Derivadas parciais - regra da cadeia

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI – UNIAN 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
CÁLCULO III –Derivadas Parciais- Regra da Cadeia – resumo - Notas de aula 
Prof.: Adilson G. Principe 
 
Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava 
uma regra para derivar uma função composta: se e onde e são funções 
diferenciáveis, então é uma função indiretamente diferenciável de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para lembrar a Regra da Cadeia, é útil desenhar o diagrama em árvore ou método da 
“arvorezinha”. 
 
 
 
Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável dependente para as variáveis 
intermediárias e a fim de indicar que é uma função de e . Então, desenhamos os ramos 
saindo de e para as variáveis independentes e . Em cada ramo indicamos a derivada parcial 
correspondente. Para determinar 
 
 
, nós determinamos o produto das derivadas parciais ao longo de 
cada caminho de a e somamos esses produtos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se , onde e , determine 
 
 
 quando . 
 
 
 
 
Se, e e , e . Portanto, 
 
 
 
 
Um 2º caso da regra da cadeia: Suponha que z = f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, 
onde x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de s e t. 
Então : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Regra da Cadeia (Versão Geral): Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis 
x1, x2, ....., xn onde cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1, t2, ......., tm. Então u é uma 
função de t1 , t2 , ......., tm e ........ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para cada i = 1 , 2, ..........., m 
 
Exemplo: Escreva a Regra da Cadeia para o caso onde w = f(x,y,z,t) e x =s(u,v). Y = y(u,v) , z = 
z(u,v) e t = t(u,v) 
Solução: Fazendo n = 4 e m = 2 e objetivando num diagrama de árvores : 
 
 
 
 
 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se u = x4y + y5z3, onde x = rset, y=rs2e-t e z = r2ssent, determine o valor da derivada de w 
em relação a s quando r=2, s=1 e t=0. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 temos que.............. 
 
 
 logo quando r=2, s = 1 e t = 0 temos 
 
 
 
 
 Diferenciação Implícita 
 
A Regra da Cadeia pode ser usada para dar uma descrição mais completa do processo de 
diferenciação implícita. Supomos que uma equação da forma define implicitamente 
como uma função diferenciável de , isto é, , onde para todo no domínio 
de . Se é diferenciável, podemos aplicar para diferenciar ambos os lados da equação 
com relação a . Já que e são funções de , obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No entanto, 
 
 
 , então se 
 
 
 resolvemos para 
 
 
 e obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine se . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha agora que dado implicitamente como uma função por uma equação da 
forma . Isso significa que para todo no domínio de . Se e 
 forem diferenciáveis, utilizamos a Regra da Cadeia para derivar a equação da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, essa equação se torna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente, uma versão do Teorema da Função Implícita estipula condições sob as quais 
nossa suposição é válida: se é definida dentro de uma esfera contendo , onde 
 
 
 
são contínuas na esfera, então a equação define como 
uma função de e perto do ponto e as derivadas parciais são dadas pelas equações 
descritas anteriormente. 
Exemplo: Determine 
 
 
 e 
 
 
 se . 
 
 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS: 
 
1. Use a Regra da Cadeia para achar dz/dt e dw/dt nos seguintes casos: 
a) z = x2 + y2 + xy, x = sent e y = et 
b) √ x = lnt e y = cost 
c) w = x 
 
 , x = t2 , y = 1 – t , z = 1 + 2t 
 
2. Use a Regra daCadeia par achar 
 
 
 
 
 
 
a) z = x2y3 , x = scost , y = s sent 
b) z = sen 
c) √ 
3. Se z = x2 + xy3 , x = uv2 + w3 , y = u + vew Determine : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 quando u = 2, v = 1 e w = 0 
4. Se w = xy + yz + zx , x = rcos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Se √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 quando x = 1, y = 2 e t = 0