Distribuição de frequência sem intervalo de classes

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1
1/51
Ao final desta aula espera-se 
que você consiga representar 
as variáveis quantitativas 
discretas na forma tabular e 
gráfica. 
Distribuição de Freqüência sem agrupamento em 
classes, Histogramas e Polígonos de Freqüência 
Acumulada
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Joseane de 
Menezes Sternadt
2/85
O objetivo desta aula é construir 
tabelas resumindo dados de 
variáveis quantitativas e, em 
especial, as discretas . 
Ao agrupamento resultante desse 
processo dá-se o nome de 
distribuição de freqüência. 
O que você entende 
por freqüênciafreqüênciafreqüênciafreqüênciafreqüênciafreqüênciafreqüênciafreqüência ?
3/85
Vamos supor que 
tenhamos perguntado quantos 
filhos tinham os 40 funcionários 
de uma empresa.
4/85
Suponha as respostas abaixo:
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
5/85
Xi fi
0 11
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40
Xi – N. de filhos
fi - freqüência s. 
absoluta
Desejamos obter 
a distribuição do 
número de filhos.
Veja como fica 
mais fácil 
entender. 
6/85
Distribuição de freqüência é uma 
representação tabular onde na 
primeira coluna colocamos, em ordem 
crescente, apenas os valores distintos 
da variável e na segunda coluna
colocamos o número de vezes que este
valor figura (se repete) no conjunto de 
dados (freqüência simples absoluta). 
2
7/85
Passo 1
Agora que você já sabe o que é 
uma distribuição de freqüências, 
vamos aprender, detalhadamente, 
como construí-la.
Verificar entre os dados quais os 
valores distintos que ocorreram
e
ordená-los de forma crescente numa 
tabela.
8/85
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
9/85
Xi
0
1
2
3
4
Note que: 
denotamos por X
maiúsculo a variável; 
o índice i finalidade de 
referência. 
Deste modo, X3
representa o terceiro 
valor distinto da variável.
É comum colocarmos 
uma coluna antes, com 
os índices i, para facilitar 
as referências. 10/85
Contar o número de repetições
(ocorrências) de cada valor no 
conjunto de dados - freqüência 
simples absoluta, denotada por fi.
A freqüência simples absoluta
simplesmente conta a quantidade de 
vezes que o valor se repete no total. 
Ela é sempre um número inteiro!
Passo 2
11/85
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
Vamos contar o número de vezes que o 
número zero ocorreu! (11 vezes)
12/85
Xi fi
0 11
1
2
3
4
Total
Xi – N. de filhos
fi - freqüência s. 
absoluta
Onze 
funcionários não 
possuem filhos.
3
13/85
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
Vamos contar o número de vezes que o 
número UM ocorreu! (8 vezes)
14/85
Xi fi
0 11
1 8
2
3
4
Total
Xi – N. de filhos
fi - freqüência s. 
absoluta
Oito 
funcionários 
possuem UM 
filho cada.
15/85
Vamos contar o número de vezes que o 
número 2 ocorreu! (12 vezes)
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
16/85
Xi fi
0 11
1 8
2 12
3
4
Total
Xi – N. de filhos
fi - freqüência s. 
absoluta
Doze 
funcionários 
possuem DOIS 
filhos cada.
17/85
A soma da 
freqüência simples 
absoluta deverá 
ser sempre igual 
ao número de 
observações. 
Distribuição de freqüênciaDistribuição de freqüência do 
número de filhos dos 
funcionários da empresa.
fi
Xi fi
0 11
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40 18/85
Tipos de freqüência:Tipos de freqüência:
Sabemos que 11 pessoas, dentre as 40, 
não possuem filhos. Se desejássemos 
saber, em termos relativos (em relação 
ao total de 40 funcionários), quantas 
pessoas não possuem filhos, teríamos 
que fazer uma regra de três 
considerando que o total, no caso, 40 
elementos, equivale a 100%. 
Estaríamos então calculando a 
freqüência simples relativa (fri ou fr%).
fr%
4
19/85
x11
100%40
%Pessoas
%100.11.40 =x
Xi fi fr%
0 11 x
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40 100%
x = 27,5%
20/85
Xi fi fr%
0 11 27,5
1 8 x
2 12
3 5
4 4
Total 40 100%
x8
100%40
%Pessoas
%100.8.40 =x
x = 20,0%
E assim sucessivamente ...
21/85
i Xi fi fr%
1 0 11 27,5
2 1 8 20,0
3 2 12 30,0
4 3 5 12,5
5 4 4 10,0
Total 40 100%
n
fi.100%fr% =
fr%
22/85
Existe uma freqüência chamada 
freqüência acumulada absoluta 
(abaixo de), denotada por fac. 
