Matrizes Aula 3

Prévia do material em texto

Matrizes 
 
Aula 03 – Matriz transposta, simétrica, antissimétrica e matriz 
inversa 
 
1. Matriz transposta 
 
Dada uma matriz = ( ) ,ij m nA a chama-se transposta de A a matriz 
= ( ) ,t
ji n mA a para todo i e todo .j 
Exemplo. Determine a matriz transposta das matrizes abaixo: 
a)  = − 
 
0 4 3 7A 
 
 
 =
− 
  
0
4
3
7
tA 
b) 
 −
=  
 
0 6
3 4
B 
 
=  
− 
0 3
6 4
tB 
 
Propriedades 
 
1ª) Dadas as matrizes = ( ) ,ij m nA a = ( )ij m nB b e  , temos: 
(i) =( )t tA A 
(ii) + = +( ) t t tA B A B 
 (iii)   =  ( ) t tA A 
2ª)  = ( ) ,t t tA B B A quaisquer que sejam as matrizes = ( )ij m nA a e 
= ( ) .jk n pB b 
 
2. Matriz simétrica 
 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem .n Se = ,tA A diz-se que A 
é simétrica. 
Exemplos. 
 
1) As matrizes abaixo são simétricas: 
 
 
=  
 
1 7
,
7 4
A temos que 
 
=  
 
1 7
.
7 4
tA Logo = .tA A 
 
 −
 
=
 
 
 
2 5 9
5 1 0 ,
9 0 4
B temos que 
 −
 
=
 
 
 
2 5 9
5 1 0 .
9 0 4
tB Logo = .tB B 
 
2) (UEL) Sabendo-se que a matriz 
 −
 
 
− − 
 
25 2
49 3
1 21 0
x y
y x é igual à sua 
transposta, determine o valor de + 2 .x y 
 
3. Matriz antissimétrica 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem .n Se = − ,tA A dizemos que 
A é antissimétrica. 
 
Observação: Os elementos da diagonal principal de uma matriz 
antissimétrica são todos iguais a zero. 
 
Exemplos: 
1) 
 −
=  
 
0 1
;
1 0
A 
 −
 
=  
 − −
 
0 4 3
4 0 11
3 11 0
B 
2) Obtenha os valores de , ,a b c e d de modo que a matriz 
 −
 
=  
 
 
2
0 4
0 0 2
6
a
A c
b d
 seja antissimétrica. 
 
 
 
4. Matrizes invertíveis 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem .n Dizemos que A é 
invertível se existir uma matriz B tal que  =  = .nA B B A I 
 Se A não é invertível, diz-se que A é uma matriz singular. 
Exemplo. Verifique se a matriz 
 −
=  
− 
5 1
9 2
A é invertível. 
 
5. Matriz inversa 
 
Dada uma matriz invertível ,A de ordem ,n chamamos de inversa 
de A a matriz −1A tal que 1 1 .nA A A A I− − =  = 
 
Propriedades 
 
1ª) − − =1 1( )A A 
2ª) − − − = 1 1 1( )A B B A 
3ª) − −=1 1( ) ( )t tA A 
 
Exemplos: 
1. (FEI) Considere as matrizes 
 
=  
 
2
0 2
a a
A
a
 e 
 −
=  
 
2 2
.
0
b b
B
b
 
Que relação deve existir entre a e b para que B seja a inversa de ?A 
2. Calcule a inversa da matriz 
 
=  
− 
1 2
.
0 1
A 
3. (UFPA) Sejam as matrizes invertíveis ,A B e X de ordem n e 
= .BAX A Prove que − −= 1 1 .X A B A 
 
6. Processo prático para o cálculo da inversa. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem .n A inversa de A pode ser 
encontrada por meio do seguinte algoritmo: 
 
a) Forma-se a matriz :M 2 ;n n = ( ),M A I em que I é a matriz 
identidade de ordem ;n 
b) Transforma-se a matriz A na matriz identidade, aplicando-se as 
seguintes operações elementares sobre :M 
• permutação de duas linhas quaisquer; 
• multiplicação de uma linha qualquer por um número real diferente 
de zero; 
• substituição de uma linha qualquer pela soma desta com uma outra 
linha previamente multiplicada por um número real diferente de 
zero; 
Observação: Durante as operações pode aparecer uma linha nula na 
metade A da matriz .M Nesse caso, diz-se que a matriz A não é 
invertível (ou que não admite inversa). 
c) Ao término do passo anterior, a matriz obtida é −= 1' ( ),M I A 
em que 
−1A é a matriz inversa de .A 
 
Exemplos. 
 
