APOSTILA INTRODUÇÃO AO CALCULO AULA 1

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AULA 1 
Tema 
Organização da Aula 
 
Organização da Aula 
 
Olá! Seja bem-vindo à nossa primeira aula de Introdução ao Cálculo! 
Nessa disciplina iremos abordar importantes conteúdos de Matemática que 
serão necessários para a resolução de problemas do nosso cotidiano e 
também servirão de base para que possamos ter um bom aproveitamento em 
outras disciplinas do nosso curso. Além dos aspectos teóricos, abordaremos 
diversos problemas práticos para que possamos entender melhor onde os 
conteúdos que vamos estudar podem ser aplicados. 
Nesta aula estudaremos os conjuntos numéricos e como a criação desses 
conjuntos foi acontecendo com o passar do tempo. Em seguida, estudaremos 
os intervalos numéricos na reta dos números reais. Ainda veremos as 
propriedades algébricas dos números reais. Para finalizar, estudaremos 
conceitos e problemas relacionados à potenciação e à radiciação. Bons 
estudos! 
Para iniciarmos os nossos estudos, é importante que tenhamos uma visão 
geral do que é a Matemática e de quais temas estaremos abordando no 
decorrer das nossas aulas. 
 
O que é Matemática? 
A Matemática é uma antiga ciência de origem remota e cuja história e áreas de 
atuação são tão vastas que, mesmo após anos e anos de estudos, é 
praticamente impossível aprender tudo o que está relacionado a essa 
importante ciência. 
O significado da palavra Matemática tem origem na Grécia e é oriundo da 
palavra mathema, que significa estudo, conhecimento, aprendizagem. Durante 
muitos séculos, os matemáticos também estudavam filosofia, física, 
engenharia, economia, astronomia entre muitos outros temas relacionados a 
situações do cotidiano. 
 
Podemos afirmar que a Matemática é uma ciência que está presente em todas 
as outras. Com o uso da Matemática é possível fazer contagens, calcular 
custos e lucros, estudar o crescimento de populações, determinar a quantidade 
ideal de ingestão de um medicamento, calcular o valor de uma ação trabalhista, 
planejar a produção de uma indústria, determinar a rota ótima de um veículo 
que precisa fazer entregas, projetar moradias, realizar processamento digital de 
sinais e de imagens, desenvolver sistemas cada vez mais modernos que 
permitem a comunicação entre as pessoas, além de muitas outras aplicações 
importantes. O funcionamento de um computador, de um telefone celular ou de 
uma máquina de tomografia computadorizada, por exemplo, baseia-se em 
importantes temas da Matemática, tais como sistemas de equações, funções 
trigonométricas, números complexos e muitos outros. 
Por outro lado, para muitos a Matemática é apresentada como uma disciplina 
difícil, extremamente abstrata e totalmente fora da realidade. Esse fato é, no 
mínimo, contraditório, pois praticamente todos os temas estudados na 
Matemática surgiram da necessidade do ser humano de resolver problemas 
reais cotidianos. 
É claro que, principalmente a partir do Século XVIII, houve um grande avanço 
dos estudos relacionados à Matemática e, com esse avanço, muitos 
matemáticos desenvolveram teorias que, na época, aparentavam não ter 
aplicações. Um exemplo foi uma álgebra binária desenvolvida por George 
Boole, um matemático inglês, e apresentada, pela primeira vez, em 1847. 
Situações envolvendo os números 0 e 1 já existiam há mais de 2.000 anos, 
mas Boole desenvolveu uma estrutura algébrica binária. Na época ninguém via 
utilidade para um estudo baseado em operações e propriedades relacionadas a 
apenas esses dois números. No entanto, atualmente, o funcionamento de 
qualquer computador é baseado na álgebra de Boole. 
Se hoje é possível escrever textos, enviar e-mails, ouvir música, assistir a 
vídeos, produzir animações gráficas, além de muitas outras funções, devemos 
isso a vários pesquisadores que, com o passar do tempo, foram aprimorando 
ideias, mas, sobretudo, devemos isso ao estudo desenvolvido por Boole no 
Século XIX. 
 
Mas, se a Matemática é tão importante e presente em nossas vidas, por 
que muitas pessoas têm dificuldades em estudar e aprender Matemática? 
Recentemente um pesquisador inglês chamado Keith Devlin desenvolveu um 
importante estudo sobre isso e, como consequência, escreveu um livro 
intitulado “O Gene da Matemática”. Nesse livro Devlin afirma que todas as 
pessoas possuem um instinto para a Matemática e são capazes de aprender 
Matemática. O que facilita ou dificulta a aprendizagem de algumas pessoas é a 
capacidade de abstração. 
Como exemplo, muitas pessoas resolveram facilmente problemas onde uma 
situação concreta era apresentada. No entanto, quando os mesmos problemas 
eram apresentados, mas de uma forma abstrata, envolvendo variáveis do tipo 
x, y, z, as pessoas apresentavam dificuldades em compreender e em resolver 
esses problemas. Segundo Devlin, as pessoas conseguem aprender melhor 
quando o que é estudado tem um significado para elas. 
Sabemos que a Matemática está presente em praticamente todos os eventos 
do nosso cotidiano. A sua história está diretamente relacionada com a história 
da Humanidade. Vamos fazer a leitura do texto que nos conta sobre o 
desenvolvimento da contagem e sobre a criação dos conjuntos numéricos que 
são a base de toda a matemática: 
 
Tema 
Conjuntos numéricos 
A origem da Matemática está ligada à origem da Humanidade. Segundo a 
História, os primeiros indícios da vida humana na terra são encontrados na 
Idade da Pedra, período compreendido entre 5.000.000 e 3.000 a.C. 
No início, os seres humanos estavam organizados em grupos de 
características nômades. A necessidade era buscar novos lugares para se 
proteger das variações climáticas e também para encontrar alimento. De 
acordo com os estudos feitos, era um mundo difícil e hostil. Os locais do 
planeta com maior número de habitantes eram as regiões conhecidas, 
atualmente, como África, sul da Europa, sul da Ásia e América Central. 
 
