
x y
 
em 2 e b=0. 
31 
 
 
 
 
 
O circulo construído desta maneiraé chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um 
ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento xy e abscissa é a tensão normal x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões 
 
 
 
 
CONCLUSÕES IMPORTANTES 
 
A maior tensão normal possível é 1 e a menor é 2. Nestes planos não existem tensão 
de cisalhamento. 
A maior tensão de cisalhamento max é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de 
 
x y 
atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento. 
2 
 
Se 1== 2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão 
de cisalhamento no plano xy. 
Se x+ y=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas - , e 
existe o estado de cisalhamento puro. 
Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é 
constante: x+ y= 1+ 2= x’+ y’= constante. 
Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das 
 
tensões principais. 
32 
 
 
xy R
2
 
 
 
 
2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Elemento submetido a tensões x = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , y = 90 MPa , xy = 60 Mpa 
 
 
Procedimento 
 
1- Determinar o centro do circulo (a,b): 
 
 
a 
x y
 
2
 
20 90 
2 
 
35Mpa b 0 
, 
 
2- Determinar o Raio 
 
2 
R 
 x y  2
 
 2  
 
 20 
 
 2
 
 
90  
 

 
 
602 
 
81,4Mpa 
 
3- Localizar o ponto A(-20,60) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Círculo de Mohr 
33 
 
2 2 2
2 2 2 2
 
 
 
 
4- Tensões principais: 
 
1 35 
 
81,4 
 
116,4Mpa , 
 
2 35 
 
81,4 
 
46,4Mpa 
 
5- Orientações das tensões principais: 
 
2 '' 
 
 
arc.tag 2 
 
60  
 
 
 
47,7º , 
 
'' 25,85º 1 
 20 35  1 
 
'' '' 
1 2 
 
180º 
 
'' 66,15º 
 
 
 
Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes 
 
 
6- Tensão máxima de cisalhamento: 
 
 
max 
 
R 81,4Mpa 
 
7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento: 
 
'' '' 
1 2 
 
90º 
 
'' 21,15º 
 
 
 
Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento 
34 
 
 
 
 
 
2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES 
 
Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico. 
Sobre o plano obliquo ABC surge a tensão principal n, paralela ao vetor normal unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões 
O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos = 1, cos = m, 
cos = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1. 
 
 
 
 
Figura 17 – Vetor unitário 
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L, 
dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos: 
∑ Fx 0 , 
∑ Fy 0 , 
 
n 
dA .1 
 
n 
dA .m 
 
x 
dA.1 
 
x 
dA.m 
 
xy dA.m 
 
xy dA.n 
 
xz dA.n 0 
 
xz dA.1 0 
 
∑ Fz 0 , 
 
n 
dA n 
 
2 dA.n 
 
yz dA.m 0 
 
Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos: 
35 
 
 
2 
 
2 
 
2 
xy yz xz x yz y xz z xy 
I
n
 
 
 
 
 
Como visto anteriormente, 12+m2+n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero. 
Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes 
de 1,m e n for nulo 
 
 
A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo: 
 
 
onde: I 
II ( 
x 
III 
x
 
 
 
x y 
y y z 
 
y z 2. 
 
 
 
 
z 
 
z x ) 
 
3 
n 
 
 
 
2 2 
xy yz 
 
2 II 
 
 
 
 
2 
xz 
 
n 
III 0 
 
As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado 
no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais. 
 
 
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES 
 
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões 
principais que atuam em três direções ortogonais. 
 
 
Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões 
36 
 
 
 
 
 
Admitindo que 1> 2> 3>0. 
 
 
 
Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões 
 
 
 
 
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO 
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga 
externa, como mostrado abaixo. 
 
 
 
 
Figura 20 - Corpo submetido à tração pura 
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o 
alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado 
deformação linear, é definido como: 
 
L dL L 
∫ 
0 L0 L0 
 
Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três 
componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente: 
37 
 
 
 
 
 
 
 
Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como 
mostrado abaixo. 
 
 
Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal 
 
 
Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as 
coordenadas x e y é definida por: 
 
 
Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares 
nestes planos são: 
 
 
 
 
 
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS 
 
 
Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial. 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação axial 
 
 
 
 
 
Deformação lateral 
 
Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial 
 
 
 
A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como 
coeficiente de Poisson: 
 
 
 
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE 
TENSÕES) 
Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões x, y e z. 
 
