prova 2 calculo diferencial

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A+ Alterar modo de visualização Peso da Avaliação 2,00 Prova 90417587 Qtd. de Questões 10 Acertos/Erros 10/0 Nota 10,00 1 A parametrização de uma reta no espaço tridimensional é uma ferramenta importante para descrever todos os pontos que pertencem a essa reta usando um parâmetro escalar. A parametrização de uma reta é determinada por um ponto fixo na reta e um vetor que define sua direção. Utilizando um ponto e a direção da reta, a fórmula para a parametrização pode ser expressa na forma geral de uma função vetorial. Fonte: FRANK, A.; PARKER, R. Matemática para Engenharia e Ciências. São Paulo: Editora Pearson, 2021. Considere os pontos A = (-1, 2, 4) 5). Com base na informação fornecida, sobre as possibilidades possíveis para a parametrização da reta no formato vt, que passa por esses pontos, analise as afirmativas a seguir: I. II. IV. correto que se afirma em: A II e III, apenas. B II e IV, apenas. C IV, apenas. D I, III e IV, apenas. E I, II e III, apenas. 2 Imagine um rio descrito por um campo vetorial F(x, em que vetor F representa a velocidade da correnteza do rio em diferentes pontos.6 5 4 3 2 1 Leito do rio 0 Note pela ilustração que esse rio possui uma profundidade de 6 metros, e para temos leito do rio. Além disso, a correnteza do rio varia dependendo da profundidade. Assim, conforme você vai mais fundo no rio. a velocidade da correnteza horizontal diminui. Dessa forma, baseado na função vetorial F e no rotacional deste campo vetorial, analise as afirmativas a seguir: I. A velocidade na direção vertical é zero, indicando que não há movimento da água para cima ou para baixo. II. O rotacional deste campo vetorial é conservativo. III. Para 2 metros abaixo da superfície, a rotacional apresenta vetor (0, -4). IV. Caso algo fosse jogado neste rio, ele tenderia a rotacionar no sentido horário. É correto que se afirma em: A I, II e III, apenas. B I, III e IV, apenas. C I e IV, apenas. D II e IV, apenas. E I e III, apenas. 3 Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, uma função T(x, y, que representa a temperatura em cada ponto (x, y, gradiente dessa função em um determinado ponto nos dirá: Direção de Maior Aumento de Temperatura: gradiente aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir do ponto considerado. Dessa forma, se você estiver nesse ponto e se mover na direção do gradiente, estará se movendo para uma região em que a temperatura aumenta mais rápido possível. Magnitude da Variação da Temperatura: a magnitude do gradiente indica a taxa de variação da temperatura na direção do crescimento máximo. Em outras palavras, ela nos diz quanto a temperatura muda por unidade de distância percorrida na direção do gradiente. Se a magnitude é alta, isso significa que a temperatura muda rapidamente; se é baixa, a variação da temperatura é mais gradual. Essa magnitude pode ser calculada usando a fórmula da norma, ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas do vetor.Considere um ambiente térmico altamente controlado por diversos resfriadores, em que a temperatura, em graus Celsius, é descrita pela função T(x, y, Z) 2x + yz, com X, y e Z representando distâncias medidas em metros. Sobre exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Para ponto P(5, 1, 4), vetor gradiente apresenta magnitude de 3 °C/m. PORQUE II. Sendo gradiente da função T campo vetorial y, para determinar a magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são falsas. B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. C A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 4 Uma mola será fabricada utilizando um arame com diâmetro de 10 mm. A densidade linear do material do arame é representada pela função constante f(x, y, = 0,6 kg/m. A estrutura da mola segue uma forma helicoidal, que pode ser descrita matematicamente pela curva paramétrica y(t) : (cos(t), sen(t), t/40), em que t é parâmetro que varia no intervalo 0Z 5 -2 1 2 -1 3 4 Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta que apresenta a massa total dessa mola: A Aproximadamente 78 kg. B Aproximadamente 86 kg. C Aproximadamente 96 kg. D Aproximadamente 76 kg. E Aproximadamente 82 kg. 5 O estudo de limites e continuidade em funções vetoriais é fundamental para compreender comportamento de curvas e superfícies em espaços tridimensionais. Uma função vetorial é contínua em um ponto se limite da função, ao se aproximar desse ponto, existir e for igual ao valor da função naquele ponto. A análise de continuidade em funções vetoriais é crucial para a modelagem de fenômenos físicos e matemáticos em várias dimensões. Fonte: STEWART, James. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Considerando os conceitos de limite e continuidade em funções vetoriais, analise as afirmativas a seguir:I. O limite de uma função vetorial pode ser obtido calculando-se limite de cada uma de suas componentes separadamente. II. Para que uma função vetorial seja contínua em um ponto, é suficiente que limite da função naquele ponto exista. III. A continuidade de uma função vetorial em um ponto implica que a função é contínua em todos os pontos de seu domínio. IV. A continuidade de uma função vetorial em um ponto garante que limite da função ao se aproximar desse ponto é mesmo que valor da função naquele ponto. É correto que se afirma em: A I, II e III, apenas. B II e III, apenas. C I e IV, apenas. D I, III e IV, apenas. E II e IV, apenas. 