aula02 - Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais com 1 GDL através da Mecânica de Newtoniana

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Modelagem de Sistemas 
Mecânicos Translacionais 
através da Mecânica de 
Newtoniana 
PROFº SÉRGIO LUIZ 
sergioluiz.pesquisa@gmail.com 
O B J E T I V O S 
 Nesta aula, iremos 
aprender a modelar sistemas 
mecânicos translacionais 
através da Mecânica 
Newtoniana. 
Sistemas Mecânicos Translacionais 
Um sistema mecânico é composto 
por massas, molas e amortecedores, 
conectados entre si, ou a uma estrutura fixa. 
 
 O sistema mecânico 
mais simples, com 
apenas um grau de 
liberdade, também 
denominado sistema 
padrão, é composto de 
apenas uma massa, uma 
mola e um amortecedor. 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
COM 1 G.D.L 
• Armazenam energia potencial elástica, associada à 
deformação elástica que o corpo sofre, opondo-se à força 
que está aplicada sobre a mesma; 
 
• Peça que possui alta flexibilidade elástica; 
Elementos mecânicos ideiais 
M O L A S 
Elementos mecânicos ideiais 
M O L A S 
 CÁLCULO DA RIGIDEZ (FLEXIBILIDADE) 
 O cálculo da rigidez de uma mola pode ser feito experimentalmente ou 
teoricamente. Teoricamente, podemos calcular a rigidez através da aplicação de 
conhecimentos de Resistência dos Materiais. Experimentalmente, podemos aplicar 
sobre a mola cargas conhecidas e medir os deslocamentos correspondentes. 
Elementos mecânicos ideiais 
M O L A S 
Elementos mecânicos ideiais 
M A S S A 
A massa de um corpo, é a quantidade de 
matéria deste corpo, a qual trataremos como constante. 
Fisicamente, a massa de um corpo é responsável pela 
inércia do mesmo, isto é, a resistência à mudança de 
movimento de um corpo; 
MODELOS MATEMÁTICOS 
COMO DETERMINAR ? 
 MECÂNICA LAGRANGEANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MECÂNICA NEWTONIANA 
AS LEIS DE NEWTON 
RELEMBRANDO... 
Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural - “Principia” - 1687 
Sir Isaac Newton 
(1642-1727) 
 A natureza e as leis da natureza jaziam escondidas na noite; Deus 
disse: Haja Newton! E fez-se luz. –Alexander Pope 
1ª LEI DE NEWTON 
Princípio da Inércia 
 “Todo corpo continua em seu estado 
de repouso ou de movimento uniforme em uma 
linha reta, a menos que seja forçado a mudar 
aquele estado por forças aplicadas sobre ele.” 
 
 
 
 
 
 
1ª LEI DE NEWTON 
Princípio da Inércia 
 A falha em um dos sistemas de freio 
fez com que a inércia do trem 
prevalecesse. 
REPRODUÇÃO DO ACIDENDO EM CANELA - RS 
13 
Parque temática chamado Mundo a Vapor . No parque existem 
máquinas a vapor em tamanho real e em miniatura. 
2ª LEI DE NEWTON 
Princípio fundamental da dinâmica 
“A mudança de movimento é 
proporcional à força motora imprimida, e é 
produzida na direção de linha reta na qual aquela 
força é imprimida.” 
 
 
 
 
 
 
 
 Notação que será utilizada 
 neste curso. 
 
 
 
 
3ª LEI DE NEWTON 
Ação e reação 
“A toda ação há sempre uma 
reação oposta e de igual intensidade: ou as 
ações mútuas de dois corpos um sobre o outro 
são sempre iguais e dirigidas em sentidos 
opostos” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
Considere o sistema massa-mola 
abaixo oscilando na horizontal sobre uma 
superfície sem atrito. A massa da mola é 
desprezível. Como determinar um modelo 
matemático para o sistema abaixo? 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
1º PASSO: 
 
Diagrama 
de corpo 
livre 
m 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
2º PASSO: 
 
Aplicar a 
2ª Lei de 
Newton 
m 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
3º PASSO: 
 
Determinar 
a solução 
Considere as condições de contorno 
Solução para a E.D. 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
4º PASSO: 
 
Simulação 
Simulando no Scilab (Xcos) 
FREQUÊNCIA 
NATURAL 
 Se, após uma perturbação inicial, um sistema 
continuar a vibrar por si só sem a ação de forças externas, 
a frequência com que ele oscila é conhecida como sua 
FREQUÊNCIA NATURAL. 
 