 
 
Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões 
 
O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados 
de tensão uniaxial analisados separadamente: 
39 
 
 
 
 
 
1 – Deformações devido a x: 
 
 
 
2 – Deformações devido a y: 
 
 
3 – Deformações devido a z: 
 
 
 
Superpondo todas as deformações, temos: 
 
 
 
Da Lei de Hooke, = E é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido 
à x, y e z são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação 
 
- tensão são: 
 
 
 
O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e por: 
 
 
 
 
2.7 - EXTENSOMETRIA 
A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e 
deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam 
deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importanteconhecer a 
extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que 
pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de 
40 
 
 
 
 
 
 
deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o 
strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos. 
Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em 
estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para 
medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de 
medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e 
cirúrgicas. 
 
 
 
 
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) 
 
Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal 
Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência 
elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram 
consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um 
condutor, segundo a equação 
 
R 
L 
A 
 
onde R é a resistência elétrica, é a constante de condutividade, L é o comprimento do 
condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao 
comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal. 
Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento 
 
e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção 
transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é 
esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do 
comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui 
devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento. 
A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa 
 
através do coeficiente de Poisson: 
 
dD 
 D 
dL 
L 
 
 
 
 L 
 
a 
 
 
 
 
 
 
 
onde (ni) é o coeficiente 
comprimento, L (epslon) é a
demonstra basicamente que, q
seção transversal aumenta, 
material. 
Experimentos realizado
algumas aplicações práticas d
partir de 1930 que estas tom
utilizações de um fio resistivo 
Simmons (Califórnia Institute
(Massachusetts Institute o
independentemente um do outr
de um corpo de prova para
extensômetros que são utilizad
um extensômetro à base de fio
A partir de 1950, o pr
manufaturar finas folhas ou lâ
suporte flexível feito geralment
usadas na confecção dessas
intrincadas, como mostra a Fig
 
F
 
Figura 24 - Extensômetro de fio 
 de Poisson, D é a dimensão da seção tra
a deformação lateral e a é a deformação ax
quando o comprimento diminui para um materia
 e vice-versa para um aumento no comprime
os pelo norte-americano P. W. Bridgman em 
da descoberta de Kelvin para realização de me
maram impulso. É creditado a Roy Carlson um
 para medições de tensões em 1931. Entre 1937
te of Technology, - Pasadena, CA, USA) 
of Technology - Cambridge, MA, US
tro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos co
ra medida de deformações. Esta experiência 
dos atualmente. A Figura 2.21 mostra um a co
io colado. 
rocesso de fabricação de extensômetros adot
âminas contendo um labirinto ou grade metáli
te de epóxi. As técnicas de fabricação de circuit
s lâminas, que podem ter configurações bas
gura 25. 
Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos. 
41 
ansversal, L é o 
axial. Esta relação 
al (compressão), a 
mento (tensão) do 
 1923 mostraram 
medidas, mas foi a 
ma das primeiras 
7 e 1939, Edward 
) e Arthur Ruge 
SA) trabalhando 
colados à superfície 
 deu origem aos 
onstrução geral de 
tou o método de 
ica, colado a um 
tos impressos são 
stante variadas e 
 
42 
 
 
 
 
 
Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua 
importância e alto uso: 
alta precisão de medida; 
 
baixo custo; 
 
excelente linearidade; 
excelente resposta dinâmica; 
fácil instalação; 
pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento 
adequado); 
possibilita realizar medidas à distância. 
 
A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina 
fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de 
ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O 
extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste 
basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente 
montado em suporte de epóxi ou fenólico. 
As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande 
capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do 
extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os 
extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais, 
enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo. 
Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira 
geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser 
considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro 
varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das 
leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem 
esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se 
deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros 
transdutores. 
 
 
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO 
 
Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma 
finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é 
então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos. 
43 
 
 
 
 
 
Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao 
extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência 
elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros 
são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão, 
compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada 
aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua 
construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor 
e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de 
medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta 
resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros 
materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de 
extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de 
temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a 
ser monitorada é de suma importância.O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com 
o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência 
ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de 
temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na 
resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como: 
 1  dR  
   
 F  R  
 
onde é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um 
medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm. 
 
