Lista De Exercícios (2)

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UNICAP Prof. Cláudio Maciel 
Calculo Diferencial e Integral I 2º Lista de Exercícios 
 
 Aluno:____________________________________ Turma ________ 
 
Derivadas: definição 
 
1º) Calcule os limites: 
x
xxxxxx
f
x
xxxxxx
e
x
xxx
d
x
xxx
c
x
x
b
x
xxx
a
xx
xxxx














)12(1)(2)(
lim)
)5()(5)(
lim)
lim)
)(
lim)
1)1(
lim)
2)(2
lim)
22
0
22
0
0
33
0
3
00
 
 
 
2º) Determine 
)(xfDx
 usando a definição. 
 
23
32
)()53)()8)()
123)()
3
2
)()3)()
1)()2)()12)()
3
2
32








x
x
xfixxfhxxfg
xxxff
x
x
xfexxfd
xxfcxxfbxxfa
 
 
 
Derivadas propriedades 
 
3º) Determine 
)(xfDx
. 
342
7
323
8
2
24347
)()238)()
1
)()32)()
23)()
5
4
)()
)53(
2
1
)()234)()








xfhxxxfg
x
xxffxxxxfe
xxxfd
xx
xfc
xxxfbxxxxfa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º) Determine 
)(xfDx
. 
 
)12.(
3
1
)())13.(
5
12
)()
2
252
)()
3
3
)()
34
)()
23
)()
8
8
)()
14
42
)()
)53).(132()())32).(53()()
)65).(12()())3(.)42()()
2
2
3
3
34
3
3
4
2
2
3
3
2
3
224223
342523
































xx
x
x
xflx
x
x
xfj
xx
xxx
xfi
x
x
xfh
x
xx
xfg
xx
x
xff
x
x
xfe
xx
x
xfd
xxxxfdxxxxxxfc
xxxxfbxxxxxfa
 
 
 
Regra da cadeia 
 
5º) Derive as funções. 
 
 
   4
1
2
1
1.5)())523()()
1
1
)()4.5)()
13
)()0)23).(1(3)()
32)())14).(23()()
)53(
)2.()32(
)()
53
)2).(14(
)()
2
52
)()
3
7
)()
34)()23)()
23
12
)()
23
12
)()
62)())123()()
3232
3
3 32
2
3
4
3 42
22
423
2
2
2
3
232
3
2
4
22342






































xxxfsxxxfr
x
x
xfqxxxfp
x
x
xfxxxfn
xxxfmxxxxfl
xx
xx
xfj
x
xx
xfi
xx
xx
xfh
x
x
xfg
xxxxffxxxfe
xx
x
xfd
x
x
xfc
xxxxfbxxxfa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da reta tangente e normal à curva 
 
6º) Determine uma equação da reta tangente à curva, no ponto indicado. 
 
)4,4(,
8
))0,0(,4)
)4,2(,2))2,3(,
6
)
)4,1(,12))8,4(,
8
1
)
)4,2(,2))7,2(,54)
4
3
23
22




x
yhxxyg
xxyf
x
ye
xxydxyc
xxybxxya
 
 
7º) Determine uma equação da reta normal á curva y = x3 – 4 no ponto (2,4) 
 
8º) Determine uma equação da reta normal á curva 
214
10
x
y


 no ponto (4,-5) 
 
9º) Determine uma equação da reta tangente à curva y = 3x2 – 4x e paralela à 
reta 2x – y + 3 = 0. 
 
 
10º) Determine uma equação de cada uma das retas normais à curva 
y = x3 – 4x que sejam paralelas à reta x + 8y – 8 =0. 
 
11º) Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva 
 3y = x3 – 3x + 6x + 4 que sejam paralelas à reta 2x – y + 3 = 0. 
 
12º) Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva 
 y = 2x2 – 1 que passam pelo ponto (2,13). 
 
 
13º) Determine uma equação da reta normal á curva 
92  xy
 no ponto 
 (4,5). 
 
14º) Determine uma equação de reta normal à curva 
216 xxy 
 na origem. 
 
 
Derivada : ordem superior 
 
15º) Determine as derivadas segundas das funções. 
 
)23())323()
)27).(35()
12
)
3212)57)
4435
32
223
xxyfxxye
xxxyd
x
x
yc
xxybxxxya





 
 
Derivadas trigonométricas 
 
16º) Determine dy/dx das funções definidas por: 
2
3 223
243
32332
23322
23
cos
)32sec(
)cos))3(.3sec)
)cos2())3cot()sec)
cos)42)3)
)53())cos)
sec)csc)sec4cos3)
x
x
yptgxxsenxxyoxsenxyn
xxsentagymxxylxyj
xsenxtgxyixxsenyhtgxxyg
xxsenyfxsenyexyd
xxycxxybxxya






 
 
 
17º) Determine a segunda derivada das funções f (x). 
xym
x
sen
ylxxyj
senx
x
yi
xsenyhxtgxygxxsenyfxsenxye
xtgydxycxybsenxya
cos)
cos1
))2sec()
1
cos
)
4)sec)cos)3)
2)2cos)cos))
32
522222
223






 
 
 
 
18º) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função indicada no 
 ponto dado. 
 
 a) função seno nos pontos 
  xemexx
3
,0
 
 b) função cosseno nos pontos 
62
,
2

 xemexx
 
 c) função tangente nos pontos 
44
,0

 xemexx
 
 
19º) Determine uma equação da reta tangente á curva 
xxseny cos
 no 
ponto 
4

x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivação implicita 
 
20º) Use derivação implícita para obter dy/dx. 
 
xyxxyzyxsenxyxsenyyxx
xyxygvxyxyxecuxtgyxgyt
yyxsenxsyecxrx
yx
y
q
yxxypyxyxo
yx
yx
xn
xytgmysenxlyxj
xyxytgixyyxsenhxxyg
yyxfyxyyxxeyyxxd
yxcxyyxbyxa












132))())cos()
0cot))(sec)(cos))(cotsec)
1cos)4cossec)2)
2)4)
2
2
)
4))0)2(cos)
))()04)3()
0)()1)14)
4)03)3694)
22
222
2332
32
2
22222434
3322
 
 
 
21º) Dadas as funções, determine d2y / dx2. 
 