 Um sistema com n graus de liberdade tem n 
frequências naturais distintas. 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
E se este mesmo sistema 
fosse rotacionado 90º? Ficando como 
mostrado ao lado. 
 
 
 
O modelo matemático 
é o mesmo? 
 
 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
1º PASSO: 
 
Diagrama 
de corpo 
livre 
m 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
2º PASSO: 
 
Aplicar a 
2ª Lei de 
Newton 
m 
ATENÇÃO 
 
Em sistemas na 
vertical, a resolução 
do problema se 
inicia analisando a 
SITUAÇÃO ESTÁTICA 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
2º PASSO: 
 
Aplicar a 
2ª Lei de 
Newton 
CASO ESTÁTICO 
m 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
2º PASSO: 
 
Aplicar a 
2ª Lei de 
Newton 
CASO ESTÁTICO 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA 
2º PASSO: 
 
Aplicar a 
2ª Lei de 
Newton 
CASO DINÂMICO 
C U I D A D O 
 Mesmo tendo diagrama de 
forças diferentes, eles possuem 
a mesma equação diferencial. 
 
E NA PRÁTICA ? 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
 Quando associamos molas, por 
exemplo, duas molas, podemos substituí-las por uma 
única, que produza o mesmo efeito e que chamamos 
de mola equivalente de constante elástica keq. 
MOLAS EQIVALENTES 
RESUMINDO... 
 
→ Uma única mola que equivale a várias 
molas. Esta mola deve possuir: 
•a mesma força resultante das N molas no ponto ou massa de interesse; 
•a mesma energia potencial elástica correspondente as N molas. 
 
→ A principal vantagem é simplificar a 
representação do sistema. 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
ESTUREMOS AS SEGUINTES 
 
 
• Molas associadas em série; 
 
• Molas associadas em paralelo; 
 
• Molas associadas inclinadas; 
 
• Molas associadas com polias; 
MOLAS EM SÉRIE 
Imagem retirada de: RAO, 
Singiresu S; MARQUES , Arlete 
Simille; LIMA JUNIOR, José 
Juliano de. Vibrações 
mecânicas. 4. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice-Hall, 2008. 
424 p. ISBN: 9788576052005. 
 
MOLAS EM SÉRIE 
EXEMPLO 01 
 Um tambor de içamento equipado com um 
cabo de aço é montado na extremidade de uma viga 
em balanço, como mostrado ao lado. A viga em 
balanço pode ser substituída por uma mola na vertical 
de constante kv, e o cabo possui características 
elásticas (kc). 
Determine a 
 Constante elástica 
 equivalente na 
 vertical. 
 
MOLAS EM PARALELO 
MOLAS EM PARALELO 
EXEMPLO 02 
 Determine a rigidez equivalente 
do sistema abaixo. Considere que os 
deslocamentos das molas que estão em 
paralelas sejam aproximadamente iguais. 
EXEMPLO 02: Solução 
EXEMPLO 02: Solução 
Outra forma de solucionar o 
EXEMPLO 02 
• Uma outra forma é usar a energia do sistema das duas molas que é 
igual a da equivalente. 
 
MOLAS INCLINADAS 
• A massa só se move na 
horizontal; 
 
• Pequenas oscilações; 
 
• O ângulo α ≈ constante 
quando x é pequeno. 
 
MOLAS INCLINADAS 
EXEMPLO 03 
 A lança AB de um guindaste é feito 
de uma barra de aço uniforme e possui 
uma rigidez k1. Um peso W é suspenso 
pelo cabo CDBEF, que é feito de 
aço (k2), enquanto o guindaste 
permanece estacionário.Determine a constante 
elástica equivalente do 
sistema na direção 
vertical. 
O QUE É UMA POLIA? 
 É uma peça mecânica muito comum a 
diversas máquinas, utilizada para transferir força e 
movimento. 
MOLAS + POLIAS 
MOLAS + POLIAS 
 Polias associadas com cabos ou 
correntes são bastante utilizadas para 
facilitar o içamento de cargas. 
EXEMPLO 04 
 Determinar 
O sistema massa-mola 
Equivalente. 
EXEMPLO 05 
 
a) Determine o sistema massa-mola 
equivalente do sistema ao lado; 
 
b) Determine a equação do 
movimento do sistema massa-mola 
equivalente e sua frequência natural 
de vibração. 
 
