Sol PFm 2012-1

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MAT09570 - Ca´lculo I - Per´ıodo 2012/1
Prova Final - Turmas da Manha˜
1. Seja f(x) = e2x
(
cosx
2 + senx
)10
.
(a) Calcule f ′(x).1,0
(b) Sabendo que f ′(0) = −3/210 encontre o ponto de intersec¸a˜o entre a reta tangente ao0,5
gra´fico de f em
(
0, 1/210
)
e o eixo x.
2. Seja f(x) = x4 − 8x2 + 8. Determine:
(a) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;0,5
(b) os intervalos em que f e´ coˆncava para cima e coˆncava para baixo;0,5
(c) os pontos de extremos locais e os pontos de inflexa˜o de f ;0,5
(d) o esboc¸o do gra´fico de f .0,5
3. (a) Uma pa´gina de livro devera´ ter 500 cm2 de a´rea, margens laterais e inferior de 1 cm e1,5
margem superior de 3 cm. Determine as dimenso˜es da pa´gina que maximizem a a´rea de
texto. Justifique.
(b) Uma part´ıcula se move ao longo da curva y2 = 1 + x3. Quando ela atinge o ponto0,5
(2, 3) a coordenada y esta´ crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Qua˜o ra´pido esta´ variando
a coordenada x da part´ıcula nesse instante?
4. Seja R a regia˜o delimitada pelas curvas x = 0, y = 0, x = 1 e y = e−x.
(a) Esboce a regia˜o R e calcule sua a´rea.0,5
(b) Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno da reta x = 1.1,0
5. Calcule:
(a)
∫
1
x2
√
x2 + 4
dx;1,0
(b)
∫
tgx ln(cosx) dx.1,0
6. Seja
f(x) =

7x+ 100
x
, x ≤ 4, x 6= 0,
x2 − 16√
x− 2 , x > 4.
(a) f e´ cont´ınua em x = 4? Justifique.0,5
(b) Calcule lim
x→∞ f(x).0,5
Nota: Todas as questo˜es devem ser justificadas, respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas. Na˜o e´ permitido o
uso de calculadoras ou celulares.
MAT09570 - Ca´lculo I - Per´ıodo 2012/1
Prova Final - Uma soluc¸a˜o - Turmas da Manha˜
1. (a) f ′(x) = 2e2x
(
cosx
2 + senx
)10
+ 10e2x
(
cosx
2 + senx
)9(− senx(2 + senx)− cos2 x
(2 + senx)2
)
=
= e2x
(
cosx
2 + senx
)9(−20 senx+ 4 cosx+ sen 2x− 10
(2 + senx)2
)
.
(b) y−f(x0) = f ′(x0)(x−x0) e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em (x0, f(x0)). Logo,
a equac¸a˜o da reta e´ y =
−3x+ 1
210
e quando y = 0 temos x = 1/3.
2. (a) f ′(x) = 4x3 − 16x = 4x(x− 2)(x+ 2). Logo, f ′(x) > 0 se x ∈ (−2, 0) ∪ (2,∞) e f ′(x) < 0
se x ∈ (−∞,−2)∪ (0, 2). Portanto f e´ crescente nos intervalos (−2, 0) e (2,∞) e decrescente
nos intervalos (−∞,−2) e (0, 2);
(b) f ′′(x) = 12x2 − 16 = 12(x2 − 4/3) = 12(x − 2√3/3)(x + 2√3/3). Logo, f ′′(x) > 0 se
x ∈ (−∞,−2√3/3)∪(2√3/3,∞) e f ′(x) < 0 se x ∈ (−2√3/3, 2√3/3). Portanto f e´ coˆncava
para cima nos intervalos (−∞,−2√3/3) e (2√3/3,∞) e coˆncava para baixo no intervalo
(−2√3/3, 2√3/3);
(c) Ma´ximo local (0, 8). Mı´nimos locais (2,−8) e (−2,−8). Pontos de inflexa˜o (−2√3/3,−8/9)
e (2
√
3/3,−8/9).
(d)
3. (a) Foi dado que xy = 500. Logo Atexto = (x − 2)(y − 4) = 4(x− 2)(125− x)
x
e A′texto(x) =
−4x2 + 1000
x2
. Com isso A′texto(x) > 0 se x <
√
250 e A′texto(x) < 0 se x >
√
250. Portanto
as dimenso˜es que maximizam a a´rea sa˜o x =
√
250 = 5
√
10 cm e y = 500√
250
= 10
√
10 cm.
Lembrando que so´ faz sentido o problema para x maior que zero.
(b) y(t)2 = 1 + x(t)3 ⇒ d
dt
(y(t)2) =
d
dt
(1 + x(t)3) ⇒ 2y(t)dy
dt
= 3x(t)2
dx
dt
⇒ 2 · 3 · 4 =
3 · 22 · dx
dt
⇒ dx
dt
= 2 cm/s
4. (a) A a´rea de R e´
∫ 1
0
e−xdx = −e−x
∣∣∣1
0
= 1− 1
e
.
(b) Por cascas: V =
∫ 1
0
2pi(1− x)e−xdx = 2pi
e
.
Por fatias: V =
∫ 1
e
0
pidy +
∫ 1
1
e
pi(1− (1 + ln y)2dy = 2pi
e
.
5. (a) Fazendo x = 2tg θ temos
∫
1
x2
√
x2 + 4
dx =
∫
cos θ
4 sen 2θ
dθ. Fazendo u = sen θ temos∫
cos θ
4 sen 2θ
dθ =
∫
1
4u2
du = − 1
4u
+ Cte =
−√x2 + 4
4x
+ Cte.
(b) Fazendo u = ln(cosx) teremos du = −tgx dx. Logo,
∫
tgx ln(cosx) dx = −
∫
udu =
−u2
2
+ Cte =
− ln2(cosx)
2
+ Cte.
6. (a) f(4) = 32 = lim
x→4−
f(x) e lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
x2 − 16√
x− 2
√
x+ 2√
x+ 2
= lim
x→4+
(x+ 4)(
√
x+ 2) = 32.
Logo f e´ cont´ınua em 4.
(b) lim
x→∞ f(x) = limx→∞
x2 − 16√
x− 2 = limx→∞
x2(1− 16/x2)√
x(1− 2/√x) =∞.
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