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Função Afim ou do 1o Grau 1 
 
 
 
 
 
 
Texto Complementar 3 
Como desenhar geometricamente os números 
de um movimento? 
Quando o homem percebeu que na natureza tudo se transforma e se move, a representação matemática do 
movimento se tornou um problema para ser resolvido pelos matemáticos. Enquanto alguns procuraram desenvolver 
a representação numérica e algébrica, outros buscaram a representação geométrica. Entre os últimos se destacaram 
o monge francês Oresme (1323 a 1382), René Descartes (1596 a 1650) e Pierre de Fermat (1601 a 1665). 
Concluíram que uma função linear ou polinomial do primeiro grau é a correspondência entre conjuntos 
numéricos. Com essas funções formam-se pares ordenados que atendem ao critério de pertencer a uma reta. 
Quando tomamos qualquer par (x,y), este pertence à reta: x é parte do eixo horizontal e y pertence ao eixo vertical. 
Com isto se estabelece a representação gráfica de um movimento muito simples, aquele que apresenta uma variação 
constante. Com as funções lineares, resolvem-se facilmente muitos problemas da Matemática e da Física, que 
podem ser visualizados graficamente. 
 
 
 
Veremos nesta Unidade: 
• Introdução 
• O que é uma função polinomial de grau 1? 
• A função constante – função polinomial de grau zero. 
• As funções polinomias de grau 1: Função linear, Função Identidade e Função Afim. 
Representação gráfica das funções. 
• Como se constrói o gráfico das funções. 
• Zeros ou raízes da função polinomial do primeiro grau 
• Atividades Complementares: 
 
 
 
 
 
 
Função Polinomial do 1º grau 
 
Observe, como exemplo, uma equação que muitos conhecem, a equação do perímetro de um retângulo: 
 
Perímetro = Soma das medidas de todos os lados 
 
 
l
 
 
Função Afim ou do 1o Grau 2 
 
 
 
 
 
 
Podemos dizer que o perímetro deste retângulo é igual a 2·l+2·8, porque a medida das laterais não irá se 
modificar (sempre será 8), o tamanho do perímetro irá depender apenas do tamanho da base (l). Então o 
perímetro é uma função do lado l. E por isso, l é a variável independente, e o perímetro dependente. 
Perímetro = 2·l+2·8 
 
Podemos escrever como p = 2·l + 16 ou y = 2x + 16 ou f(x) = 2x + 16 
 
Conceituando: 
 
As funções polinomiais do 1º grau são as funções do tipo f(x)= ax + b ou y = ax + b definida para os 
números a e b, reais, com a ≠ 0 e para todo x real. 
 
Exemplos: 
a) f(x)=3x-1 
b) f(x)=5x 
c) y= -3x+4 
d) y= 
4
6+x
 
⇒ a = 3 e b = -1 
⇒ a = 5 e b = 0 
⇒ a = -3 e b = 4 
⇒ a = 
4
1
 e b = 
4
6
 ou b = 
2
3
 
 
Em todos os exemplos, x é a variável independente, e y=f(x) é a variável dependente. 
 
 
A função constante e/ou função polinomial de grau zero: 
 
 
Se a = 0 e b , a função é expressa por y = b ou f(x) = b e recebe o nome de função polinomial de grau 
zero e/ou função constante. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x (fig 1). 
0≠
Note que: 
• A função constante tem como representação gráfica 
uma reta paralela ao eixo x, passando pelo eixo y no 
ponto (0,y1). 
• Na figura 1, constam os gráficos de 04 funções 
constantes: 
1. f(x) = 3 com a = 0 e b = 3 
2. f(x) = 2 com a = 0 e b = 2 
3. f(x) = -1 com a = 0 e b = -1 
4. f(x) = -(5/2) com a = 0 e b = -(5/2). 
• Alguns pares que fazem parte da função f(x) = 3, por 
exemplo: (-1,3), (0,3), (1,3), (2,3), ... 
• O Domínio = R 
• O conjunto imagem é formado somente pelo 
coeficiente b em cada função. 
Fig.1 
 
 
As funções polinomiais de Grau 1: 
 
• O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta. Seu gráfico é uma reta que corta 
(intercepta) o eixo x em um único ponto, representado pelo par (x1,0) e o eixo y no ponto (0,y1). 
Função Afim ou do 1o Grau 3 
 
• A função polinomial do 1o grau recebe o nome de: 
ƒ função linear quando f(x)= ax + b, com a 0 e b = 0. Seu gráfico é uma reta que passa pela origem 
do sistema. 
≠
Exemplos: f(x) = -x, com a = -1 e b = 0 (fig.2); 
f(x) = 2x com a = 2 e b = 0 (fig.3). 
ƒ função identidade quando f(x) = ax + b, com a =1 e b = 0. É a função f(x) = x ou y = x. Seu gráfico é 
uma reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes (fig.4). 
ƒ função afim quando f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b 0 (fig.5 e fig.6) ≠
Exemplos: f(x)= -x+3, com a = -1 e b = 3; 
f(x) = 2x-5 com a = 2 e b = -5. 
 