 
Nessa época surgiram os primeiros relatos da existência de sistemas primitivos 
de contagem. Alguns registros históricos mostram que, há aproximadamente 
50.000 anos, os sistemas de contagem eram baseados em uma relação 
biunívoca, ou seja, para cada objeto a ser contado, era feito uma ranhura em 
um pedaço de barro. Também era comum o uso de nós em cordas ou entalhes 
em pedaços de madeira. 
Acredita-se que antes mesmo da fala, os primeiros sons vocais eram utilizados 
para o registro verbal de números. A contagem envolvia, desde a quantidade 
de membros de um grupo de pessoas até a quantidade de carneiros em um 
rebanho. O uso dos dedos também era feito para pequenas contagens, onde 
as pessoas dobravam ou esticavam dedos para cada unidade contada. 
 
O detalhe é que essas técnicas funcionavam muito bem para pequenas 
quantidades, mas no caso de contagens mais extensas, esse processo teve 
que ser sistematizado. Dentre diversas formas possíveis, a forma de 
sistematização mais utilizada é o que chamamos de sistema posicional, no qual 
temos um conjunto limitado de símbolos para que possamos representar uma 
quantidade infinita de números. 
Nesse sistema, escolhe-se um número b como base. Todos os números 
maiores ou iguais a b são combinações dos números menores do que b. O 
nosso sistema de numeração é um sistema posicional de base 10. A escolha 
do número 10 é feita de forma conveniente, pois corresponde ao número de 
dedos das mãos de uma pessoa. Os números maiores do que 10 são 
combinações dos números menores do que 10. O próprio 10 é uma 
combinação de 0 e 1, ambos menores do que 10. Nesse caso, com os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 é possível gerar uma quantidade infinita 
de números. 
 
Números Naturais (N) 
O primeiro conjunto numérico surgiu da necessidadedo ser humano de realizar 
contagens. Esse conjunto numérico é conhecido como conjunto dos números 
naturais e é formado pelos números 1,2,3...∞ e representado pela letra N. Por 
isso, podemos escrever: 
N = {1,2,3,4,...∞} 
Alguns autores consideram o número zero como um elemento pertencente ao 
conjunto dos naturais. Neste caso, o conjunto fica assim: 
N = {0,1,2,3,4,...∞} 
Durante muito tempo esses números foram utilizados não só nas contagens, 
mas também na realização de operações tais como adição, subtração, 
multiplicação e divisão. A limitação do conjunto ficou cada vez mais evidente 
em situações onde era necessário subtrair uma quantidade maior do que a 
existente, por exemplo. 
 
Números Inteiros (Z) 
Atualmente sabemos que 7-10=-3, mas, se considerarmos o conjunto dos 
números naturais, essa operação não é possível. Em decorrência da 
necessidade, foi criado o conjunto dos números inteiros, formado pelos 
números naturais e os respectivos simétricos, além, é claro, do número 0. 
Assim, o número 1 tem o seu simétrico representado por -1, o número 2 tem 
como simétrico o número -2 e assim por diante. O número 5, por exemplo, 
indica a existência de 5 unidades enquanto que o número -5 indica a falta de 5 
unidades. A representação do conjunto do inteiros é feita pela letra Z: 
Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} 
 
 
Números Racionais (Q) 
 
Com o conjunto dos números inteiros, muitos problemas eram resolvidos. No 
entanto, em relação às divisões, o conjunto dos inteiros apresentava limitações. 
Sabemos, por exemplo, que é igual a 5. Mas como era possível representar 
divisões cujo resultado não era um número inteiro, tais como ou ? Com o 
conjunto dos inteiros, isso não era possível! 
Por isso foi criado um conjunto contendo todos os números que podem ser 
escritos sob a forma de uma razão (divisão). Esse conjunto recebeu o nome de 
conjunto dos números racionais e é representado pela letra Q. Um número 
racional é um número da forma onde a e b são números inteiros. A 
condição é que b seja diferente de 0, pois, como sabemos, é impossível 
dividirmos um número por 0. 
 
 
 
IMPORTANTE: 
Relembrando, o símbolo ∈ significa “pertence”, e é utilizado para 
relacionar elementos e conjuntos. Sendo assim, a leitura do 
conjunto Q descrito acima é feita assim: o conjunto dos racionais é 
formado por números da forma onde a pertence a Z, b pertence 
a Z eb é diferente de 0. 
Com o conjunto dos números racionais foi possível representar divisões cujos 
resultados não eram números inteiros. A razão , por exemplo, na forma 
decimal, corresponde a 0,75 e a razão é igual a 3,333333333… 
Observe que no caso da fração , o resultado é um número decimal com 
duas casas após a vírgula. Em relação à fração , temos infinitas casas 
decimais, todas iguais a 3. Se dividirmos 3 por 11, o resultado é 
0,272727272727... O número de casas decimais também é infinito e o padrão 
de repetição se mantém, agora com os algarismos 2 e 7. Esse padrão de 
repetição é conhecido como dízima periódica. Mas o que é uma dízima 
periódica? 
Trata-se de um número, escrito na forma decimal que, após um determinado 
algarismo, possui um conjunto de algarismos que se repetem, sempre na 
mesma ordem, infinitamente. 
 
Uma forma simples de representarmos uma dízima periódica é adicionarmos 
uma barra sobre os algarismos que se repetem. Por exemplo: 
0,272727272727… =0,27 
12,33333333333… =12,3 
2,123434343434… =2,1234 
 
e assim por diante. 
Geometricamente, podemos representar frações como divisões de um 
segmento. Por exemplo, vamos considerar um intervalo entre 0 e 2 e algumas 
frações para ilustrarmos melhor essa representação geométrica: 
 
 
Números Irracionais (I) 
 
No Século VI a.C., um importante matemático grego, Pitágoras, desenvolveu 
vários estudos importantes para o desenvolvimento da Matemática. Uma de 
suas descobertas foi a relação métrica entre os lados de um triângulo 
retângulo. Pitágoras descobriu que, se elevarmos ao quadrado a medida do 
maior lado do triângulo retângulo (hipotenusa), o resultado será igual à soma 
dos quadrados das medidas dos lados menores do triângulo (catetos). Essa 
observação deu origem ao famoso teorema de Pitágoras: 
b2+c2=a2 
 
 
Durante muito tempo acreditou-se que todos os números existentes poderiam 
ser escritos sob a forma . No entanto, se tivermos um triângulo retângulo de 
catetos iguais a 1, pelo teorema de Pitágoras temos que o valor da hipotenusa 
corresponde a , cujo valor é igual a 1,41421356237309... (as reticências 
indicam que há infinitas casas decimais, mas o padrão de repetição encontrado 
nos números racionais não ocorre aqui). 
 