Vamos agora supor que 
desejamos saber a quantidade 
de pessoas que possuem 2 ou 
menos filhos, 3 ou menos
filhos, e assim sucessivamente.
23/85
faci Xi fi fac
1 0 11
2 1 8
3 2 12
4 3 5
5 4 4
- Total 40 -
24/85
i Xi fi fac
1 0 11 11
2 1 8
3 2 12
4 3 5
5 4 4
- Total 40 -
5
25/85
i Xi fi fac
1 0 11 11
2 1 8 11+8=19
3 2 12
4 3 5
5 4 4
- Total 40 -
26/85
i Xi fi fac
1 0 11 11
2 1 8 11+8=19
3 2 12 11+8+12=31 ou 
19+12 = 31
4 3 5
5 4 4
- Total 40 -
27/85
i Xi fi fac
1 0 11 11
2 1 8 11+8=19
3 2 12 11+8+12=31 ou 
19+12 = 31
4 3 5 11+8+12+5=36 ou 
31+5 =36
5 4 4 11+8+12+5+4=40 
ou 36+4 =40
- Total 40 -
28/85
Muitas vezes desejamos 
conhecer o valor relativo da 
freqüência acumulada. 
Esse valor é chamado freqüência 
acumulada relativa (abaixo de), 
denotada por fac%.
n
fac.100%fac% =
fac%
29/85
i Xi fac fac%
1 0 11 X
2 1 19
3 2 31
4 3 36
5 4 40 100%
- Total - -
x11
100%40
%Pessoas
%100.11.40 =x
x = 27,5% 30/85
i Xi fac fac%
1 0 11 27,5
2 1 19 x
3 2 31
4 3 36
5 4 40 100%
- Total - -
x = 47,5%
x
Pessoas
19
%10040
%
%100.19.40 =x
6
31/85
i Xi fac fac%
1 0 11 27,5
2 1 19 47,5
3 2 31 X
4 3 36
5 4 40 100%
- Total - -
x = 77,5%
x
Pessoas
31
%10040
%
%100.31.40 =x
E assim 
sucessivamente ... 32/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 11 27,5 11 27,5
2 1 8 20,0 19 47,5
3 2 12 30,0 31 77,5
4 3 5 12,5 36 90,0
5 4 4 10,0 40 100,0
- Total 40 - -
33/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 11 27,5 11 27,5
2 1 8 20,0 19 47,5
3 2 12 30,0 31 77,5
4 3 5 12,5 36 90,0
5 4 4 10,0 40 100,0
- Total 40 100,0 - -
Estes valores são SEMPRE iguais! 34/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 11 27,5 11 27,5
2 1 8 20,0 19 47,5
3 2 12 30,0 31 77,5
4 3 5 12,5 36 90,0
5 44 10,0 40 100,0
- Total 40 - -
Vamos interpretar os valores da 
terceira classe!!!
35/51
Representação Gráfica de Distribuições 
de Freqüências
O Histograma é um conjunto de 
colunas onde, no eixo dos X, estão 
representados os valores das variáveis e 
a altura das colunas ou hastes é 
proporcional à freqüência correspondente 
de cada valor da variável. 
Um histograma pode 
representar a freqüência 
simples absoluta ou a 
relativa. 36/51
Histograma do Número de Filhos dos 
Funcionários
8
4
11
5
12
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4
Filhos
Fu
n
ci
o
n
ár
io
s
Xi fi
0 11
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40
7
37/51
Histograma do Número de Filhos dos 
Funcionários
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
35,0%
0 1 2 3 4
Filhos
Fu
n
ci
o
n
ár
io
s
X,0
Xi fri
0 27,5%
1 20,0%
2 30,0%
3 12,5%
4 10,0%
Total 100,0%
38/51
O Polígono de Freqüência 
Acumulada é construído da mesma 
forma que o histograma. A única 
diferença é que ele representa as 
freqüências acumuladas do fenômeno. De 
modo similar, podemos representar a 
freqüência acumulada absoluta ou a 
relativa. 
Um polígono de freqüências 
acumuladas pode representar 
a freqüência ACUMULADA
absoluta ou a relativa. 
39/51
Polígono de Freqüência Acumulada do 
Número de Filhos dos Funcionários
19
31 36
11
40
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4
Filhos
Fu
n
ci
o
n
ár
io
s
Xi fac
0 11
1 19
2 31
3 36
4 40
40/51
Polígono de Freqüência Acumulada do 
Número de Filhos dos Funcionários
47,5%
100,0%
27,5%
90,0%
77,5%
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
120,0%
0 1 2 3 4
Filhos
Fu
n
ci
o
n
ár
io
s
X,0
Xi facri
0 27,5%
1 47,5%
2 77,5%
3 90,0%
4 100,0%
41/85
ExemploExemplo
Considere uma 
empresa fabricante 
de cerâmica, onde 
podemos contar o 
número de defeitos 
em cada azulejo em 
uma amostra de 50 
unidades. 