 
 
 
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) 
 
Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é 
em um único sentido. 
 
 
Figura 26 - Extensômetro axial único. 
44 
 
 
 
 
 
EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO 
 
Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a 
duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 - Roseta de 2 direções 
Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três 
direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas. 
 
 
 
 
Figura 28 - Roseta de 3 direções 
 
A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro 
extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições 
diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um 
extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre 
uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de 
tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para 
transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos 
lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para 
medição de tensão e compressão). 
45 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) (c) 
 
Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga 
 
A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é 
essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no 
extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal. 
Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações 
em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em 
acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos, 
estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental 
de medições. 
 
 
 
 
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO 
Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo 
a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões zz 
, xz e yz em presença das outras tensões. Então: 
 
E 
xx 1 2 xx yy 
 
E 
yy 1 2 xx yy 
 
 
 
 
zz xz 
 
 
 
yz 0 
xy 2G xy 
 
 
xx 
xx = yy 
 
xy 
 
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
2.9.1 - INTRODUÇÃO 
 
A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem 
como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar 
adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a 
46 
 
 
 
 
 
determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes 
no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier, 
Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que 
auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo. 
Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam 
dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a 
perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc 
em muitas situações apresenta-se de forma complexa, havendo assim a necessidade de se 
introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de 
modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia 
tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o 
máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos 
elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os 
gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na 
discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser 
aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos 
sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc. 
 
 
 
 
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA 
 
Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos 
mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja, 
aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema. 
Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos 
elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução 
aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos 
acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são 
mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em 
alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução 
utilizando definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações 
diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a 
evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem 
dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo 
apenas da capacidade do computador . 
47 
 
 
 
 
 
A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma 
diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais 
aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações 
por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar 
pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de 
forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções 
finitas de um domínio do contínuo. 
O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com 
 
Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros. 
 
No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o 
estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas 
nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram 
basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado 
baseado na distribuição de tensões com forças incógnitas o que era universalmente 
empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a 
idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseadano método dos 
deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de 
estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que 
poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932 
quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a 
solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas 
mais complexos . 
Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos 
sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo 
através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e 
Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais 
direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam 
de forma simplificada. 
Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a 
teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos 
previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma 
adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas 
como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey 
e Turner, Clough, Martin e Topp. 
48 
 
 
 
 
 
Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os 
procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante 
no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram 
a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação 
clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos 
elementos finitos. 
Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião 
triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta 
aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o 
método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia. 
O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros 
independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da 
metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o 
método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de 
estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos 
elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração 
de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários. 
 
 
 
 
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas 
de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os 
deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os 
métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não 
fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática 
muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada 
(algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução 
numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos. 
 
 
 
 
 
 
Figura 30a – E
 
Na figura 30b é mostra
viga da figura 30a, onde as
pequenos círculos representam
dizer que os elementos finito
converter a figura 30a na figu
partes através dos nós poi
procedendo desta forma have
tendência a haver uma separ
estrutura real não atua desta f
compatível. Por exemplo se 
elementos adjacentes deverão
separação. 
A versatilidade é uma n
ser aplicado a problemas de n
cargas e condições de conto
diferentes tipos, formas e prop
colocada em um programa com
problema a abordar, especifica
etc. Outra característica muito
modelo real fazendo com qu
suas vantagens, o método dos
exemplo: um resultado numér
tentam representar um sistem
verificação destes resultados.
Estrutura plana real Figura 30b – malha de EF 
ada uma possível malha de elementos finitos 
s regiões triangulares representam os elemen
m os nós que conectam os elementos uns aos
os representam pedaços da estrutura real por
ura 30b fazendo cortes na estrutura em regiõe
is isto resultaria numa estrutura fragilizada.
eria certamente uma concentração de tensões
ração dos elementos nas regiões limítrofes. N
forma. Assim os elementos finitos devem se defo
 uma aresta de um elemento permanece reta
o ter deformações compatíveis, sem que haja 
notável característica do método dos elementos 
natureza diversa. A região sob análise pode ter 
orno quaisquer. A malha pode ser constituída 
priedades físicas. Esta grande versatilidade pode
omputacional simples, desde que se controle a s
cando a geometria, condições de contorno, seleç
o positiva do método é a semelhança entre o m
ue a abstração matemática seja fácil de se visu
s elementos finitos apresenta também algumas d
ico específico sempre é obtido para um conjun
ma, e nem sempre existe uma fórmula fechad
. Um programa e um computador confiáveis 
49 
 