 
Para Pitágoras e seus discípulos, a descoberta da existência de pelo menos 
um número irracional foi perturbador e, contrário à crença dos pitagóricos, que 
afirmava que tudo dependia dos números inteiros. Matematicamente é possível 
mostrar que não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros. 
Durante muito tempo acreditava-se que era o único número irracional, mas 
com o passar do tempo foi possível mostrar 
que também eram irracionais. Atualmente, sabemos 
que o conjunto dos irracionais é formado por um número de elementos muito 
maior do que o conjunto dos racionais. 
 
Números Reais (R) 
Como, até o momento, temos dois conjuntos distintos e sem elementos em 
comum – o conjunto dos racionais e o conjunto dos irracionais –, nada mais 
justo do que criar um conjunto para agrupar os elementos desses dois 
importantes conjuntos numéricos! E pensando assim foi criado o conjunto 
dos números reais, formados por números racionais e por números irracionais. 
 
 
Podemos escrever, então, que o conjunto dos reais, representado pela letra R, 
é a união do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais: 
R = Q ∪ I 
As letras R, Q e I representam, respectivamente, os conjuntos dos reais, 
racionais e irracionais. A letra ∪ indica a união dos conjuntos, ou seja, o 
agrupamento dos elementos de Q e de I em um único conjunto, denotado 
por R. 
A cada número real, temos um ponto associado a uma reta, conhecida 
como reta dos reais, e a cada ponto da reta temos um número real associado. 
 
O símbolo ∞ representa o infinito. Como uma reta possui infinitos pontos 
contínuos, ou seja, não há espaço vazio entre dois pontos consecutivos, o 
conjunto dos reais também é formado por infinitos números consecutivos. Por 
esse motivo, podemos dizer que o conjunto dos reais é contínuo. 
Para encerrar esse tema, vamos conhecer algumas aplicações práticas? 
Considere a informação que a magnitude de um número é a distância dele até 
a origem da reta ordenada. 
1. Identifique todos os números naturais cuja magnitude seja menor do que 6. 
Os números naturais são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. 
Destes valores, os que apresentam magnitude (distância até a origem) menor 
que 6 são: 1, 2, 3, 4, e 5. 
2. Identifique todos os números reais cuja magnitude seja menor que 6. 
Para os números reais, é necessário observar que há infinitos valores com 
magnitude menor que 6, e são todos valores incluídos no intervalo - 6 < x < 6, 
pois pode-se considerar que o número esteja à esquerda ou à direita da origem 
da reta ordenada. 
Agora vamos determinar a forma decimal dos números racionais 
, e . 
1. A forma decimal é obtida pela divisão do valor numérico no numerador pelo 
valor numérico no denominador. Em alguns casos ocorre uma quantidade finita 
de dígitos: 
 = -5,625 
2. Em outros casos, a quantidade de dígitos é infinita, o que leva as dízimas 
periódicas. Exemplos: 
 e 
3. Quando ocorre a repetição de uma sequênciade dígitos pode-se utilizar uma 
barra sobre os dígitos da repetição para simplificar a notação, ou seja, nos 
exemplos anteriores pode-se escrever: 
0,1515151515… = e 0135135135135…. = 
 
Agora vamos determinar a forma decimal dos números racionais 
, e . 
1. A forma decimal é obtida pela divisão do valor numérico no numerador pelo 
valor numérico no denominador. Em alguns casos ocorre uma quantidade finita 
de dígitos: 
 = -5,625 
2. Em outros casos, a quantidade de dígitos é infinita, o que leva as dízimas 
periódicas. Exemplos: 
 e 
3. Quando ocorre a repetição de uma sequência de dígitos pode-se utilizar uma 
barra sobre os dígitos da repetição para simplificar a notação, ou seja, nos 
exemplos anteriores pode-se escrever: 
0,1515151515… = e 0135135135135…. = 
 
Tema 
Intervalo numérico 
 
Quando falamos de números reais, muitas vezes nos deparamos com 
problemas nos quais não encontramos necessariamente um único valor, mas, 
sim, um conjunto de valores que estão dentro de um intervalo. A temperatura, 
ao longo do dia, por exemplo, varia em função do tempo, dentro de um 
intervalo que vai desde a temperatura mínima daquele dia até a temperatura 
máxima. 
Bem, sabemos que o conjunto dos números reais é um conjunto contínuo 
formado por uma infinidade de números (racionais e irracionais) onde cada 
número real está associado a um ponto da reta real e cada ponto dessa reta 
está associado a um número real. 
Além dos números reais estarem associados aos pontos de uma reta, uma 
outra particularidade é que o conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, 
se compararmos dois números reais ae b quaisquer, teremos três 
possibilidades: 
1. a é igual a b, ou seja a = b 
2. a é menor do que b, ou seja, a < b 
3. a é maior do que b, ou seja, a > b 
Dessa forma, na reta dos reais, os números à direita do 0 são positivos e 
crescentes e os números à esquerda de 0 são negativos e decrescentes. 
 