1. Determine a inversa das matrizes, caso exista: 
 
a) 
 
=  − − 
1 3
2 5
A 
b) 
 −
 = −
 
  
2 1 1
5 2 3
0 2 1
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. (UNIRIO-1997) Considere as matrizes 
 
 =
 
−  
3 5
2 1 ,
0 1
A 
 
=  
 
4
3
B e 
 =
 
2 1 3 .C 
A adição da transposta de A com o produto de B por C é 
 
a) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 3. 
b) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 2. 
c) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por .C 
d) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos 
diferentes. 
e) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de 
A com o produto de B por .C 
Resp: A 
 
2. (FGV-2005) A e B são matrizes e tA é a matriz transposta de .A 
Se 
 −
 =
 
  
2 3
1
2
A y
x
 e 
 
 =
 
  
1
2 ,
1
B então a matriz tA B será nula para: 
 
a) = −4x
y
 
b) = −8
y
x
 
c)  = 2x y 
d) + = −3x y 
e)  = −2 1x y 
Resp: E 
 
3. (UEL-2015) Uma reserva florestal foi dividida em quadrantes de 21 m 
de área cada um. Com o objetivo de saber quantas samambaias havia 
na reserva, o número delas foi contado por quadrante da seguinte 
forma: 
 
 
   
   
   
   
= =   
   
   
   
      
7 1 7 1
 Número de samambaias Número de
por quadrante quadrantes
0 8
1 12
2 7
A 3 16
4 14
5 6
6 3
B
 
 
O elemento ija da matriz A corresponde ao elemento ijb da matriz 
,B por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) samambaia, 12 
quadrantes contêm 1 samambaia. 
Assinale a alternativa que apresenta a operação efetuada entre as 
matrizes A e ,B que resulta no número total de samambaias 
existentes na reserva florestal. 
 
a) +A B 
b) A B 
c) tA B 
d) t tB A 
e) +t tA B 
Resp: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (MACK-2014) Se a matriz 
 
1 3 2
4 5 5
2 3 0
x y z y z
y z z
 + + − +
 −
 
− +  
 
 
é simétrica, então o valor de x é 
 
a) 6. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 0. 
e) −5. 
Resp: A 
 
5. (UEL-1998) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se = − .tA A 
Nessas condições, se a matriz 
 
 = −
 
−  
2 0 3
1 3 0
x y z
A é uma matriz 
antissimétrica, então + +x y z é igual a: 
 
a) 3 
 b) 1 
 c) 0 
 d) –1 
 e) –3 
Resp: D 
 
6. (UCS-2012) Uma empresa vende três produtos. 
O preço de venda do tipo j está representado por 1 ja na matriz 
 =   .300 500 700A 
O número de produtos vendidos do tipo ,j em determinado mês, está 
representado por 1 jb na matriz  =   .45 25 35B 
O custo para produzir cada produto do tipo j está representado por 
1 jc na matriz  =   .225 368 580C 
A expressão que fornece o lucro obtido com a venda dos produtos, no 
mês em questão, é 
 
a) .tAB 
b) – .AB CA 
 c) – .CA AB 
 d) – .t tCB AB 
e) – .t tAB CB 
Resp: E 
 
7. (FGV-2005) O montante aplicado de R$ 50.000,00 foi dividido em 
duas partes, x e ,y uma tendo rendido 1% em um mês, e a outra 
10% no mesmo período. O total de rendimentos dessa aplicação foi 
de R$ 4.000,00. Sendo ,M P e Q as matrizes 
 
=  
 
,
x
M
y
 
 
=  
 
50
4
P 
e 
 
=  
 
1 0,01
,
1 0,1
Q a matriz M pode ser obtida pelo produto 
 
a)  1000.tP Q 
b)  1000.t tP Q 
c) −  1 1000.Q P 
d) −  11000 ( ) .tP Q 
e) − 11000 ( ) .tQ P 
Resp: E 
 
 
 
 
 
 
8. (FGV-2001) A matriz 
 
=  
 
1
5 3
x
A é inversa de 
 −
=  
 
3 1
.
2
B
y
 Nessas 
condições, podemos afirmar que a soma +x y vale: 
 
a) −1 
b) −2 
c) −3 
d) −4 
e) −5 
Resp: C 
 
9. (EsPCEx-2013) Considere as matrizes 
 
=  
 
3 5
1
A
x
 e 
 +
=  
 
4
.
3
x y
B
y
 
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da inversa da 
matriz ,A então o valor de +x y é 
 
a) −1. 
b) −2. 
c) −3. 
d) −4. 
e) −5. 
Resp: C 
 
10. (FGV-2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é 
−  −
=  − 
1 3 1
,
5 2
A e que a matriz X é solução da equação matricial 
 = ,X A B em que  =   ,8 3B podemos afirmar que a soma dos 
elementos da matriz X é 
 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 11. 
Resp: A