 que representa a 
entos finitos e os 
s outros. Pode-se 
rém não se pode 
es e unindo estas 
. Adicionalmente 
s nos nós e uma 
Na realidade uma 
ormar de maneira 
a, as arestas dos 
 sobreposição ou 
 finitos que pode 
 forma arbitrária e 
 de elementos de 
e muitas vezes ser 
seleção do tipo de 
ção de elementos 
modelo físico e o 
ualizar. Apesar de 
desvantagens por 
nto de dados que 
da que permita a 
is são essenciais; 
50 
 
m
n
a
 
 
 
 
experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os 
dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados. 
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de Rayleigh- 
Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas 
regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o 
nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída 
variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que 
satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as 
funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento 
 
finito i, é montado um funcional i , que somado aos dos demais elementos finitos , formam 
 
um funcional para todo o domínio. 
 
n 
∑ i 
i 1 
 
Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do 
elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função 
aproximada tem a forma: 
 
v ∑ j 1 a j j 
 
onde a j são os parâmetros nodais e j as funções de forma. 
 
O funcional fica sendo expresso por: 
 
(a j ) 
 
∑i 1 
 
i (a j ) 
A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de 
equações algébricas lineares tal que como: 
 
n n m
 
 
i a j
 
a j ∑i 1 i a j ∑i 1 ∑ j 1 0 
j 
 
A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais a j 
 
 
quepodem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método 
dos elementos finitos que se utiliza. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções 
aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as 
componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de 
método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos 
51 
 
 
 
 
 
finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o 
campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as 
incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é 
denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos 
finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar. 
Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e 
forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o 
princípio de Reissner. 
 
 
 
 
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z. 
 
 
 
 
Determine: 
 
Figura 31 – Exercício resolvido 1 
 
a) i) As componentes normal ( ) e tangencial ( ) da tensão, numa faceta igualmente 
inclinada relativamente a x, y, z. 
ii) As direções das componentes referidas na alínea i). 
 
b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada 
relativamente a x e y. 
c) As tensões e respectivas direções principais. 
 
d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das 
tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com 
os valores dados inicialmente. 
Solução: 
 
a) i) 
 
2.0 
 
10 2 MPa 
 
2.16 
 
10 2 MPa. 
 
 
 
 
 
n 
' 
Tz
 
 
 
ii) l ' 
 
 
n 
 
T
x 
l 
 
 
 
0.267 
 
 
0.535 ; 
 
m
' 
Ty
 
 
m 
0.802 ;
 
 
b) 50MPa 150MPa. 
52 
 
0 0 0

 
 
 
 
l ' 
T
x 
 
 
n 
' 
Tz n
 
l 
 
 
 
0.943 
 
0.236 ; m ' 
Ty
 
m 
0.236 ;
 
 
 
 1 0 0  4.87 0 0  
  c) 1, 2,3  2  
 0.32 0 
 
10 2 MPa. 

 
0
 
 
l1 
0 
 
0.657 
3 1, 2,3  0 0 
 
cos(1, x) 
3.191, 2,3 
 
 
 
l 2 0.449 
 
 
 
cos(2, x) 
m1 0.612 
n1 0.440 
cos(1, y) 
cos(1, z) 
m2 0.787 
n2 0.423 
cos(2, y) 
cos(2, z) 
 
l3 0.605 
m3 0.081 
n3 0.792 
d) 
 
cos(3, x) 
cos(3, y) 
cos(3, z) 
 
 0.657 
 
 
0.449 
 
0.605 
 
 
4.87 0 
 
 
0   
  
 
0.657 
 
0.612 
 
0.440  
 2 
 
x , y , z  
0.612
 
 0.440 
0.787 
0.423 
0.081
 
0.792 
 
0
 
 0 
0.32 
0 
0 
 
3.19 
 
0.449
 
 0.605 
0.787 
0.081 
0.423
 
0.792  
10 MPa 
 
 
 
 
2. a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido. 
 