 
 
Em virtude dessa ordem, podemos afirmar, por exemplo, que 7 > 2 (7 é maior 
do que 2) ou que 5 < 18 (5 é menor do que 18). Também podemos escrever 
que 4 = 4 ou que 3 + 5 = 8. 
Mas, além da possibilidade de compararmos números reais, muitas vezes não 
temos necessariamente um número, mas sim uma quantidade de números em 
um certo intervalo. 
Em situações práticas, temos muitos exemplos onde utilizamos intervalos 
numéricos. Podemos citar, por exemplo, a temperatura de armazenamento de 
um determinado produto alimentício (1°C a 5°C), o estoque de um armazém 
(5.000 a 7.000 unidades de um produto), a quantidade de feijão em uma 
embalagem (0,987 kg a 1,013 kg) ... 
Em uma pesquisa que mede as intenções de voto de um candidato, é muito 
comum termos uma margem de erro em função da amostra escolhida. Por 
exemplo, se um candidato tem 55% das intenções de voto com uma margem 
de erro de 2% para mais ou para menos, na verdade, as intenções de voto 
desse candidato variam de 53% a 57%. É só calcularmos 55% - 2% = 53% e 
55% + 2% = 57%. Podemos escrever esse intervalo utilizando desigualdades 
(53% ≤ x ≤ 57%) onde x indica a porcentagem de intenções de voto desse 
candidato. Observe que x pode assumir qualquer valor entre 53% e 57%. O 
símbolo ≤ significa “menor ou igual” e o símbolo ≥ significa “maior ou igual”. 
Esse intervalo também pode ser representado através da notação de intervalo: 
[53%, 57%] 
Ou também graficamente: 
 
 
O intervalo que acabamos de ver é chamado de intervalo fechado, pois os 
extremos (53% e 57%) fazem parte das possibilidades. Em alguns casos, 
temos intervalos abertos e intervalos semi-abertos, onde um ou os dois 
extremos não fazem parte das possibilidades do problema. 
 
Para ilustrarmos melhor isso, vamos imaginar um amplificador cujo volume 
varia de 0 a 10. Podemos selecionar qualquer valor dentro desse intervalo. 
Mas, por questões da qualidade do equipamento, há ruídos indesejáveis 
quando o volume está no máximo. Por isso, o objetivo é elevar o volume, mas 
nunca deixá-lo no 10. Podemos representar essa situação através de 
desigualdades: 
0 ≤ x < 10 
 
Observe que se x é o volume do amplificador, ele varia de 0 a 10, podendo 
assumir qualquer valor nesse intervalo, incluindo o 0 (estamos utilizando o 
símbolo ≤). No entanto, x não pode ser igual a 10. Por esse motivo, estamos 
utilizando o símbolo < no lugar do símbolo ≤. 
Graficamente esse intervalo é representado com um ponto fechado no zero e 
um ponto aberto no 10. 
 
 
 
Dessa maneira, os intervalos podem ser classificados da seguinte maneira: 
 
 
No exemplo que propusemos, a e b são dois números reais quaisquer e 
chamados de extremos do intervalo. O número a também pode ser chamado 
de limite inferior do intervalo e b o limite superior do intervalo. 
É importante ressaltar que, se estivermos tratando com intervalos que 
envolvem o infinito (-∞ ou ∞), o intervalo no infinito sempre será aberto. Isso se 
deve ao fato de que o infinito não é considerado como sendo um número, pois, 
por definição, número indica uma quantia exata e o infinito indica uma quantia 
muito grande, mas incerta. É impossível afirmar quanto vale o infinito. Por 
exemplo, o intervalo x>2 é representado por (2, ∞) e o intervalo x ≤4 é 
representado por (-∞, 4]. O conjunto dos reais pode também ser representado 
por um intervalo: (-∞,∞). 
Vamos ver se você aprendeu a representar corretamente os intervalos? 
Clique nos botões abaixo e veja algumas situações: 
 
 
 
1º Uma agência de modelos infantis, busca uma criança que tenha no máximo 
5 anos de idade, para divulgação de vestuário de loja. Deve-se considerar que 
a criança (modelo infantil) possa ser de recém-nascido (poucos dias de vida) 
até 5 anos de idade (inclusive). Tem-se o intervalo 0 < x < 6 onde os extremos 
representam valores em anos. No lado esquerdo do intervalo usa-se 0 < x pois 
o modelo infantil (a criança) deverá ter pelo menos alguns dias de vida, e no 
lado direito usa-se x < 6 pois seriam aceitas crianças até 6 anos incompletos 
(ou 5 anos e alguns meses) 
2º A taxa de juros para aquisição de imóveis pelo SFH ficará entre 6,5% e 9,5% 
ao ano. Neste caso, a palavra “entre” indica que os valores de 6,5% e 9,5% 
não serão incluídos no intervalo. Tem-se o intervalo 6,5 < x < 9,5 onde x denota 
a taxa de juros anual. 
3º Devido à greve dos caminhoneiros, o preço da gasolina, na região de 
Curitiba, está variando de R$ 3,20 a R$ 3,80. Neste caso, x representa o valor 
do litro de combustível, que pode ser adquirido a partir de R$ 3,20 (inclusive) 
até R$ 3,80 (inclusive). A notação de intervalo correspondente é 3,20 ≤ x ≤ 
3,80. 
4º Os itens à venda na loja de presentes populares, tem preços inferiores a R$ 
30,00. Neste caso, deve-se considerar que algum item possa custar alguns 
poucos centavos ou até algum valor inferior (e não igual) a R$ 30,00. Escreve-
se a solução sendo 0 < x < 30. 
 
Tema 
Potenciação 
Propriedades Algébricas 
 
A álgebra é um ramo da matemática que estuda situações envolvendo 
variáveis e números. Já sabemos que os números são utilizados para que 
possamos representar quantidades finitas. A esses números damos o nome de 
constante. Mas o que são as variáveis? As variáveis são elementos, 
geralmente representados por letras, que indicam quantidades desconhecidas. 
Se comprarmos dois sanduíches e pagarmos 10 reais, quanto custou cada 
sanduíche? Podemos representar o preço do sanduíche pela letra x, que é a 
nossa variável, também chamada deincógnita. 
Quando estudamos álgebra, é muito comum nos depararmos com expressões 
algébricas, ou seja, problemas relacionados a operações (soma, subtração, 
multiplicação,potenciação, radiciação...) envolvendo não só as constantes, 
mas, sim, constantes e variáveis. 
 
Para que possamos resolver problemas algébricos, é importante conhecermos 
algumas propriedades algébricas dos números reais. 
Propriedade comutativa 
Os números reais são comutativos, tanto na adição quanto na multiplicação. 
Mas o que isso significa? Se somarmos 4+5 ou 5+4, por exemplo, obteremos o 
mesmo resultado, ou seja, 4+5=9 e 5+4=9. A troca da ordem dos números não 
altera o resultado da adição. O mesmo ocorre com a multiplicação. Se 
multiplicarmos 3×5 ou 5×3, iremos obter o mesmo resultado: 15. A 
multiplicação de dois números reais gera o mesmo resultado, independente da 
ordem dos números que estão sendo multiplicados. De uma maneira geral, 
podemos escrever que 
a+b = b+a e a.b = b.a para todo a e b reais. 
 