42/85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 4 7
8
43/85
Verificar entre os dados quais os valores 
distintos que (ocorreram)
e
ordená-los de forma 
crescente numa tabela.
Passo 1
Agora que você já sabe construir 
uma distribuição de freqüências, 
vamos elaborar uma para o Exemplo 1.
44/85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 4 7
45/85
Número de 
defeitos
Xi
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
Note que: 
denotamos por X
maiúsculo a variável; 
o índice i finalidade de 
referência.
Observe que 
nenhum azulejo da 
amostra apresentou 
5 nem 6 defeitos.
46/85
Contar o número de repetições
(ocorrências) de cada valor no 
conjunto de dados - freqüência 
simples absoluta, denotada por fi.
A freqüência simples absoluta
simplesmente conta a quantidade de 
vezes que o valor se repete no total. 
Ela é sempre um número inteiro!
Passo 2
47/85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 4 7
Vamos contar o número de vezes que o 
número zero ocorreu! (13 vezes)
48/85
Número 
de 
defeitos
Freqüência 
Absoluta
0 13
1
2
3
4
5
6
7
Total 50
Xi – N. de 
Defeitos
fi -
freqüência s. 
absoluta 
(azulejos)
Treze azulejos 
não 
apresentaram 
defeitos.
9
49/85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 4 7
Vamos contar o número de vezes que o 
número UM ocorreu! (15 vezes)
50/85
Número 
de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
0 13
1 15
2
3
4
5
6
7
Total 50
Xi – N. de 
Defeitos
fi -
freqüência s. 
absoluta 
(azulejos)
Quinze azulejos 
apresentaram 
UM defeito.
51/85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 4 7
Observe que nenhum azulejo da 
amostra apresentou 5 nem 6 defeitos.
52/85
Número 
de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
0 13
1 15
2 12
3 7
4 2
5 0
6 0
7
Total 50
Xi – N. de 
Defeitos
fi -
freqüência s. 
absoluta 
(azulejos)
Nenhum 
azulejo 
apresentou 5 
nem 6 defeitos.
53/85
Número de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
0 13
1 15
2 12
3 7
4 2
5 0
6 0
7 1
Total 50
A soma da 
freqüência 
simples absoluta 
deverá ser 
sempre igual ao 
número de 
observações. 
fi
54/85
fr%50 azulejos foram inspecionados.
Se desejássemos saber, em termos 
relativos (em relação ao total de 50 
azulejos), teríamos que fazer uma regra 
de três considerando que o total, no 
caso, 50 elementos, equivale a 100%. 
Estaríamos então calculando a 
freqüência simples relativa (fri ou fr%).
n
fi.100%fr% =
10
55/85
Número de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
Freqüência 
Relativa 
(%)
0 13 X
1 15
2 12
3 7
4 2
5 0
6 0
7 1
Total 50 100,0
x = 26,0%
x13
100%50
%Azulejos
13.100%50.x =
56/85
Número de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
Freqüência 
Relativa 
(%)
0 13 26,0
1 15 X
2 12
3 7
4 2
5 0
6 0
7 1
Total 50 100,0
x = 30,0%
x15
100%50
%Azulejos
15.100%50.x =
57/85
Número de 
defeitos
Freqüência
Absoluta
Freqüência 
Relativa 
(%)
0 13 26,0
1 15 30,0
2 12 24,0
3 7 14,0
4 2 4,0
5 0 0,0
6 0 0,0
7 1 2,0
Total 50 100,0 58/85
Freqüência acumulada absoluta.
Número de 
defeitos
fi fr(%) fac
0 13 26,0
1 15 30,0
2 12 24,0
3 7 14,0
4 2 4,0
5 0 0,0
6 0 0,0
7 1 2,0
Total 50 100,0
59/85
Freqüência acumulada absoluta.
Número de 
defeitos
fi fr(%) fac
0 13 26,0 13
1 15 30,0 28
2 12 24,0 40
3 7 14,0 47
4 2 4,0 49
5 0 0,0 49
6 0 0,0 49
7 1 2,0 50
Total 50 100,0
fac
60/85
Se desejamos conhecer o valor 
relativo da freqüência 
acumulada calculamos a 
freqüência acumulada relativa
(abaixo de), denotada por fac%.
n
fac.100%fac% =
fac%
50
fac.100%fac% =Neste exemplo
11
61/85
Freqüência acumulada relativa.