MODELAGEM 
DE UM SISTEMA 
MASSA-MOLA-AMORTECEDOR 
COM 1 G.D.L 
 Nesta secção, iremos 
modelar um sistema mecânico 
translacional com 1 GDL 
amortecido viscosamente. 
AMORTECEDORES 
Os amortecedores são elementos 
responsáveis pela dissipação de energia mecânica 
de um sistema. 
 
 
 
 
 A força de amortecimento (força não conservativa) dissipa a energia 
mecânica (calor, som, etc) e sempre se opõe ao movimento. 
Tipos de amortecimentos 
• VISCOSO; 
 
 
• COULOMB (ou por atrito seco); 
 
• MATERIAL 
(ou sólido ou 
por histerese); 
AMORTECIMENTO COULOMB 
 Ocorre pelo atrito entre superfícies em 
contato que estejam secas ou não contenham 
lubrificação suficiente. 
 
 
 
 
 
AMORTECIMENTO VISCOSO 
 Ocorre quando sistemas físicos 
movimentam-se em um meio fluido como ar, gás, 
água e óleo, a resistência oferecida pelo fluido é 
capaz de dissipar energia. 
 
Alguns Exemplos: 
1. Película de fluido entre 
superfícies deslizantes; 
 2. Fluxo de fluido ao redor de um 
 pistão dentro de uma cilindro; 
 
 
AMORTECIMENTO VISCOSO 
 A força de amortecimento é diretamente 
proporcional a velocidade do corpo que está em 
movimento. 
 
 
 
• Onde 
 
 b é o coeficiente de amortecimento 
viscoso; 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR 
Considere o sistema massa-mola-
amortecedor abaixo oscilando na horizontal 
sobre uma superfície sem atrito. As massas da 
mola e do amortecedor são desprezíveis. 
Determine um modelo matemático para o 
sistema abaixo. 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR 
 Como vimos anteriormente, 
a força de amortecimento viscoso é 
diretamente proporcional a velocidade. 
 
 
 
 
 Aplicando a 2ª Lei de Newton, 
 
 
 
 
 
 Temos então o modelo matemático 
 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR 
MODELAGEM DE UM 
SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR 
MAIS ALGUNS PARÂMETROS 
IMPORTANTES 
 
 
período de vibração amortecida 
EXEMPLO 06 
 Para o sistema massa-
mola-amortecedor mostrado ao 
lado, x é medido a partir da 
posição de equilíbrio estático. 
Despreze o atrito entre o solo e o 
bloco. 
a) Determinar as equações que governam de movimento; 
 
b) Se k = 2 N/m e m = 3 kg, determine o valor do coeficiente de amortecimento b 
corresponde ao amortecimento crítico? 
 
c) Determine o modelo matemático, considerando que exista atrito seco entre o 
solo e o bloco com coeficiente de atrito dinâmico igual q 
 
 
 
 
SISTEMAS COM 
VIBRAÇÃO FORÇADA 
EXEMPLO 07 
 O martelo de forjar consiste em um suporte, um 
martelo de queda conhecido como pilão, uma bigorna e um bloco 
de base como a figura abaixo. Considere as propriedades 
elásticas e de amortecimento do solo e determine o modelo 
matemático do sistema, sabendo que o martelo está ligado a 
uma fonte senoidal de frequência w. 
PARA DIVERTIR-SE EM CASA 
Limpeza por jato de areia é um processo no qual um material 
abrasivo, contido em um jato, é dirigido à superfície de uma peça 
fundida para limpá-la. 
Em uma determinada instalação de limpeza 
por jato de areia, uma peça fundida de massa 
m é colocada sobre um suporte flexível de 
rigidez k como mostra a figura (a). Se a força 
exercida sobre a peça fundida resultante da 
operação de limpeza com jato de areia variar 
como mostra a figura (b), determine o modelo 
matemático do sistema. 
D Ú V I D A S ? 
sergioluiz@ect.ufrn.br