Cálculo Numérico - Aula 01

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CÁLCULO NUMÉRICO
O objetivo da disciplina Cálculo Numérico é o de “explicar os fundamentos dos principais 
métodos numéricos e empregá-los com senso crítico, à solução de problemas fazendo uso de uma 
linguagem científica para programá-los”. 
Por isso, você aprenderá a identificar e compreender os métodos numéricos para resolução 
de problemas clássicos em Engenharia. Serão apresentadas estratégias numéricas (métodos, 
algoritmos) que descrevem formulações matemáticas tradicionais, como Sistemas de Equações 
Lineares. 
A disciplina Cálculo Numérico permitirá resgatar conteúdos de algoritmos e programação, 
apresentando maneiras práticas de desenvolver programas com um objetivo bem definido – neste 
caso, para utilizar métodos numéricos.
Aula 1: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Nesta aula, trataremos das operações Aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes). 
Identificaremos os tipos de funções e construiremos seus respectivos gráficos.
Aula 2: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros
Nesta aula, veremos os conceitos básicos de programação estruturada, identificaremos a 
necessidade do Cálculo Numérico para a resolução de problemas em Engenharia e, por fim, 
identificaremos os tipos de erros que ocorrem no processamento de algoritmos numéricos.
Aula 3: Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações
Nesta aula, identificaremos, faremos comparação e aplicaremos métodos numéricos para 
solução de equações transcendentais e polinomiais.
Aula 4: Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações
Nesta aula, veremos a segunda parte do conteúdo em que vamos identificar, comparar e 
aplicar métodos numéricos para solução de equações transcendentais e polinomiais.
Aula 5: Sistemas de Equações Lineares
Nesta aula, identificaremos, faremos comparações e aplicaremos diferentes procedimentos 
para solução de sistemas de equações lineares, que são importantes passos para resolvermos alguns 
métodos numéricos.
Aula 6: Aproximação de Funções 
Nesta aula, vamos identificar e aplicar técnicas de aproximação de funções, ou seja, 
interpolação polinomial e ajuste de funções; Para isto, utilizaremos o conhecimento aprendido nas 
unidades anteriores.
Aula 7: Integração Numérica
Identificaremos e aplicaremos diferentes métodos para integração numérica, ou seja, 
métodos de interpolação; Para isto, utilizaremos o conhecimento aprendido nas unidades anteriores.
Aula 8: Integração Numérica
Continuaremos a identificar e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, 
métodos de extrapolação; Para isto, utilizaremos o conhecimento aprendido nas unidades anteriores.
Aula 9: Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira Ordem
Identificaremos e aplicaremos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias 
(EDO) de primeira ordem para problemas de valor inicial (PVI).
Os PVI são problemas caracterizados por um estado inicial conhecido e por uma equação 
diferencial que descreve a evolução do sistema a partir deste estado inicial. A solução buscada é 
geralmente a caracterização de um estado do sistema diferente do inicial. Tais problemas podem 
descrever diversos fenômenos na engenharia, física, etc. Para isso, utilizaremos o conhecimento 
aprendido nas unidades anteriores.
Aula 10: Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira Ordem
Continuaremos a identificar e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais 
ordinárias (EDO) de primeira ordem para problemas de valor de contorno (PVC). O PVC tem como
característica a definição de valores para condições suplementares, porém esta especificação existirá
em mais de um ponto. Para isto, utilizaremos o conhecimento aprendido nas unidades anteriores.
AULA 1
Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Objetivos:
1) Identificar e executar as operações aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes);
2) Identificar os tipos de funções e seus respectivos gráficos.
Introdução
Diversas são as aplicações que envolvem operações aritméticas (Escalares, 
Vetores e Matrizes), funções e seus gráficos. As funções e seus gráficos descrevem 
fenômenos físicos, químicos, econômicos, problemas na engenharia e em diversas 
áreas. Nesta aula, resolveremos alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Adição:
Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma u + v. Para determinar a soma 
u + v, no caso em que u e v não são paralelos, basta “fechar o triângulo”, com o 
cuidado de escolher a origem do representante de v coincidindo com a extremidade 
do representante de u.
Também se pode usar a regra do paralelogramo.
Exemplo: u = (1,9,1) e v = (2,1,0) então u + v = (1+2,9+1,1+0) = (3,10,1)
Subtração:
Considerando-se a existência do vetor oposto - v, podemos definir a diferença u 
- v, como sendo igual à soma u + ( -v ).
Veja a figura abaixo:
Exemplo: u = (1,9,1) e v = (2,1,0) então u - v = (1-2,9-1,1-0) = (-1,8,1)
Observe que graficamente a subtração de vetores está utilizando novamente a regra 
do paralelogramo.
Multiplicação por um escalar:
Dado um vetor u e um escalar λ ∈ R, define-se o vetor λ.u, que possui a mesma
direção de u e sentido coincidente para λ > 0 e sentido oposto para λ < 0. O módulo 
do vetor λ .u será igual a | λ |.u .
Exemplo: u = (1,9,1) então 2 u = (2. 1, 2.9,2.1) = (2,18,2)
Observe que graficamente o vetor 2u é o dobro do vetor u.
Proposição: Sejam u, v e w vetores quaisquer.
Valem as propriedades:
1: Associativa: (u+v) + w = u + (v +w)
2: Comunicativa: u + v = v + u
3: Elemento Neutro: Existe um único vetor que somado a u dá como resultado o 
próprio u; trata-se do vetor nulo: u + 0 = 0 + u
4: Elemento Oposto: Para cada u, existe um único vetor que somado a u dá como 
resultado o vetor nulo; é o vetor oposto de u: u + (-u) = 0 = - u + u
Matrizes:
Operação com matrizes:
Adção de matrizes:
Multiplicação por escalar:
Multiplicação de matrizes:
Funções e seus Gráficos
Definição:
Uma relação f de A em B é uma função se e somente se:
A) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B 
definido pela relação, chamada de imagem de x.
B) A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por
meio de f.
Função Real de uma variável Real, Domínio e Imagem
Se f é uma função com domínio em A e contra domínio em B, dizemos que f é uma 
função definida em A com valores em B. Se tanto A como B forem subconjunto dos 
reais dizemos que f é uma função real de variável real.
Exemplo: Seja f (x) = 2x , sendo o domínio A = {1,2,3,...} e B = R; portanto, f(1) = 2. 
1 = 2, f(2) = 2.2 = 4, isto é, a imagem será Im= {2,4,6,...} e A e B são subconjuntos 
de R.
Suponha que o conjunto A fosse limitado, isto é, A = {1,2,3}; então, o diagrama de 
flecha ficaria:
Logo a imagem ficaria B= {2,4,6}
Raízes de uma função: 
Denominamos raiz(es) de um função quando a(s) função(ões) interceptar (tocar, 
cortar) o eixo das abscissas, neste ponto a função possui as coordenadas (x,0), ou seja
y = 0. Lembre-se f(x) = y.
Função Constante
Exemplo: f(x) = x² – x – 2
Domínio: R +* (reais positivos)
Intercepta o eixo x no ponto (1,0), não intercepta o 
eixo y.
Função exponencial:
Algumas funções trigonométricas, suas características e seus gráficos: