Resprova_1

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Primeira Prova de A´lgebra Linear 1 - 08.013-6 C
30-10-2012
Nome: RA :
1. Responda verdadeiro (V) ou falso (F), sendo que cada ı´tem correto vale 20% da questa˜o e
cada ı´tem incorreto vale −10% da questa˜o. Itens em branco na˜o sera˜o computados.
a) (F) Se B = {e1, e2, e3, e4} e´ uma base qualquer de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se
concluir que C = {(e1 + e2), (e1 + e3), (e2 + e3), (e1 + e2 + e3)} e´ um conjunto LI de V.
C e´ L.D. pois, 1 · (e1 + e2) + 1 · (e1 + e3) + 1 · (e2 + e3) + (−2) · (e1 + e2 + e3) = 0V
b) (F) Se V e W sa˜o espac¸os vetoriais e T : V → W e´ tal que T (0V) = 0W, enta˜o T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Se V = R2, W = R e T : V → W e´ definida por T (x, y) = (x + y)2, enta˜o T (0V) =
T ((0, 0)) = (0 + 0)2 = 0 = 0W. No entanto, T na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, ja´ que
T ((1, 0) + (0, 1)) = T (1, 1) = (1 + 1)2 = 4 6= 2 = (1 + 0)2 + (0 + 1)2 = T (1, 0) + T (0, 1).
c) (F) Se {e1, e2} e {f1, f2, f3} sa˜o conjuntos LI arbitra´rios de um espac¸o vetorial V, enta˜o
pode-se concluir que o conjunto {e1, e2, f1, f2, f3} e´ tambe´m um conjunto LI de V.
Se V = R3, e1 = (2, 0,−1), e2 = (1, 1, 1), f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0) e f3 = (0, 0, 1), enta˜o
{e1, e2} e {f1, f2, f3} sa˜o conjuntos L.I. de vetores de V, mas {e1, e2, f1, f2, f3} e´ L.D., pois
e2 = 0 · e1 + f1 + f2 + f3.
d) (V) Dado um conjunto LD arbitra´rio {v1, v2, v3, v4} de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se
concluir que o conjunto {v1, v2, v3, v4, w} e´ tambe´m LD, qualquer que seja w ∈ V.
Como {v1, v2, v3, v4} e´ L.D., existem escalares, na˜o todos nulos, α1, α2, α3, α4 tais que α1 · v1 +
α2 · v2 + α3 · v3 + α4 · v4 = 0V. Assim, temos que se βj = αj para j = 1, 2, 3, 4 e β5 = 0,
enta˜o β1 · v1 + β2 · v2 + β3 · v3 + β4 · v4 + β5 · w = 0V e algum βj 6= 0. De onde segue que
{v1, v2, v3, v4, w} e´ tambe´m LD, qualquer que seja w ∈ V.
e) (V) Dado um conjunto LI arbitra´rio {v1, v2, v3, v4} de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se
concluir que o conjunto {v1, v2, v3} e´ tambe´m LI.
Pois, se {v1, v2, v3} fosse L.D., seguiria do item d) acima que {v1, v2, v3, v4} seria tambe´m L.D.
RESOLVA APENAS 3 (TREˆS) DOS 4 (QUATRO) EXERCI´CIOS ABAIXO.
2. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre R e T : V→W uma transformac¸a˜o linear.
a) Mostre que Ker(T ) = {v ∈ V : T (v) = 0W} e´ um subespac¸o vetorial de V;
Observamos primeiramente que 0V ∈ Ker(T ) pois T (0V) = 0W, de onde segue que Ker(T ) 6= ∅.
Agora, sejam u, v ∈ Ker(T ) e t ∈ R, enta˜o T (t · u+ v) = t · T (u) + T (v) = t · 0W + 0W = 0W,
logo t · u+ v ∈ Ker(T ).
Concluimos enta˜o que Ker(T ) e´ subespac¸o de V.
1
b) Mostre que Im(T ) = {T (v) ∈W : v ∈ V} e´ um subespac¸o vetorial de W.
Observamos que 0W = T (0V) ∈ Im(T ), de onde segue que Im(T ) 6= ∅.
Sejam agora T (u), T (v) ∈ Im(T ) e t ∈ R, enta˜o t · T (u) + T (v) = T (t · u+ v) pois T e´ linear,
logo t · T (u) + T (v) ∈ Im(T ).
Concluimos enta˜o que Im(T ) e´ subespac¸o vetorial de W.
3. Seja V = MR(2, 2) o espac¸o vetorial das matrizes quadradas 2× 2 com entradas reais.
a) Mostre que W = {
(
a11 a12
a21 a22
)
∈ V : a11 + a22 = 0} e´ um subespac¸o vetorial de V;
Qualquer matriz da forma X =
(
0 x1
x2 0
)
pertence a W, de onde segue que W 6= ∅.
