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Álgebra Linear
Matrizes
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 1
Matrizes
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Matrizes
• Uma matriz é uma estrutura bi-dimensional onde 
todos os elementos são do mesmo tipo
• Os elementos são dispostos em linhas e colunas e 
cada célula dela é completamente identificada pela 
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cada célula dela é completamente identificada pela 
sua posição e seu valor
• Exemplos:
2 3 4 1 2 3
1 5 7
Matrizes
• Uma matriz de m linhas e n colunas é representada 
por:
a11 a12 …. a1n
a21 a22 …. a2n
. . .
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Amxn =
21 22 2n
. . .
. . . = [aij]mxn
. . .
am1 am2 …. amn
Matrizes
• Definição: Duas matrizes Amxn=[aij]mxn e Brxs=[bij]rxs são 
iguais A = B, se elas têm o mesmo número de linhas 
(m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos 
correspondentes são iguais (aij = bij)
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correspondentes são iguais (aij = bij)
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Quadrada: É aquela cujo número de linhas é 
igual ao número de colunas
• Matriz Nula: É aquela em que aij = 0, para todo i e 
todo j
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todo j
• Matriz Coluna: É aquela que possui apenas uma 
única coluna
• Matriz Linha: É aquela que possui apenas uma única 
linha
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m=n) onde 
aij = 0, para todo i≠j
2 0 0 0
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2 0 0 0
0 4 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Identidade Quadrada: É aquela em que aii = 1 
e aij = 0, para todo i≠j
1 0 0 0
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1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I = 
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada 
onde todos os elementos abaixo da diagonal são 
nulos (aij = 0 para todo i > j)
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2 3 1 2
0 4 0 3
0 0 1 0
0 0 0 3
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada 
onde todos os elementos acima da diagonal são 
nulos (aij = 0 para todo i < j)
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2 0 0 0
3 4 0 0
5 1 1 0
1 2 3 3
Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
• Matriz Simétrica: É aquela onde m=n e aij=aji
2 3 1 2
3 4 0 3
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3 4 0 3
1 0 1 0
2 3 0 3
Matrizes
Operações com Matrizes
• Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem 
Amxn = [aij]mxn e Bmxn = [bij]mxn, que denotamos por A + 
B, é a matriz Smxn cujos elementos, [sij], são dados 
pela soma dos correspondentes elementos de A e B, 
isto é:
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isto é:
� sij = aij + bij
• Exemplo:
Matrizes
Operações com Matrizes
• Adição: Propriedades (Amxn, Bmxn e Cmxn)
� A + B = B + A (comutatividade)
� A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
� A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn
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� A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn
Matrizes
Operações com Matrizes
• Multiplicação por um Escalar: Seja A=[aij]mxn e k um 
número, então definimos uma nova matriz
� k.A = [k.aij]mxn
� Propriedades
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� Propriedades
• k.(A + B) = k.A + k.B, sendo B uma matriz de mesma ordem que A
• (k1 + k2).A = k1.A + k2.A, k1 e k2 números
• 0.A = 0, onde 0 é o número zero e 0 é a matriz nula
• k1.(k2.A) = (k1.k2).A, k1 e k2 números
Matrizes
Operações com Matrizes
• Transposição: Dada uma matriz A=[aij]mxn, podemos 
obter outra matriz A’= [bij]nxm, cujas linhas são as 
colunas de A, isto é, bij = aji
• A’ é chamada de transposta de A
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• A’ é chamada de transposta de A
Matrizes
Operações com Matrizes
• Propriedades da Transposta:
� Se A é simétrica: A = A’
� A’’ = A
� (A + B)’ = A’ + B’
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� (k.A)’ = k.A’, onde k é um número
Matrizes
Operações com Matrizes
• Multiplicação de Matrizes: Sejam A=[aij]mxn e B= 
[bij]nxp, definimos A.B = [cuv]mxp, onde:
� cuv = Σk=1
n buk . Akv
� OBS:
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� OBS:
• i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Bsxp, se o 
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da 
segunda, i.e., n = s. Além disso, a matriz resultado C=A.B terá 
ordem mxp.
• ii) O elemento cij é obtido multiplicando os elementos da linha i da 
primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda matriz, e 
somando esses produtos
Matrizes
Operações com Matrizes
• Multiplicação de Matrizes: 
� Propriedades
• i) Em geral, A.B ≠B.A, observe que A.B pode ser igual a 0mxn, sem 
que A ou B sejam 0mxn
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que A ou B sejam 0mxn
• ii) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
• iii) A.(B + C) = A.B + A.C (Distributividade à esquerda)
• iv) (A + B).C = A.C + B.C (Distributividade à direita)
• v) (A.B).C = A.(B.C) (Associatividade)
• vi) (AB)’ = B’A’, observe a mudança na ordem do produto
• vii) 0.A = 0 e A.0 = 0, 0 é uma matriz nula
Exercícios Sugeridos
• 1 ao 14 (págs 11 a 13)
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A Seguir...
• Sistemas de Equações Lineares
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