 
Propriedade associativa 
Essa propriedade permite alterarmos a ordem dos números que estamos 
somando ou dos números que estamos multiplicando sem alterarmos o 
resultado final. Se tivermos que somar três números, como 2+5+8, por 
exemplo, podemos somar 2+5 primeiro, que é igual a 7 e, em seguida, 
somarmos esse resultado com 8, totalizando 15. Também é possível 
somarmos 5+8 primeiro, que resulta em 13 e, em seguida, somarmos 13 com 
2, cujo resultado também é igual a 15. Ou seja, se alterarmos a ordem dos 
números que estamos somando, o resultado permanece o mesmo. De uma 
forma simplificada, podemos dizer que (a+b)+c=a+(b+c). O mesmo vale para a 
multiplicação de números reais: (a.b).c=a.(b.c). 
 
Propriedade do elemento neutro 
Tanto na adição quanto na multiplicação temos a existência do elemento 
neutro. Mas o que é um elemento neutro? Matematicamente, o elemento 
neutro é aquele que não altera o resultado de uma operação. Na adição o 
elemento neutro é 0, pois qualquer número somado com 0 é igual ao próprio 
número. Por exemplo, 4 + 0 = 4, 8 + 0 = 8, 122 + 0 = 122, e assim por diante. 
Em relação à multiplicação, o elemento neutro é o número 1, pois qualquer 
número real multiplicado por 1 resulta no próprio número. Podemos citar, como 
exemplo, 33 . 1 = 33, (-3) . 1 = (-3), 6 . 1 = 6. Logo, podemos dizer que a + 0 = 
a e a . 1 = a, onde a é um número real. 
 
Propriedade do elemento inverso 
Além do elemento neutro, temos a existência dos inversos aditivo e 
multiplicativo. Na adição, o inverso de um número a, também conhecido como 
oposto de a, é o número -a, ou seja, o inverso aditivo de 2 é o -2, o inverso 
aditivo do -4 é o 4. Mas por que isso? No conjunto dos reais, a soma de um 
número com o seu inverso aditivo resulta no elemento neutro. Isso quer dizer 
que 2+(-2)=0, 3+(-3)=0 e (-4)+4=0. Em relação à multiplicação de um número 
real pelo seu inverso multiplicativo, o resultado é o neutro da multiplicação, que 
é o número 1. Por isso, o inverso multiplicativo de um número real "a" é igual
, poisa. = 1. 
 
 
 
Propriedade distributiva 
Finalmente, a última propriedade dos reais a ser estudada é a propriedade 
distributiva, onde é possível afirmar que a.(b+c)=a.b+a.c. Por 
exemplo, 3.(x+y)=3.x+3.y. As propriedades dos reais são muito úteis na 
resolução de equações, fatoração e outros problemas relacionados à 
matemática. 
 
Potenciação 
Muitas vezes nos deparamos com problemas onde é necessário multiplicarmos 
uma sequência de números iguais. Quando isso ocorre, é possível utilizarmos 
a potenciação. 
Na matemática financeira a potenciação é utilizada para que possamos calcular 
o acumulado de uma dívida que sofre uma incidência constante de juros a cada 
período de tempo, calculado sempre sobre o valor atualizado dessa dívida. 
Para ilustrarmos melhor, vamos imaginar que a dívida de uma pessoa dobra de 
valor a cada ano. Supondo que a dívida inicial é de R$ 100,00, temos a 
seguinte situação: 
 
 
 
De um modo geral, podemos dizer, então, que a 
potenciação é uma sequência de multiplicações 
de n fatores iguais. O número n é chamado de expoente, o 
fator que se repete é chamado de base e o resultado das 
multiplicações é chamado de potência. 
 
 
IMPORTANTE 
 
É importante ressaltar que no caso da potência (-3)2, a 
base tem sinal negativo. Por isso utilizamos a regra de 
sinais que diz que a multiplicação de dois números 
negativos resulta em um número positivo. No caso da 
potência -32, estamos elevando o número 3 ao quadrado. O 
sinal negativo é de toda a expressão, e não da base. Por 
isso que o resultado permanece negativo. É bom 
lembrarmos que toda potência de base negativa e 
expoente par resulta em um número positivo e toda 
potência de base negativa e expoente ímpar resulta em um 
número negativo. 
 
Observe alguns exemplos de potências: 
 
a. 32=3×3=9 
b. 53=5×5×5=125 
c. (-3)2=(-3)×(-3)=9 
d. -32=-3×3=-9 
e. 
Para que possamos resolver problemas algébricos, é importante conhecermos 
algumas propriedades algébricas dos números reais. 
 
Potência elevada a 0 
Todo número real diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1. 
a0 = 1, a ≠ 0. 
Exemplificando, pela propriedade da divisão de potências de mesma base, 
temos que: 
 
Mas observe que se calcularmos as potências, temos: 
 
Logo, 20 = 1. E isso vale para qualquer real diferente de zero. 
É importante ressaltar que 00 é uma indeterminação. Isso ocorre por que há um 
conflito de regras. Sabemos que 0 elevado a qualquer número é igual a 0 e 
qualquer número elevado a 0 é igual a 1. Mas e 00 é igual a 0 ou igual a 1? 
Como não é possível encontrar uma resposta para essa pergunta, dizemos que 
00 é uma indeterminação. 
 