Sejam agora A =
(
a11 a12
a21 a22
)
, B =
(
b11 b12
b21 b22
)
∈W e t ∈ R. Temos enta˜o que
t · A+B = t ·
(
a11 a12
a21 a22
)
+
(
b11 b12
b21 b22
)
=
(
t · a11 + b11 t · a12 + b12
t · a21 + b21 t · a22 + b22
)
Como (t · a11 + b11) + (t · a22 + b22) = t · (a11 + a22) + (b11 + b22) = t · 0 + 0 = 0, conclui-se que
t · A+B ∈W. Portanto W e´ subespac¸o de MR(2, 2).
b) Calcule dimRW.
Se
(
a11 a12
a21 a22
)
∈W enta˜o(
a11 a12
a21 a22
)
=
(
a11 a12
a21 −a11
)
= a11 ·
(
1 0
0 −1
)
+ a12 ·
(
0 1
0 0
)
+ a21 ·
(
0 0
1 0
)
De onde segue que W e´ gerado por β = {
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
}.
Finalmente, se a ·
(
1 0
0 −1
)
+ b ·
(
0 1
0 0
)
+ c ·
(
0 0
1 0
)
=
(
0 0
0 0
)
= 0MR(2,2)
enta˜o
(
a b
c −a
)
=
(
0 0
0 0
)
, ou seja, a = b = c = 0 e assim o conjunto β e´ L.I. e e´ portanto
uma base de W. Segue disso que dimRW = 3.
4. Seja T : R3 → R2 a (u´nica) transformac¸a˜o linear que satisfaz o seguinte: T (1, 0,−1) = (2, 0),
T (−1,−2,−1) = (0, 1) e T (1,−1, 1) = (1, 1).
a) Calcule T (−1, 3, 1); b) T e´ injetora? justifique.
item a)
Como det
 1 0 −1−1 −2 −1
1 −1 1
 = −6 6= 0 segue que β = {(1, 0,−1), (−1,−2,−1), (1,−1, 1)} e´
uma base de R3. Desta forma, existem u´nicos x, y, z ∈ R tais que (−1, 3, 1) = x(1, 0,−1) +
y(−1,−2,−1) + z(1,−1, 1), ou seja,
x− y + z = −1
−2y − z = 3
−x− y + z = 1
2
De onde segue que x = y = z = −1. Logo,
T (−1, 3, 1) = T (−1 · (1, 0,−1)− 1 · (−1,−2,−1)− 1 · (1,−1, 1) =
= −1 · T (1, 0,−1)− 1 · T (−1,−2,−1)− 1 · T (1,−1, 1) =
= −(2, 0)− (0, 1)− (1, 1) = (−3,−2)
item b)
Segue de um teorema visto em sala (Teorema do Nu´cleo-Imagem) que
3 = dimRR3 = dimRKer(T ) + dimRIm(T )
Como dimRIm(T ) ≤ dimRR2 = 2 (pois Im(T ) ⊆ R2), conclui-se que
dimRKer(T ) + dimRIm(T ) ≤ dimRKer(T ) + 2
ou seja, 3 ≤ dimRKer(T )+2, de onde segue que dimRKer(T ) ≥ 1, ou seja, Ker(T ) 6= {(0, 0, 0)}.
Portanto T na˜o e´ injetora.
2a resoluc¸a˜o
Notamos que (1, 1)− 1
2
(2, 0)− (0, 1) = (0, 0). Logo,
(0, 0) = T (1,−1, 1)− 1
2
· T (1, 0,−1)− T (−1,−2,−1) =
= T ((1,−1, 1)− (1
2
, 0,−1
2
)− (−1,−2,−1)) = T (3
2
, 1,
5
2
)
Assim, (3
2
, 1, 5
2
) ∈ Ker(T ), portanto Ker(T ) 6= {(0, 0, 0)} e consequentemente T na˜o e´ injetora.
5. Seja V = R2, com as operac¸o˜es (x, y)+(a, b) = (x+a, y+b) e r(x, y) = (rx, ry) ∀ r, x, y, a, b ∈
R. Resolva cada um dos ı´tens abaixo, justificando sua resposta.
a) Determine duas bases ordenadas distintas α e β de V;
α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(0,−1), (1, 0)}
b) Determine [I]βα e [I]
α
β ;
[I]βα =
(
0 1
−1 0
)
, [I]αβ =
(
0 −1
1 0
)
c) Determine [v1]α e [v2]β, sendo v1 = (1,−1) e v2 = (3, 2).
[v1]α = [(−1, 1)]α =
(−1
1
)
e [v2]β = [(3, 2)]β =
(−2
3
)
3