Número de 
defeitos
fi fr(%) fac fac%
0 13 26,0 13 26,0
1 15 30,0 28 56,0
2 12 24,0 40 80,0
3 7 14,0 47 94,0
4 2 4,0 49 98,0
5 0 0,0 49 98,0
6 0 0,0 49 98,0
7 1 2,0 50 100,0
Total 50 100,0 - - 62/85
Número de 
defeitos
fi fr(%) fac fac%
0 13 26,0 13 26,0
1 15 30,0 28 56,0
2 12 24,0 40 80,0
3 7 14,0 47 94,0
4 2 4,0 49 98,0
5 0 0,0 49 98,0
6 0 0,0 49 98,0
7 1 2,0 50 100,0
Total 50 100,0 - -
Estes valores são SEMPRE iguais!
63/85
Número de 
defeitos
fi fr(%) fac fac%
0 13 26,0 13 26,0
1 15 30,0 28 56,0
2 12 24,0 40 80,0
3 7 14,0 47 94,0
4 2 4,0 49 98,0
5 0 0,0 49 98,0
6 0 0,0 49 98,0
7 1 2,0 50 100,0
Total 50 100,0 - -
Vamos interpretar os valores marcados.
64/85
Complete a distribuição de 
freqüências a seguir.
Dica: use a informação da linha 
para descobrir a freqüência simples 
absoluta da linha porque todas as 
demais freqüências são 
conseqüências dela.
Exercício:Exercício:EXTRA!!!
65/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 27%
3 2 38
4 3 90%
5 4 1
6 5 1
7 7 4%
8 8 48
48
Observar que n = 48 = 100% 66/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 f2 = ? 27%
f1= 18
conhecida
n = 48 = 100%
48________100%
f2 _________27%
48.27 = f2.100
f2=13
12
67/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 13 27%
3 2 f3 38
18 + 13 + f3 = 38
f3 = 7
68/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 13 27%
3 2 7 38
4 3 f4 fac4 90%
48________100%
fac4 _________90%
48.90 = fac4 .100
fac4=43
18+13+7+ f4 = 43
f4 = 5
69/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 13 27%
3 2 7 38
4 3 5 43 90%
5 4 1
6 5 1
Dados:
f5 = 1
f6 = 1
70/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 13 27%
3 2 738
4 3 5 43 90%
5 4 1
6 5 1
7 7 f7 4%
48 . 4 = f7.100
f7=2
48______100%
f7 _______4%
71/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18
2 1 13 27%
3 2 7 38
4 3 5 43 90%
5 4 1
6 5 1
7 7 2 4%
8 8 f8 48
18+13+7+5+1+1+2 +f8 = 48 
f8 = 1 72/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
Calculando as freq. restantes:
13
73/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
Exercício:Exercício:EXTRA!!!
Vamos supor que 
esta tabela indique o 
número de fatias de 
pizza comidas por 48 
amigos num 
encontro.
74/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
Vamos interpretar alguns valores:
75/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
Qual o total de fatias de pizza 
comidas?
76/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
Vamos fazer um breve cálculo. 
77/85
i Xi fi fr% fac fac%
1 0 18 38% 18 38%
2 1 13 27% 31 65%
3 2 7 15% 38 79%
4 3 5 10% 43 90%
5 4 1 2% 44 92%
6 5 1 2% 45 94%
7 7 2 4% 47 98%
8 8 1 2% 48 100%
18 . 0= 0 fatias
13 . 1= 13 fatias
7 . 2= 14 fatias
5 . 3= 15 fatias
1 . 4= 4 fatias
1 . 5= 5 fatias
2 . 7= 14 fatias
1 . 8= 8 fatias
Total 
73 78/85
Exercício:Exercício:EXTRA!!!
Para a Distribuição de freqüência 
do número de filhos dos 40 
funcionários da empresa, se a 
empresa fosse dar um Dicionário
de presente para cada filho, 
quantos dicionários deveria 
comprar? 
14
79/85
i Xi fi fr%
1 0 11 27,5
2 1 8 20,0
3 2 12 30,0
4 3 5 12,5
5 4 4 10,0
- Total 40
Calculando... 
80/85
i Xi fi fr%
1 0 11 27,5
2 1 8 20,0
3 2 12 30,0
4 3 5 12,5
5 4 4 10,0
- Total 40
11 . 0 = 0 dic.
8 . 1 = 8 dic.
12 . 2 = 24 dic.
5 . 3 = 15 dic.
4 . 4 = 16 dic.
Total 
63
81/85