Métodos de Integração

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG 
Campus de Sumé 
Unidade Acadêmica de Tecnologia do Desenvolvimento - UATEC 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professora: Tatiana Simões 
 
Aluno(a):____________________________________________________________________ 
 
MÉTODO DE INTEGRAÇÃO: FRAÇÕES PARCIAIS 
 Uma função racional é uma função 
( )
( ) ,
( )
f x
q x
g x

onde f (x) e g (x) são polinômios. Para que possamos garantir 
a possibilidade de fatorar um polinômio em fatores lineares e/ou quadráticos será usado um importante resultado da 
álgebra. 
TEOREMA: Todo polinômio com coeficientes reais pode ser decomposto em um produto de fatores lineares e/ou 
quadráticos, onde cada um deles tem coeficientes reais. 
Exemplo: Considere a função 
2
2
( ) ,
1
q x
x


 é fácil ver que: 
2
 
 
1 1 2
( 1) ( 1) 1
Decomposição em
frações parciais
x x x

 
  
 
Assim se quisermos integrar a função q(x), teremos: 
2
2 1 1
1 ( 1) ( 1)
dx dx dx
x x x

  
    
 
 Porém não existe um algoritmo de como fazer esta decomposição, e aí, reside a dificuldade deste método. 
DIRETRIZES PARA A DECOMPOSIÇÃO DE 
( )
( )
f x
g x
 EM FRAÇÕES PARCIAIS 
1. Se o grau de f (x) não é inferior ao grau de g (x), use a divisão para chegar à forma adequada. (D – dividendo, d – 
divisor, r – resto e q – quociente) 
D r
q
d d
 
 
2. Expresse g (x) como o produto de fatores lineares 
ax b
 ou fatores quadráticos irredutíveis da forma 
2ax bx c 
, e 
agrupe os fatores repetidos de modo que g (x) seja o produto de fatores diferentes da forma 
2( ) ou ( )n nax b ax bx c  
, 
n inteiro não negativo. 
3. Teremos duas regras: 
Regra 1 – Para cada fator 
( )nax b
 com 
1n 
, a decomposição 
em frações parciais contém uma soma de n frações da forma: 
1 2
2
...
( ) ( )
n
n
AA A
ax b ax b ax b
  
  
 
Onde 
KA
 é um nº real. 
 
Regra 2 – Para cada fator 
2( )nax bx c 
 com 
1n 
 e com 
2ax bx c 
 irredutível, a decomposição em frações parciais 
da forma: 
1 1 2 2
2 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
n n
n
A x BA x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
 
  
     
 
Com 
,K KA B 
.