Matemática financeira

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 UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ERIC MARTINS DOS SANTOS 
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Regimes de Capitalização 
 
Juros Simples 
No regime de juros simples, os juros são calculados apenas sobre o capital inicial 
durante todo o período da aplicação. A fórmula para o cálculo do montante (M) é: 
𝑀 = 𝑃 ⋅ (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡) 
M = P ⋅ (1+r⋅t) 
onde: 
M é o montante final 
P é o capital inicial 
r é a taxa de juros por período 
t é o tempo em períodos 
 
Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros são calculados sobre o montante acumulado 
no período anterior. A fórmula para o cálculo do montante (M) é: 
𝑀 = 𝑃 ⋅ (1 + 𝑟)𝑡 
onde: 
M é o montante final 
P é o capital inicial 
r é a taxa de juros por período 
t é o tempo em períodos 
 
Resolução das Situações Propostas 
Situação 1 
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A Empresa ABC fará um empréstimo de R$ 250.000,00 no Banco Alfa Investimentos, 
com uma taxa de 2,75% ao mês, a ser pago ao final de 4 anos. 
Juros Simples 
P = R$250.000,00 
r = 2,75% ao mês = 0,0275 
t = 4 anos = 48 meses 
M = P ⋅ (1+r⋅t) 
M = 250.000 ⋅ (1+0.0275⋅48) 
M = 250.000 ⋅ (1+1.32) 
M = 250.000 ⋅ 2.32 
M = R$580.000,00 
 
Juros pagos: 
M− P = 580.000 − 250.000 = R$330.000,00 
 
Juros Compostos 
P = R$250.000,00 
r = 2,75% ao m 
t = 4 anos = 48 meses 
 
M = P ⋅ (1+r) 
M = 250.000 ⋅ (1+0.0275) 
M = 250.000 ⋅ (1.0275) 
M ≈ 250.000 ⋅ 3.459 
4 
 
M ≈ R$864.750,00 
 
Juros pagos: 
M – P = 864.750 − 250.000 = R$614.750,00 
 
Análise Comparativa da Situação 1 
A empresa pagaria significativamente menos juros no regime de capitalização simples 
(R$ 330.000,00) comparado ao regime de capitalização composto (R$ 614.750,00). 
 
Situação 2 
O Banco Beta Soluções Financeiras ofereceu um empréstimo de R$ 250.000,00 com 
uma taxa mensal de 3,87% ao mês, a ser pago em 3 anos. 
 
Juros Simples 
P = R$250.000,00 
r = 3,87% ao mês 
t = 3 anos = 36 meses 
 
M = P ⋅ (1+r⋅t) 
M = 250.000 ⋅ (1 + 0.0387 ⋅ 36) 
M = 250.000 ⋅ (1 + 1.3932) 
M = 250.000 ⋅ 2.3932 
M ≈ R$598.300,00 
 
Juros pagos: 
5 
 
M – P = 598.300 − 250.000 = R$348.300,00 
 
Juros Compostos 
P = R$250.000,00 
r = 3,87% ao mês 
t = 3 anos = 36 meses 
 
M = P ⋅ (1+r) 
M = 250.000 ⋅ (1+0.0387) 
M = 250.000 ⋅ (1.0387) 
M ≈ 250.000 ⋅ 3.731 
M ≈ R$932.750,00 
 
Juros pagos: 
M – P = 932.750 − 250.000 = R$682.750,00 
 
Análise Comparativa da Situação 2 
Novamente, a empresa pagaria menos juros no regime de capitalização simples (R$ 
348.300,00) comparado ao regime de capitalização composto (R$ 682.750,00). 
 
Comparação entre as Instituições 
Considerando ambos os regimes de capitalização, o Banco Alfa Investimentos oferece 
condições mais vantajosas para a empresa ABC, uma vez que os juros são menores 
em ambos os regimes comparados ao Banco Beta Soluções Financeiras. 
 
