Tema 4 - Matemática Avançada

Prévia do material em texto

26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 1/11
Você acertou 10 de 10 questões
Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício
quantas vezes quiser.
Verificar Desempenho
A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir muitas
informações acerca do comportamento desta função. A respeito de uma função
 analise as asserções a seguir:
।. A derivada da função é da por , sendo eu se , a função 
 é dita como crescente dentro de seu intervalo.
PORQUE
II. A concavidade da função será volta para cima se sua segunda deriva
respeitar a condição: .
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta
razão entre elas.
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
dy
dx
 0
d2y
dx2
A asserção I está correta e a asserção II é uma justificativa da asserção I.
A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma
justificativa da asserção I.
A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.
A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.
Ambas as asserções estão incorretas.
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 2/11
A
B
C
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
I�Incorreta: A função é crescente se sua derivada for maior que zero:
II � Correta: A concavidade é positiva, isto é, voltada para cima atender a
condição .
y = f(x)
> 0
dy
dx
> 0
d2y
dx2
2 Marcar para revisão
Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma
expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido.
= ⋅ .dR
dt
1
4πR2
dV
dt
= 4πR2 ⋅ .dR
dt
dV
dt
= ⋅ .dR
dt
1
4πR3
dV
dt
= ⋅ .dR
dt
4π
R2
dV
dt
= ⋅ .dR
dt
1
πR2
dV
dt
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 3/11
A
B
C
D
E
=?
= C
= ⋅
= ⋅ = π ⋅ ⋅ = π ⋅ 3R2 ⋅ = 4πR2
= ⋅
dR
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dR
dR
dt
dV
dt
d( πR3)4
3
dR
dR
dt
4
3
dR3
dt
dR
dt
4
3
dR
dt
dR
dt
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
3 Marcar para revisão
Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes
e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta normal a
 e a origem.y = x√9 + x2
y = x.1
3
y = 2x.
y = 9x.
y = 3x.
y = x.2
3
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 4/11
A
B
C
D
E
Aplicando o ponto �0,0��
Equação da reta:
y = x√9 + x2
v = x;u = 9 + x2
= u + x ⋅ ⋅
= (9 + x2) + x ⋅ ⋅ (9 + x2)
−
⋅ 2x
= (9 + x2) + = m
dy
dx
dx
dx
1
2
d(u )
1
2
du
d (9 + x2)
dx
dy
dx
1
2
1
2
1
2
dy
dx
1
2
x
(9 + x2)
1
2
m = (9 + x2) + = (9 + 02) + = √9 = 3
1
2 x
(9+x2)
1
2
1
2 0
(9+02)
1
2
y− y0 = m (x− x0)
y− 0 = 3(x− 0)
y = 3x
4 Marcar para revisão
A capacitância equivalente de um circuito �C ) é calculada através da fórmula 
 , com todas as capacitâncias medidas em . As capacitâncias C
e C têm seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 . A variância C decresce
com uma taxa de 0,1 . Determine a variação da capacitância equivalente com o
tempo em segundo para um instante que C = C = 10  e C = 15  .
0
C0 = C1 +
C2C3
C2+C3
μF 1
2 μF/s 3
μF/s
1 2 μF 3 μF
0, 10μF/s
0, 11μF/s
0, 12μF/s
0, 13μF/s
0, 15μF/s
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 5/11
A
B
C
D
E
A questão pede a variação da capacitância equivalente com o tempo. Para
encontrar essa variação, é necessário aplicar a fórmula dada no enunciado,
considerando as taxas de variação das capacitâncias C , C e C . Ao realizar os
cálculos, considerando que C = C = 10  e C = 15  , obtemos a variação da
capacitância equivalente como .
1 2 3
1 2 μF 3 μF
0, 12μF/s
5 Marcar para revisão
Suponha que temos uma função h(x) definida por partes, onde a expressão varia
dependendo do intervalo de x. A função é definida da seguinte forma: 
. Quantos pontos extremos locais a função apresenta?h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x+ 2,  [0, 4)
4.
0.
2.
1.
3.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 1.
Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos
verificar se existem pontos críticos (onde a derivada é igual a zero ou não existe)
dentro dos intervalos especificados.
A função h(x) é definida como: 
Vamos encontrar os pontos críticos e verificar quantos existem em cada intervalo:
Intervalo ��4, 0��
Para x em ��4, 0�, a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x+ 2,  [0, 4)
h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex
2ex = 0
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 6/11
A
B
C
D
E
Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse
intervalo.
Intervalo �0, 4��
Para x em �0, 4�, a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
O ponto crítico é x = 2.
Agora, determinamos o número de pontos extremos locais:
Como não há pontos críticos no intervalo ��4, 0) e apenas um ponto crítico no
intervalo �0, 4�, temos apenas um ponto extremo local da função h(x) em x = 2.
Portanto, a função h(x) possui apenas 1 ponto extremo local.
h′(x) = d/dx(x2 − 4x+ 2) = 2x− 4
2x− 4 = 0
2x = 4
x = 2
6 Marcar para revisão
Seja a função f(x) = x  - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função.
Uma das retas é tangente ao ponto P�4,1�. A outra tangente intercepta a primeira reta
tangente no ponto de  ordenada igual a �1 O ponto de tangência entre a segunda reta e
o gráfico de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b.
2
2.
3.
4.
5.
6.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 3
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 7/11
Seja 
A reta tangente a f(x) será dada por:
onde
Derivando f(x):
Substituindo o P�4,1�, temos:
Voltando na equação da reta tangente:
Substituindo o P�4,1�, temos:
Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto
de ordenada �1. Logo,
O ponto de interseção é: �3,�1�
Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico da f(x) tem
coordenada (a,b), devemos determine (a + b).