Potência de expoente negativo 
Uma potência de expoente negativo é igual ao inverso multiplicativo da mesma 
potência, mas com o expoente positivo: 
 
Como exemplo, temos que: 
 
 
Multiplicação de potências de bases diferentes 
Quando as potências têm bases diferentes mantém-se o expoente e 
multiplicam-se as bases. 
(a . b)n = an . bn 
Como exemplo, temos: 
a) (3 . 5)2 = 32 . 52 
b) (x . y)4 = x4 . y4 
 
Divisão de potências de bases diferentes 
A potência de um quociente é o quociente das potências: 
 
Podemos exemplificar essa propriedade da seguinte forma: 
 
 
Potência de um expoente fracionário 
Quando o expoente de uma potência é uma fração resulta em uma raiz cujo 
índice é o denominador da fração, e o numerador é a potência interna no 
radicando: 
 
Por exemplo: 
a) 
b) 
c) 
 
Potência elevada a 1 
Todo número elevado a 1 terá como resultado ele mesmo. 
a1 = a 
 
Multiplicação de potências de mesma base 
Na multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e somamos 
os expoentes: 
am . an = a(m + n) 
Por exemplo, 22 . 23 = 22+3 = 25 pois 
Essa propriedade é muito utilizada quando estamos trabalhando com 
multiplicações de potências onde a base é um valor desconhecido. Se tivermos 
que multiplicar x3 por x4, o resultado será x7, pois x3 . x4 = x3 + 4 = x7 . 
 
 
Divisão de potências de mesma base 
Na divisão de potências de mesma base, devemos repetir a base e subtrair os 
expoentes: 
 
É fácil perceber que isso ocorre de fato. Vamos ver o seguinte exemplo: 
 
Simplificando numerador com denominador, temos: 
 
Ou seja, 
Logo, se tivermos que dividir x8 por x3, por exemplo, o resultado será x5, 
pois 
 
Potência de uma potência 
 
Na potência de uma potência, repete-se a base e multiplicam-se os expoentes: 
(am)n = a(m . n) 
a) (23)4 = 23 . 4 = 212 
b) (x5)2 = x5 . 2 = x10 
 
Chegou a hora de praticar. Usando as propriedades da potenciação, simplifique 
as expressões abaixo: 
 
a) 
Resposta: Para essa expressão, pode-se verificar que no numerador e no 
denominador ocorrem termos com potências com basex e com base y. 
A ideia a ser considerada é de agrupar termos com a mesma base e sobre estes 
termos aplicar alguma propriedade associada a potenciação. Para a base x, ocorre 
uma potência no numerador e uma no denominador, ou seja, que poderá ser 
efetuada mediante emprego da propriedade de divisão de potências de mesma base 
que é apresentada como sendo . Desta forma, pode-se obter um resultado 
para os termos com a base x. De forma similar e usando a mesma propriedade, 
efetua-se a simplificação para termos com a base y. 
 = x 4 - 2 . y 6 - 5 
Os termos do lado direito da igualdade podem ser reescritos empregando a subtração 
nos expoentes, de forma a obter: 
x 4 - 2 . y 6 - 5 = x 2 . y 1 
Que é o resultado simplificado para a expressão inicialmente proposta. 
b) 
RESPOSTA: Para essa expressão, é possível verificar que no numerador tem-
se um termo que envolve um fator (3x2)elevado ao quadrado, onde a base não 
é simplesmente x, mas 3 . x 2. Deve-se inicialmente aplicar a propriedade de 
potência aplicada a um produto de termos (a . b) n = a n . b n, para obter o 
resultado desta parcela. 
 
No termo central do numerador surgiu o caso de uma potência de potência, 
que é expresso por (a m) n = am . n que resultará: 
 
Pode-se fazer a simplificação de valores de mesma natureza, ou seja, valores 
numéricos, termos com base x e termos com base y, de forma a obter: 
 
A divisão de 9 por 3 resulta 3, o termo envolvendo x permanece inalterado, e 
sobre os termos envolvendo y deve-se aplicar a propriedade de divisão de 
potências de mesma base , resultando então: 
 = 3 . x4 . y5-2 = 3 . x4 . y3 
O resultado final é então 3 . x4 . y3. 
 
c) 
RESPOSTA: Inicialmente deve-se considerar a propriedade relativa a potência 
aplicada a um quociente ou divisão que é dada por: ,com b ≠ 0, 
onde verifica-se que a potência deve ser aplicada ao numerador e ao 
denominador separadamente. Desta forma tem-se: 
 
No denominador surge uma potência de potência, que poderá ser resolvida 
mediante o emprego de (am)n = am.n, resultando: 
 
Este é o resultado da questão. 
d) 
RESPOSTA: Para essa expressão, pode-se agrupar termos que envolvam as 
constantes, termos que envolvam a base “a” e termos que envolvam a base “b” 
separadamente. 
 
Para os valores numéricos tem-se o produto de 4 por 8 resultando 32, que 
dividido por 2 resulta 16. 
Para as potências da base “a”, usa-se duas propriedades da potenciação, ou 
seja, am . an = am + n e de forma a obter-se: 
 
Para as potências da base “b”, o processo é análogo e obtém-se: 
 
Assim, o resultado para esta questão 
será: 
 
 
 
 
 
 
Notação científica 
 
Em algumas áreas do conhecimento que trabalham com quantias muito 
grandes ou com quantias muito pequenas, é comum o uso de potências para 
que os cálculos sejam feitos de maneira mais simples. Observe: 
365.000 = 3,65 × 100.000 = 3,65 × 105 
0,7=7÷10=7 ×10(-1) 
 
Se tivermos que efetuar a multiplicação de 4.000.000 por 3.700.000.000 para 
depois dividirmos o resultado por 2.800.000, teremos muito trabalho. No 
entanto, se utilizarmos a notação científica e algumas propriedades das 
potências, tudo fica mais fácil! Observe: 
 
O próximo passo é agruparmos os números (realizando as multiplicações e 
divisões) e as potências de 10 (utilizando as propriedades da potenciação): 
 
A notação científica é a maneira utilizada para representar valores muito 
elevados ou muito pequenos, onde surge uma quantidade considerável de 
dígitos nulos antes ou depois do digito significativo (não-nulo). Para escrever os 
valores com notação científica, usamos as potências de 10 como fator 
multiplicativo junto aos dígitos não nulos, de maneira que o valor a ser 
denotado deve estar entre 0 e 10 (intervalo aberto nestes extremos). 
Vamos praticar? Usando a notação científica, expresse as grandezas abaixo 
 
 
 
a) A massa de um nêutron é de aproximadamente 0,000 000 000 000 
000 000 000 001 672 gramas. 
RESPOSTA : 1,672 . 10-24 g 
 
B) Um ano luz ( distancia que a luz viaja em um ano) é de 
aproximadamente 9.500.000.000.000 km 
RESPOSTA : 9,5 . 1012 Km 
 