Representação gráfica das funções polinomiais de grau 1 
 
Gráfico da função linear 
 
 
 
 
Fig.2 Fig.3 
 
Note que: Nas figuras 2 e 3 temos a representação gráfica de funções lineares. 
Na fig 2 o coeficiente a é menor que zero (a<0) 
Na fig 3 o coeficiente a é maior que zero (a>0) 
ƒ Observe as diferenças de inclinação de reta → o ângulo que a reta forma com o eixo x. 
ƒ As retas passam pela origem do sistema representada pelo par (0,0). 
ƒ O campo do domínio está definido para todos os Reais. 
ƒ O conjunto imagem também é composto por todos os Reais. 
 
 
Gráfico da função identidade 
 
 
 
Observe que: 
ƒ Nesta função (fig.4) os pares ordenados tem 
valores iguais para x e y. 
ƒ A reta da função identidade intercepta o eixo x na 
origem do sistema (0,0) e divide os quadrantes 1º 
e 3º ao meio ou seja a reta é a bissetriz do 1º e 3º 
quadrantes. 
ƒ A função identidade é uma função linear pois b = 
0. 
ƒ Domínio = R 
ƒ C.Imagem = R. 
Fig. 4 
Função Afim ou do 1o Grau 4 
 
Gráfico da função afim 
 
 
 
 
 
 
Fig.5 Fig.6 
Note que: Nas figuras 5 e 6 temos a representação gráfica de funções afins. 
Na fig 5 o coeficiente a é menor que zero (a<0) 
Na fig 6 o coeficiente a é maior que zero (a>0) 
ƒ Observe as diferenças de inclinação de reta → o ângulo que a reta forma com o eixo x. 
ƒ Nas fig.2,3 e 4 as retas passam pela origem do sistema pois b = 0. O mesmo não acontece com as retas das 
fig.5 e 6 pois b ≠ 0. 
ƒ Domínio = R 
ƒ Conjunto Imagem = R. 
 
 
 
Construindo o gráfico de uma função polinomial do 1o grau. 
 
Vamos usar como exemplos, uma função polinomial do 1o grau completa (função afim) e uma função 
polinomial do 1o grau incompleta (função linear) para as construções gráficas. 
 
Exemplo 1: Seja a função do 1o grau f(x) = 2x – 2. Construa o seu gráfico. 
Para representar graficamente uma função devemos ter pontos (pares ordenados) em quantidade suficiente que 
permita esboçar o gráfico. Uma forma de localizar esses pares é construir uma tabela de valores e representá-los no 
plano cartesiano. Vejamos: 
 
Tabela de valores Representação gráfica da função afim f(x) = 2x – 2 
x y= 2x-2 Par ordenado 
-1 y= 2(-1)-2=-4 (-1,-4) 
0 y=2(0)-2=-2 (0, -2) 
1 y=2(1)-2=0 (1, 0) 
 
Domínio = R 
Conjunto Imagem = R 
 
 
Exemplo 2: Dada a função linear f(x) = 2x, construa seu gráfico. 
 
Tabela de valores Representação gráfica da função linear f(x) = 3x 
x y= 3x Par ordenado 
Função Afim ou do 1o Grau 5 
-2 y= 3.-2=-6 (-2,-6) 
-1 y= 3.-1=-3 (-1,-3) 
0 y= 3.0=0 (0,0) 
1 y= 3.1= 3 (1,3) 
2 y= 3.2= 6 (2,6) 
 
Domínio = R 
Conjunto Imagem = R 
 
18=b
 
 
 
Zeros ou raízes da função polinomial do primeiro grau 
 
Como já citamos, todas as funções polinomiais do 1º grau, têm como representação gráfica no plano 
cartesiano uma reta e passam (interceptam) o eixo dos x (ou das abscissas) e o eixo dos y (ou das 
ordenadas). 
No ponto de interseção da reta com o eixo dos x, o par ordenado é (x,0). 
No ponto de interseção da reta com o eixo dos y, o par ordenado é (0,y). 
Esses pares tem indicação especial naMatemática. 
ƒ O valor do x no par ordenado (x,0) representa o zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b. É o valor de 
x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0 ou y = 0. 
ƒ O valor de y no par ordenado (0,y) representa o coeficiente linear da função do 1º grau y = ax + b. É o 
valor de y que anula x na função, isto é, torna x = 0. 
 
Exemplo: Determinar a raiz da função f(x) = 2x – 1. 
x y 
-2 -5 
-1 -3 
0 -1 
2
1
 
0 
Domínio = R 
C. Imagem = R 
 
 
Atividades Complementares Resolvidas: 
 
1) Dada a função f(x) = ax + b, sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. 
Escrever a função f e calcular f(2). 
 
Resolução: Observe que: 
ƒ se x igual a 1 então y é igual a 4; 
ƒ se x igual a –2 y é igual a 10. Então substituindo x e y na função y = ax + b formamos um sistema de 
duas equações com incógnitas a e b. 
 