As retas tangentes ao gráfico da f(x) são simétricas em relação ao eixo das
ordenadas, então partindo do ponto �4,1) a segunda reta será tangente num ponto
(x,1).
Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja:
Como x¿�4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿�2.
Portanto a segunda reta tem coordenada de tangenciaà f(x) no ponto �2,1�, logo:
f(x) = x2 − 6x+ 9
y = mx+ n
m = d[f(x)]/dx
m = d[x2 − 6x+ 9]/dx = 2x− 6
m = 2x− 6 = 2.4 − 6 = 2
y = mx+ n = 2x+ n
y = 2x+ n
1 = 2.4 + n
n = −7
y = 2x− 7
−1 = 2x− 7
x = 3
f(x) = x2 − 6x+ 9
1 = x2 − 6x+ 9
x2 − 6x+ 8 = 0
x′ = 4 e x′′ = 2
a = 2;  b = 1
a+ b = 3
7 Marcar para revisão
A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em
diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a
equação da reta tangente a e o ponto �1,6�.y2 − 4xy = 12
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 8/11
A
B
C
D
E
A
B
y = 3x+ 3.
y = 4x+ 2.
y = 3x+ 5.
y = 6x+ 3.
y = 7x+ 1.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Aplicando o ponto �1,6��
Equação da reta:
y2 − 4xy = 12
− (4 ⋅ ⋅ y+ 4 ⋅ x ⋅ ) =
2y − 4y− 4x = 0
= = m
dy2
dy
dy
dx
dx
dx
dy
dy
dy
dx
d(12)
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
4y
2y− 4x
m = = = = 3
4y
2y−4x
4⋅6
2⋅1−4⋅1
24
8
y− y0 = m (x− x0)
y− 6 = 3(x− 1)
y− 6 = 3x+ 3
y = 3x+ 3
8 Marcar para revisão
A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a
expressão que mostra a taxa de variação de k com o tempo.
k = mv21
2
= m2 ⋅ v ⋅ a.dk
dt
= m ⋅ v2 ⋅ a.dk
dt
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 9/11
C
D
E
A
B
C
D
E
= m ⋅ v ⋅ a2.dk
dt
= .dk
dt
m⋅v⋅a
2
= m ⋅ v ⋅ a.dk
dt
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Como temos:
Como a aceleração é dada por: 
=?
= = m
dk
dt
dk
dt
d ( mv2)1
2
dt
1
2
d (v2)
dt
= ⋅ ,
d(v2)
dt
d(v2)
dt
dv
dt
= m ⋅ = m ⋅ 2v ⋅ = mv
dk
dt
1
2
d(v2)
dt
dv
dt
1
2
dv
dt
dv
dt
= adv
dt
= m ⋅ v ⋅ adk
dt
9 Marcar para revisão
Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente, de , com 
.
f(x) = √9 − x2
x ∈ [−2, 1]
0  e  1
0 e  �2
�2 e 1
1 e  �2
Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio
Resposta correta
Questão 10
de
10
Corretas �10�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Derivadas: Aplicações Sair
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 10/11
A
B
C
D
E
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A função atinge seu valor mínimo de 0 quando ou
, e seu valor máximo de �2 quando . Portanto, os valores máximo e
mínimo globais da função, respectivamente, são 0 e �2.
f(x) = √9 − x2 x = −2
x = 1 x = 0
10 Marcar para revisão
Seja a função g(x) = 2x sen(x ) + 2 sen x + 4. Este gráfico apresenta uma reta normal
no ponto de abscissa nula de equação , p  e q reais , é normal ao
gráfico da função no ponto de abscissa zero. Determine o valor de 
2
px+ qy− 16 = 0
(p+ q)/(q − p).
3.
4.
5.
6.
1.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 3
Derivando a função g(x):
Derivando a primeira parcela:
Derivando a segunda parcela:
g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4
g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4)
d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2)
= 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x
= 2sen(x2) + 8x2cos(x2)
26/03/25, 20:37 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67e48e98696171df940d7e4b/gabarito/ 11/11
A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante.
Portanto, a derivada da função g(x) é:
Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x =
0�.
Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta
normal no ponto de interesse:
Inclinação da reta normal em x = 0�
Em seguida, encontrar a inclinação da reta normal no ponto de abscissa zero.
A reta normal é perpendicular à curva no ponto de tangência. Portanto, sua
inclinação será o negativo do inverso da inclinação encontrada anteriormente.
Encontrando a equação da reta normal.
Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
onde é o ponto dado �0, g(0�) e "m" é a inclinação da reta normal.
Agora, ajustamos a equação para que a forma seja :
Portanto, temos que p = 1 e q = 2.
Queremos determinar:
d/dx(2sen(x)) = 2cos(x)
g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x)
m = g′(0) = 2sen(02) + 8(0)2cos(02) + 2cos(0) = 2(0) + 8(0) + 2 = 2
Inclinação da reta normal  = −1/(inclinação da reta tangente) = −1/2
y− y0 = m(x− x0)
(x0, y0)
y− g(0) = (−1/2)(x− 0)
y− (2.0.sen(0) + 2.sen(0) + 4) = (−1/2)x
y− (0 + 2.0 + 4) = (−1/2)x
y− 4 = (−1/2)x
px+ qy− 16 = 0
2y− 8 = −x
x+ 2y− 8 = 0
(p+ q)/(q − p) = (1 + 2)/(2 − 1) = 3/1 = 3.