C) A carga elétrica de um elétron(dada em culombs) é de -
0,000 000 000 000 000 000 160 21. 
RESPOSTA: 1,6021 . 10-19 C 
Usando a notação científica, calcule os valores correspondentes às expressões 
abaixo: 
 
b) 2,38 . 108 . 4,22 . 10-7 . 3,41 . 10 4 
 
Para facilitar a obtenção dos resultados, é conveniente agrupar as partes com 
as constantes e agrupar as partes do número que envolvam as potências de 
10, e operar com cada grupo separadamente. Clique no ícone e verifique a 
resolução! 
 
a) 
 
 
 
 
Fazendo a multiplicação de 1,37 por 3,18 resulta 4,3566 que dividido por 4,15 resulta 
1,04978... com aproximação para 1,05 (utilizando duas casas decimais). 
Para as potências de 10, usa-se as propriedades relativas a multiplicação de potências 
de mesma base 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 e de divisão de potências de mesma base 
simultaneamente, resultando: 
 
 
E por fim, juntando as duas partes tem-se o resultado 1,05 . 104. 
 
 
b) 
 
Para este caso, agrupando as constantes, tem-se 2,38 . 4,22 . 3,41 resultando 
34,248676. Para as potências de 10, tem-se 108. 10−7. 104 que resulta 108. 10−7. 104 = 
10(8)+(−7)+(4) = 105 
 
O resultado obtido é 34,248676.105. 
 
Este resultado apresenta um problema em sua apresentação, pois a parte relativa a 
constante na notação científica deve ser um valor do intervalo 0 < C < 10. 
Reescrevendo 
o valor de 34,248676 como sendo 3,4248676 .101 o valor obtido será 
3,4248676.101. 105 onde as potências de 10 devem ser agrupadas. Usando a 
propriedade 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 resulta como solução da questão 3,4248676 . 10 6. 
 
Considerando que os valores iniciais foram expressos com apenas duas casas decimais, 
pode-se fazer o arredondamento do valor obtido para 3,42. 10 6. 
 
Para entendermos melhor, vamos imaginar a seguinte situação: uma pessoa 
pagou com 10 meses de atraso a fatura do cartão de crédito cujo valor inicial 
era de R$ 1.676,30. Se os encargos financeiros correspondem a 16% ao mês, 
qual será o total pago em decorrência do atraso? 
Bem, sabemos que o capital é o valor original da fatura, nesse caso, R$ 
1.676,30. O tempo corresponde a 10 meses e a taxa de juros, nesse caso, 
encargos financeiros, é igual a 16% que, na forma decimal, equivale a 0,16. O 
montante é o valor que queremos calcular. Portanto: 
C = 1.676,30 
n = 10 meses 
i = 16% = 0,16 ao mês 
M = ? 
 
 
Agora que já temos os valores, basta substituirmos cada um deles na fórmula 
M = C × (1+i)n. 
M = 1.676,30×(1+0,16)10 
M = 1.676,30 ×(1,16)10 
M = 1.676,30 × (4,411435079) 
Logo, o total a ser pago pela fatura, em função do atraso, é de R$ 7.394,89. 
 
 
 
Tema 
Radiciação 
 
A operação inversa à potenciação é conhecida como radiciação. Por exemplo, 
a raiz quadrada de 16 é igual a 4 pois 42=16. Podemos representar a raiz 
quadrada de 16 como . Note que (-4)2 também é igual a 16, pois (-4) × (-4) 
= 16. Por isso, podemos ter como resultados da raiz quadrada de 16 os valores 
4 ou -4. Por convenção, iremos considerar como resultado de uma raiz de 
índice par o número positivo. 
Considerando = b ↔ bn = a, com a ≥ 0, onde “a” é o radicando, n é o índice 
e b é a raiz n-ésima de a, quando n é impar, temos uma única raiz real. Por 
exemplo, , pois 23=8. Observe que , pois (-2)3 = (-2)(-2)(-2) 
= -8. Quando o índice n de uma raiz é um número par, temos duas raízes reais, 
uma com o sinal positivo e outra com o sinal negativo. No entanto, não existeraiz real de um número negativo quando o índice for par. Por exemplo, não 
existe raiz real de , pois não há um número real que, elevado ao 
quadrado, resulte em 16. Problemas que envolvem raízes de índice par e 
radicando negativo podem ser resolvidos utilizando o conjunto dos números 
complexos. 
 
A radiciação é útil em muitos problemas reais. Por exemplo, na matemática 
financeira a raiz n-ésima é utilizada para calcular a taxa composta de juros. 
Podemos, também, utilizar uma raiz quadrada para determinarmos a medida 
do lado de uma sala quadrada sabendo qual é a sua área ou utilizarmos a raiz 
cúbica para determinarmos o valor de cada aresta de um cubo sabendo a 
medida do seu volume. 
Em situações mais avançadas também é possível utilizarmos raízes n-ésimas 
como, por exemplo, na computação gráfica e no processamento digital de 
sinais e de imagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da radiciação 
Para que possamos resolver problemas envolvendo radiciação, é importante 
conhecermos as propriedades dos radicais. Supondo que a e b são números 
reais, e m e n são números positivos e inteiros maiores do que 1, temos: 
 
Potência de expoente n de raiz n-ésima 
Se uma raiz de índice n está elevada a um expoente também igual a n, o 
resultado é o próprio radicando. 
 
Podemos exemplificar essa propriedade como segue: 
 
 
Raiz de raiz 
 
Para calcularmos a raiz n-ésima de outra raiz, basta multiplicarmos os índices 
das raízes. 
 
Por exemplo, 
 
 
Raiz n-ésima de um quociente 
 
Como exemplo, 
a) 
b) 
 
 
 
 
A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente das raízes de índice n. 
Raiz n-ésima de potência de expoente n 
Por exemplo: 
a) 
a) 
 
Raiz de uma potência 
 
O expoente do radicando pode ser escrito como expoente da raiz. 
 
Para exemplificarmos a propriedade, 
 
 
Raiz n-ésima de um produto 
 
A raiz de índice n de um produto pode ser resolvida como sendo o produto das 
raízes de índice n. 
 