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Situação de Antecipação de Pagamento em 18 Meses 
Para comparar qual banco concederia o melhor desconto utilizando o Desconto 
Bancário Composto, utilizamos a fórmula do valor presente descontado: 
 
PV = FV / (1+r) t 
 onde: 
PV é o valor presente 
FV é o valor futuro (montante) 
r é a taxa de juros por período 
t é o tempo em períodos 
 
Banco Alfa Investimentos 
FV = R$864.750,00 
r = 2,75% ao mês 
t = 30 meses (48 − 18) 
 
PV = 864.750 / (1+0.0275) 30 
 PV ≈ 864.750 / 2.190 
PV ≈ R$395.000,00 
 
Banco Beta Soluções Financeiras 
FV = R$932.750,00 
r = 3,87% ao mês 
s = 0.0387 
t = 18 meses 
7 
 
PV = 932.750 / (1 + 0.0387)18 
PV ≈ 932.750 / 1.980 
PV ≈ R$ 471.000,00 
 
Análise Comparativa da Antecipação de Pagamento 
O Banco Alfa Investimentos oferece um valor presente menor ao antecipar o 
pagamento, o que implica em um maior desconto e, portanto, condições mais 
vantajosas para a empresa ABC. 
 
Situação 3 
Se a empresa pegasse R$ 200.000,00 e pagasse R$ 280.000,00 após 2 anos, qual 
seria a taxa de juros cobrada? 
 
Juros Simples 
P = R$ 200.000,00 
M = R$ 280.000,00 
t = 2 anos 
 
M = P ⋅ (1+r⋅t) 
280.000 = 200.000 ⋅ (1+r⋅2) 
280.000 = 200.000 ⋅ (1+2r) 
1 + 2r = 280.000 / 200.000 
1 + 2 r = 1.4 
2 r = 0.4 
r = 20% ao ano 
8 
 
Juros Compostos 
P = R$ 200.000,00 
M = R$ 280.000,00 
t = 2 anos 
 
Situação 4 
A ABC Peças faria um empréstimo de R$ 200.000,00, pagando ao final da operação 
um montante de R$ 280.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês. Quantos meses seriam 
necessários para quitar essa dívida? Simularemos para os dois regimes de 
capitalização. 
 
Juros Simples 
P = R$ 200.000,00 
M = R$ 280.000,00 
r = 1,5% ao mês 
 
M = P ⋅ (1 + r⋅ t) 
280.000 = 200.000 ⋅ (1 + 0.015 ⋅ t) 
280.000 = 200.000 ⋅ (1 + 0.015t) 
280.000 / 200.000 = 1 + 0.015t 
1.4 = 1 + 0.015t 
0.4 = 0.015t 
t = 0.4 / 0.015 
t ≈ 26.67 
9 
 
No regime de juros simples, seriam necessários aproximadamente 27 meses para 
quitar a dívida. 
 
Juros Compostos 
P = R$ 200.000,00 
M = R$ 280.000,00 
r = 1,5% ao mês 
 
M = P ⋅ (1 + r) 
280.000 = 200.000 ⋅ (1 + 0.015) t 
1.4 = (1.015) t 
 
Para encontrar t, usaremos logaritmos: 
log (1.4) = log ((1.015)t) 
log (1.4) = t ⋅ log (1.015) 
t = log(1.4) / log(1.015) 
t ≈ 0.1461 / 0.0065 
t ≈ 22.48 
 
Análise de Regimes Comparativos 
 
Juros Simples em comparação Juros combinados 
Juros Simples: Os juros são calculados sobre o valor inicial durante todo o período, o 
que leva a um crescimento linear. A quitação da dívida de R$ 200.000,00 da ABC 
Peças levaria cerca de 27 meses. 
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Juros compostos: Os juros são calculados sobre o valor total do período. Isso leva a 
um crescimento exponencial. A quitação da dívida de R$ 200.000,00 da ABC Peças 
levaria aproximadamente 23 meses. 
Para a ABC Peças, o regime de capitalização composto é melhor porque permite a 
quitação da dívida em um menor período de tempo. 
 
Conclusões Finais 
Após a análise das situações sugeridas, ficou claro que o regime de capitalização 
composta é mais eficaz em termos. 
 
Referências: 
 
SILVA, Vicente Eudes Veras da. Matemática financeira [livro eletrônico] / Vicente 
Eudes Veras da Silva – Rio de Janeiro: UVA, 2016. ISBN 978-85-69287-23-0. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método 
algébrico, HP-12C: Microsoft Excel® / Anísio Costa Castelo Branco – 4. ed. – São 
Paulo: Cengange Learning, 2015. ISBN 978-85-221-2213-4 ISBN 978-85-221-2272-
1. Minha Biblioteca 
WAKAMATSU, André (Org.). Matemática Financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
ISBN: 9788543025704- Biblioteca Pearson. 
Franco, G. A. M. (2020). Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Editora Atlas. 
Assaf Neto, A. (2019). Finanças Corporativas e Valor. São Paulo: Editora Atlas. 
Bruni, A. L., & Famá, R. (2017). Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São 
Paulo: Editora Atlas.