 
 
Figura 32 – Exercício resolvido 2 
 
b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea 
anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr. 
Resolução: 
 
a) 
53 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2 
 
b) 1 = 7.606 Mpa; 2 = 0.394 Mpa; 3 = z =0 MPa ( valor admitido ) 
 
1 = -16.850; 2 = 73.150; 3 = z = 900. 
 
 
 
3. A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço. 
 
 
 
Figura 34 – Exercício resolvido 3 
 
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine 
as tensões principais e respectivas direções. 
b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de 
 
15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado 
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de 
tensão resultante no ponto considerado. 
54 
 
 
 
 
 
Resolução : 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3 
 
 
1 = 67.5 MPa; 2 = z = 0 Mpa; 3 = -27.75 MPa 
1 = -24.230 ; 2 = z = 900; 3 = 65.770 
 36.76 
 
39.82 0 
 
58.66 0 0  
  b) 
x , y , z  
39.82
 
 0 
13.76 
0 
0
 
MPa ;
 
0 
 
1, 2,3  
0
 
 0 
0 0 
0 35.66 
 
MPa
 
 
 
1 = -28.810; 2 = z = 900; 3 = 61.190 
 
 
 
4. Considere o campo de deslocamentos dado por: 
 
u 
 
v 
 
w 
 
0.25x y 
 
0.25 y x 
 
0.25z x 
 
z 
2 10 4 
z 
2 10 4 
y 2 10 4 
 
Para o ponto A (1,2,1), determine: 
 
a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z. 
 
b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente 
aos três eixos. 
c) Determine o plano onde se dá a distorção. 
d) As extensões principais. 
e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e = 0.3. 
55 
 
 
' ''
0 0
 
0 0
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
a) 
x , y , z 
 
 
2.25 
1.75 
1.50 
 
 
1.75 
1.00 
1.75 
 
 
1.50 
1.75 
2.25 
 
 
 
 
10 4 
 
b) 5.167 10 4 ' 0.466 10 4 rad 
 
 
 
c) l ' 
 
 
 
 x l 
 
2 
 
5.206 
t 
 
 
 
0.412 ; 
 
 
 
0 
2 
 
m 
' y m 
 
2 
 
0  
 
 
 
0.827 ; 
 
 
 
n 
' 
 z n 
 
2 
 
 
 
0.412 
 
d) 1, 2,3   
 0 
0.750 
0 
 
 
0.456 
10 4 
 
143.4 0 0  
  e) 1, 2,3  0 75.0 0  MPa 
0 0 56.5 
 
5. Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com 
constantes elásticas: E = 210 GPa e = 0.3. 
Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando 
 
como eixos coordenados: 
Eixos x, y, z 
Eixos principais 1, 2 , 3. 
 
 
Resolução: 
 
 0.333 
 
 
1.24 
 
 
1.85  
 
a) 
x , y , z 
 1.24 0.952 0.62  10 3 
1.85 0.62 0.905 
 
2.73 0 0  
 
b) 1, 2,3    0 0.09 
0 
 
 
2.26 
 
 
 
1, 2,3 
10 3 
 
 
6. Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro. 
 
Submete-se depois esta chapa a tensões tais que : 
56 
 
 
 
 
 
x 
140MPa ;
 y 20MPa ; xy 80MPa 
 
 
 
Figura 36 – Exercício resolvido 6 
 
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os 
comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas 
direções na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6 
 
1 = -26.570 2 = z = 900 3 = 63.430. 
57 
 
c
c x
 
 
 
 
7. Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de 
extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada 
solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes 
leituras: 
 
Y a 
b 
a 
 
b 
 
300 
c 
X 
 
 
 
a y 1 
 
 
10 3 
 
Figura 38 – Exercício resolvido 7 
 
0.3 
 
b 2.5 10 
3
 1.211 105 MPa2 10 3 
 
E 2.1 
 
105 MPa 
 
G 0.81 105 MPa 
Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções. 
Resolução: 
 
1.58 0 0  
  3 
 
1.2.3  
0
 
 0 
0.428 
0 
0 
 
10
 
2.58 
 
1 = -68.050; 2 = z = 900; 3 = 21.950 
 
186.66 0 0  
  
 
1, 2,3  
0
 
 0 
0.01018 
0 
0 
487.25 
 
MPa
 
 
 