Essa propriedade é muito importante quando pudermos simplificar expressões 
que estão sob o radical. Por exemplo, 
 
Potência de expoente fracionário 
 
Uma relação importante entre radicais e potências é que quando temos um 
expoente fracionário, podemos escrever essa potência, de forma equivalente, 
sob a forma de raiz, como segue: 
Ex.: 
Em particular, . Por exemplo, e 
 
 
 
 
CURIOSIDADE 
Uma relação importante entre radicais e potências é que, quando temos um 
expoente fracionário, podemos escrever essa potência, de forma equivalente 
sob a forma de raiz: Algumas calculadoras possuem a função 
potenciação, mas não possuem a função referente à raiz n-ésima. Nesse caso 
é possível calcularmos uma raiz de índice n utilizando a potenciação cujo 
expoente é . Em particular, . Por exemplo, . 
 
É muito comum utilizarmos raízes de índice n na matemática financeira, 
quando conhecemos o capital, o montante e o tempo e queremos encontrar a 
taxa de juros compostos que foi utilizada. A fórmula da taxa 
é considerando i como a taxa de juros, n como o tempo, M como o 
montante e C como o capital. 
Agora, imaginemos que uma pessoa estava devendo R$ 100,00 para o banco 
e que depois de 12 meses pagou R$ 313,84 para quitar essa dívida. Nessas 
condições, qual foi a taxa mensal de juros compostos, se: 
C = 100,00 
M = 313,84 
n = 12 meses 
i = ? 
 
Substituindo os dados na fórmula , temos: 
 
Para escrevermos essa taxa na forma de porcentagem, basta multiplicarmos o 
resultado por 100. Logo, chegaremos à taxa de 9,9999% ao mês ou, 
arredondando, de 10% ao mês. 
Vamos aplicar os conhecimentos vistos até agora? 
Usando as propriedades da Radiciação (ou potência fracionária), simplifique as 
expressões exponenciais. 
 
 
Clique no ícone para ver a resolução! 
 
a) 
Usa-se inicialmente a propriedade relativa a produto de potências de mesma base 
 para o numerador da expressão acima. Tem-se que somar os 
expoentes, ou seja, 2/3 e 3/4 e para isto emprega-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para 
o trabalho com frações. 
O mínimo múltiplo comum é obtido pelo produto de todos os números primos que ocorrerem 
na decomposição dos denominadores, tomados com a maior potência. Este valor pode ser 
facilmente obtido pela decomposição de cada um dos denominadores como produto de 
números primos. 
Assim tem-se o 𝑚𝑚𝑐 (3; 4) = 22. 3 = 4 . 3 = 12 
Agrupando-se as duas frações com denominadores diferentes, em uma única fração com o 
denominador sendo igual ao mínimo múltiplo comum (12) entre os denominadores iniciais (3 e 
4). Para reescrever a fração equivalente a inicial, divide-se o novo denominador (12) pelo 
denominador inicial de cada fração, e o resultado obtido é multiplicado pelo valor do 
numerador da fração. 
 
Tem-se a expressão reescrita como: 
𝑚 
Com a propriedade relativa a divisão de potências de mesma base tem-se: 
 
Novamente com o emprego do cálculo do m.m.c. para a subtração das frações que se 
apresentam no expoente, resulta: 
 
Por fim, o resultado será: 
 
 
 
b) 
 
Considerando as propriedades: (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 e (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 aplicadas ao numerador e ao 
denominador tem-se: 
 
Este resultado pode ser simplificado utilizando a propriedade obtendo: 
 
 
 
Agora, simplifique a expressão removendo fatores do radicando. 
a) 
 
b) 
 
resolução! 
 
a) 
Pode-se utilizar a propriedade de radiciação e aplicar a expressão para 
obter: 
 
 
O primeiro radical envolve um número irracional (√𝟐), portanto não é possível ser removido. 
O segundo radical apresenta possibilidade de remoção do fator, pois o expoente da potência 
interna é maior (e múltiplo) do índice da raiz. Pode-se escrever: 
 
Similarmente para o último radical, é possível fazer a remoção do fator no radicando. 
 
Tem-se então: 
 
 
 
 
b) 
Empregando a propriedade pode-se separar em 4 partes a expressão, e 
analisar cada uma separadamente. 
 
Em relação a 𝟑√𝟐𝟕 pode-se reescrever o radicando como sendo 3√33 que pode ser 
simplificado devido a potência interna ser a mesma do índice da raiz, resultando apenas 3 para 
este fator. 
Em relação a √𝒂 
𝟑 𝟒 pode-se tornar o radicando como de maneira que a primeiro 
expoente seja múltiplo (ou igual) ao índice da raiz e o outro expoente seja menor que o índice 
da raiz. Pode-se então aplicar outra vez a propriedade citada, e obter: 
 
 
Em relação a √𝒃 
𝟑 𝟔 observa-se que o expoente interno é múltiplo do índice da raiz e 
 
𝟑 𝟔 = 𝒃𝟐. facilmente 
ocorre simplificação, sendo √𝒃 
Em relação a -se o expoente interno maior que o índice da raiz que pode ser 
reescrito por de maneira que o primeiro expoente interno seja múltiplo do 
índice da raiz e o outro expoente seja menor que o índice da raiz, o que permite 
separar em duas raízes tal que: , resultando 
 
O resultado é composto por cada uma das análises feitas, de forma que: 
 
Organizando a apresentação do resultado tem-se: 
 
 
√ 𝑎 . 𝑏 
𝑛 
= √ 𝑎 
𝑛 
. √ 𝑏 
𝑛 
 
Nesta aula, vimos que a matemática está presente em diversas situações do 
nosso cotidiano e que a sua origem vem desde a pré-história. 
Aprendemos, ainda, quais são os conjuntos numéricos que serão utilizados na 
nossa disciplina e o que são intervalos numéricos. 
Aprendemos as propriedades dos números reais além da potenciação e da 
radiciação. 
Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temasestudados. Se necessário, retome os conteúdos abordados e refaça os 
exercícios propostos. Para que possamos avançar nos nossos estudos, é 
importante que os assuntos vistos até aqui estejam bem assimilados e que as 
possíveis dúvidas tenham sido esclarecidas. 
Até a próxima aula!