=+−
=+
102
4
ba
ba
 ⇒ multiplicando a primeira equação por 2 obtemos: 


=+−
=+
102
822
ba
ba
 
 ⇒ somando os termos iguais (2a+ (-2a) + 2b + b = 8 + 10 obtemos 3 . Se 3b = 18, então b = 6. 
Função Afim ou do 1o Grau 6 
Substituindo o valor de b na 1ª ou na 2ª equações temos a + b = 4 ⇒ a = 4 – 6 ⇒ a = -2 
 
Resposta: Se a = -2 e b = 6, então a função f(x) = ax+b é representada por f(x) = -2x +6 e f(2) = 2 
 
2) As funções abaixo são funções Afim, Linear, Constante ou Identidade? 
Função Real: Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
i) 
 
y = x – 2; 
f(x) = 3; 
f(x) = 6x; 
y= -1; 
y = 1 –3x; 
f(x) = x; 
f (x) =-x; 
y=-4x+3; 
y = x
3
1−
 
y é Afim pois é um polinômio completo de grau 1 com a=1 e b = -2; 
f(x) é Constante pois é um polinômio de grau 0 ou a=0 e b = 3; 
f(x) é Linear pois é um polinômio incompleto de grau 1 ou b=0 e a = 6; 
y é Constante pois é um polinômio de grau 0 ou a=0 e b = -1; 
y é Afim pois é um polinômio completo de grau 1 com a = -3 e b = 1; 
f(x) é Identidade pois é Linear com a=1 e b = 0; 
f(x) é Linear pois é um polinômio incompleto de grau 1 ou b=0 e a=-1; 
y é Afim pois é um polinômio completo de grau 1 com a = -4 e b = 3; 
 
y é Linear pois é um polinômio incompleto de grau 1 ou b=0 e a=-1/3. 
 
 
3) Em que ponto as retas das funções da atividade 2, interceptam o eixo dos y? 
Resposta: As retas interceptam o eixo dos y, nos pares ordenados cujo domínio é 0. Veja: 
a) (0,-2); b) (0,3); c) (0,0); d) (0,-1); e) (0,1); f) (0,0); g) (0,0); h) (0,3); i) (0,0). Note que estes pares tem uma 
característica especial: o valor do x sempre é zero e o valor do y é o coeficiente b da função. 
 
4) Sabemos que a função y = m x + n, admite 3 como raiz e f(1) = -8 calcule m e n. 
Resolução: De acordo com a definição, raiz da função polinomial do primeiro grau é o valor de x quando y 
for igual a zero. 
Então: Se x = 3, y = 0; substituindo na equação matemática dada acima temos: 0 = 3m + n. 
O problema também mostra que f(1) = -8, que significa quando x = 1, y = -8; substituindo na equação 
matemática dada acima temos: -8 = m + n. 
Temos então um sistema de equações com duas variáveis: 


−=+
=+
8
03
nm
nm
 ⇒ multiplicando a segunda equação por (-1) e somando os termos 
semelhantes temos que 2m = 8, então m = 4 . Substituindo o valor de m na primeira equação temos 12 + n = 


=−−
=+
8
03
nm
nm
0, então n = -12 
 
5) Vamos construir o gráfico da função y = 4 –2 x, determinando suas raízes: 
 
Resolvendo: A Raiz da função é o valor de x quando y for igual a zero. Então, igualando a zero a 
fórmula matemática obtemos 4 – 2x = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ Raíz x = 2 →
 
Construindo o gráfico da função: Como já sabemos, para construir gráficos de funções devemos 
atribuir valores para x e, substituir este valor na fórmula matemática y = f(x) que chamamos de 
função. 
a) y = 4 –2x ou f(x) = 4 –2x 
 
x Y 
-2 8 
-1 6 
0 4 
1 2 
2 0 
Função Afim ou do 1o Grau 7 
 
Domínio = R 
Conjunto Imagem = R 
 
Com base no modelo, faça você o gráfico das funções (b) y = 
2
x
 e (c) f(x) = x + 1. Se você sentir 
dificuldades, entre em contato com o seu tutor. 
 
6) Vamos trabalhar com a resolução de problemas! 
 
6.1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 
900,00 e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês 
. 
(a) Qual é a função que expressa o seu salário? 
Resposta: f(x) = 900 + 8% x 
(b) Qual o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em 
produtos? 
Resolvendo: 
f(x) = 900 + 8% x 
f(100.000) = 900 + 0,08 . 100,000 
f(100.000) = 8.900,00 
Assim, o seu salário será de R$ 8.900,00. 
 
6.2) O custo de um produto de uma indústria é dado por C (x) = R$ 250.00 + R$ 10,00 (x), sendo que x é o nº 
de unidade produzidas e C (x) o custo em reais. Qual é o custo de 1000 unidades desse produto? 
Resolvendo: C (x) = R$ 250,00 + R$10,00x 
C(x) = R$ 250,00 + R$10,00 · 1000 
 C(x) = R$ 10.250,00 
Assim, o custo de 1000 unidades é de R$ 10.250,00.