6 Em funções vetoriais, vetor tangente em um ponto de uma curva indica a direção na qual a curva está "seguindo" naquele ponto, e é obtido derivando a função vetorial em relação ao parâmetro. O vetor normal, por outro lado, é perpendicular ao vetor tangente e está associado à direção na qual a curva está "curvando". A relação entre esses vetores é fundamental para entender comportamento de uma curva no espaço. Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Considere uma curva suave no espaço descrita por uma função vetorial r(t). A respeito dos vetores tangente T(t) e normal N(t), são feitas as seguintes afirmações: I. O vetor tangente T(t) e vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto da curva. II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva. III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva. IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor tangente T(t). É correto que se afirma em: A II e IV, apenas. B I e IV, apenas. C II e III, apenas. D I, II e III, apenas. E I, III e IV, apenas.7 A parametrização de figuras geométricas, como circunferências ou parte dela, é uma técnica utilizada para representar essas formas no plano cartesiano. A semicircunferência, que ocupa apenas parte de uma circunferência completa, pode ser descrita utilizando uma parametrização específica que limita domínio do parâmetro t, correspondendo à porção desejada da circunferência. Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Considere uma semicircunferência, em que raio mede 3 unidades, centrada no ponto (2,-1) no plano cartesiano XY, que se encontra nos dois primeiros quadrantes. Sobre exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A semicircunferência nos dois primeiros quadrantes pode ser parametrizada como e y(t) + 3sin(t), em que t varia de 0 a PORQUE II. A parametrização apresentada é adequada, pois valor de t entre 0 e descreve apenas os pontos da semicircunferência que estão nos dois primeiros quadrantes. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são falsas. B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 8 O trabalho em física é uma medida da energia transferida por uma força quando um objeto se move ao longo de uma trajetória. Quando uma força é aplicada a um corpo e essa força provoca deslocamento, trabalho realizado é calculado como produto da componente da força na direção do movimento e a distância percorrida. Uma função vetorial pode descrever a força aplicada ao longo de uma curva, e trabalho realizado para deslocar um objeto ao longo dessa trajetória é calculado pela integral de linha da força ao longo da curva, levando em consideração produto escalar entre vetor força e vetor tangente à curva em cada ponto. Seja campo de forças F(x, y) =(y, x) e caminho definido pelo segmento de reta AB cuja parametrização é dada 2t), em que t é parâmetro que varia no intervaloB 2 1-2 0 Com base nas informações apresentadas e considerando que campo de forças F e a curva Y estão expressos em unidades do Sistema Internacional de Medidas (SI), determine trabalho, em joules, realizado pelo campo de forças F na movimentação de um objeto ao longo da curva A 7 Joules. B 5 Joules. 4 Joules. D 3 Joules. E 6 Joules. 9 O estudo de operadores diferenciais em campos escalares e vetoriais, como gradiente, rotacional e divergente, é fundamental para a compreensão de fenômenos físicos. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial que aponta na direção da maior taxa de variação. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação ao redor de um ponto. Já divergente de um campo vetorial mede a taxa de "expansão" ou "compressão" no ponto. O Laplaciano é um operador diferencial aplicado em campos escalares para medir a curvatura. Sobre exposto, analise as afirmativas a seguir: I. O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de II. O rotacional de um campo vetorial é um campo escalar. III. O divergente de um campo vetorial é um escalar. IV. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial. É correto que se afirma em: A I, III e IV, apenas.B I, II e III, apenas. C I e III, apenas. D III e IV, apenas. E I, II e IV, apenas. 10 Funções vetoriais são funções que atribuem a cada ponto de um domínio um vetor em um espaço vetorial. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas da matemática e da física, especialmente na descrição de curvas no espaço tridimensional e em campos vetoriais. As operações com funções vetoriais, como adição, subtração, multiplicação por escalar e produto escalar, são fundamentais para estudo de curvas e assim como para a análise de campos vetoriais em física. Fonte: STEWART, James. Cálculo 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Considerando conceito de funções vetoriais e as operações entre elas, analise as afirmativas a seguir: I. A soma de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial cujos vetores são obtidos somando-se os vetores correspondentes das funções originais. II. A multiplicação de uma função vetorial por um escalar, sempre resulta em uma nova função vetorial cujos vetores têm a mesma direção e sentido que os vetores originais, mas com magnitude escalada. III. A subtração de duas funções vetoriais é realizada subtraindo-se os vetores correspondentes das funções originais, resultando em um novo vetor. IV. A multiplicação de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial, obtida multiplicando-se os vetores correspondentes das funções originais. É correto que se afirma em: A I, apenas. B III e IV, apenas. C I e IV, apenas. D I, II e III, apenas. E II e III, apenas. Imprimir