 
8. Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um 
tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura. 
58 
 
l
n
b c
f
 
 
 
 
 
 
 
Figura 39 – Exercício resolvido 8 
 
Os valores obtidos foram os seguintes: 
 
a x 
1
 
 
10 4 ; 
 
y 0.5 
 
10 4 ; 
 
z 0.5 
 
10 4 ; 
 
d 1.5 
 
10 4 
 
e 0.8 10 
4 ; 0.6 10 4 
 
a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões. 
 
b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente 
a três eixos de referência x, y, z. 
c) Determine o plano aonde se dá a distorção. 
d) Determine as extensões principais. 
e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr. 
f) Determine o valor da máxima distorção. 
Resolução 
 
 1 0.75 
 
0.55 
 
a) 
x , y , z 
 0.75 
 0.55 
0.5 
0.6 
0.6  
0.5  
10 4 
 
b) 0.133 10 4 ' 0.347 10 4 rad t 2 
 
 
c) l ' 
 
' 
 x 
 
2 
 
 
0.277 ; 
 
' 
m 
m 
' y 
 
2 
 
 
0.803 ; 
 
' 
n ' z 
 
2 
 
 
0.528 
59 
 
2 3
 
 
 
 
d) 1 1.816 10 4 0.012 10 4 0.806 10 4 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
max 
 
 
2.62 
 
Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8 
 
10 4 rad 
 
 
9. Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção 
principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no 
elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine: 
 
 
Figura 41 – Exercício resolvido 9 
 
a) A tensão tangencial no elemento B. 
b) As tensões e direções principais. 
c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; = 0.3 
60 
 
0 0 0
0 0
 
 
 
 
d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos 
 
principais, tem por cossenos directores: l 
 
2 
, m 
3 
 
2 
, n 
1 
.
 
3 3 
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. 
Resolução: 
 
a) b 
 
b) 1 
 
10.44MPa 
 
50MPa ; 2 
 
 
 
12.0MPa ; 
 
 
 
3 44.9MPa 
 
1 90 
 
z ; 
 
2.85 
 
2 59.23 ; 
 
0 0  
 
3 30.77 
 
c) 1, 2,3    0 0.498 
0 
 
 
3.02 
 
 
 
1, 2,3 
10 4 
 
d) 
 
e) 
eq 
 
22.57MPa 
 
82.72MPa 
 
29.82MPa. 
 
 
 
10. Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões 
normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que 
uma das direções principais é a indicada na figura, determine: 
Y 
 
60 MPa 
 
B 
 
 
 
Z 
300 
X 
 
 
100 MPa 
A 
 
Dir P 
 
 
a) As tensões principais. 
 
Figura 42 – Exercício resolvido 10 
b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa, 
c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. 
 
0.3 
 
d) Admitindo que se trata de um material frágil com: 
 
c 
100MPa ;
 
 
t 60MPa 
 
Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível. 
61 
 
0 0
 
 
 
 
Resolução: 
 
180 0 0  
  a) 1, 2,3  0 0 
 0 0 
0 
140 
 
MPa
 
 
 
1.06 0 0  
 
b) 1, 2,3    0 0.06 
0 
 
 
0.92 
 
 
 
1, 2,3 
10 3 
 
c) 
eq 277.85MPa 
 
180 d) 
60
 
 
180 
140 
100 
 
100 
 
4.4 1 
 
não verifica 
 
 
não verifica 
 
O estado de tensão não é admissível. 
 
 
 
Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10 
 
 
 
 
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de 
tensão abaixo representados : 
• a orientação dos planos principais; 
 
• as tensões principais; 
 
• a máxima tensão de cisalhamento; 
 
• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento; 
 
• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento. 
 
Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; - 
 
2,5 MPa; 
62 
 
 
 
 
 
b) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa; 
 
c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa; 
 
d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa. 
 
 
 
Figura 44 – Exercício proposto 1 
 
 
2. O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as 
tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua 
direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas 
grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos 
planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e 
deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima 
e mínima. E=210.000 MPa. ( = 0,3. 
 
 
Figura 45 – Exercício proposto 2