1)sec()sec()2cos3)3(cos)1)()()
)2)1)
2
2
)
)4()32()22sec)5)1)
2
22
322
2
1
2
1






yxyxlxxsenyjyxsenyxseni
xytgytgxhyxgyxf
x
x
ye
xxydxtgxycxxxybsenxya
 
Derivadas trigonométricas inversas 
 
22º) Determine a derivada Dx y da função: 
)(cos)cos))(cos)
1
1
)4
1
4)4sec)
1
2
)
1
cos)
1
sec)
1
2)1)5csc5sec)
2
1
)2csc)3cos)
213121
121121
2
1
2
112
2
2
xsenypxxyoxsenyn
x
x
senymxxtg
x
senylxyj
x
x
tgyi
x
x
xyh
x
xyg
x
tgarcyfxsenarcyexarcarcyd
xsenarcycxarcybxarcya













 
 
 
 
 
 
 
Derivadas logarítmicas 
 
23º) Diferencie a função dada e simplifique o resultado. 
3
211
122
3 33244
2
2
252
2
ln)()1lncot)())3ln()()
)ln(sec)()1)1ln()())22ln(cos)()
ln)()])72()35[(ln)()
1
1
ln)()
)(lncos)()cosln)()ln)()
41ln)())28ln()())1ln()()
xtg
xsen
xfpxxxxfoxtgxfn
xxfmxxxxxflxsenxxfj
xxfixxxfh
x
x
xfg
xecxffxxfexxxfd
xxfcxxfbxxfa










 
24º) Determine dy/dx por derivação implícita. 
xyxyyxfxyyxxeyxyxd
yxxcxy
x
y
byxxya


lnln)123ln)4)ln()ln()
)1ln()1ln)2ln)
222
 
 
 
Derivadas exponenciais 
 
25º) Determine Dx y. 
1)1))3ln())
)sec))ln())
1
ln)
2
)
2
))
))))
223223
ln35sec2233
14
4
32cos35 2














yxxyyxyx
xxxxxxtgx
x
xxxxx
xx
xsenxxxx
xeyepxyeyoyxeneeem
exyleeykeeyjeetgyi
e
e
yh
ee
yg
ee
yfeseneye
eydeyceybeya
 
 
 
26º) Determine Dx y. 
xxtg
x
xxxecxsenxxx
xypxsenyo
x
x
ynxym
x
x
yl
xsenyj
x
yixyhxxygyf
yeydycybya
)(cos))()
1
log))]1[log(log)
log
)
)(log)
1
log)log))2(log)3sec)
3.2)2)4)10)6)
2
3
2
453cos223
2
22




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de L’Hôpital 
27º) Calcule os limites usando a Regra de L’Hôpital 
 
812272
41252
lim)
254
45
lim)
4472
12124
lim)
584
463
lim)
132
243
lim)
38
96
lim)
2
33
lim)
1
32
lim)
1252
3116
lim)
252
352
lim)
6
34
lim)
8
16
lim)
4
8
lim)
1
1
lim)
2
4
lim)
234
234
223
234
123
234
2
23
23
123
23
13
3
323
23
1
2
12
2
2
2
2
2
3
3
4
22
3
22
3
12
2
2
2
3
2
1


































xxxx
xxxx
q
xxx
xxxx
p
xxx
xxxx
o
xxx
xxx
m
xx
xxx
l
xx
xx
j
xx
xxx
i
x
xx
h
xx
xx
g
xx
xx
f
xx
xx
e
x
x
d
x
x
c
x
x
b
xx
x
a
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
28º) Calcule os limites usando a Regra de L’Hôpital. 
 
23
3333
lim)
232
4
lim)
23
23
lim)
9
12
lim)
1
103
lim)
1
12
lim)
11
lim)
121
lim)
1
23
lim)
11
lim)
3
21
lim)
2
22
1
2
221
232110
2
0103




















xx
xxxx
l
xx
x
j
xx
x
i
x
x
h
x
x
g
x
xx
f
x
xx
e
x
xx
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
xxx
xxxx
xxxx
 
 
 
29º) Calcule os limites. 
 
xxxxx
xxxx
xx
x
xx
xxx
x
x
xxxx
e
x
p
x
x
o
xsen
xsenxsen
n
xsen
x
m
xsen
xsen
l
e
xsen
k
xtg
xsenx
j
x
i
x
xsen
h
x
xsen
g
xsenx
xe
f
x
xsen
e
sen
d
xsenx
xxtg
c
xtg
x
linb
x
x
a

















1
lim)
3sec
sec
lim)
2
lim)
1
2cos1
lim)
lim)
)12ln(
lim)lim)
32
lim)
lim)
)2(
)ln(
lim)
cos
lim)
2
lim)
lim)lim))
2
cos3
lim)
02
2
30
2
2
00300
1
0202
1
2
00
2
2
2







 
 
 
Derivadas laterais 
 
30º) a) Calcule 
)()( '' xfexf 
, se existiram 
 b) Determine se f(x) é derivável em x1 
 c) Determine se f(x) é contínua em x1. 
 
2,
2,
2,3
)()0,
0,
0,2
)()
3,
3,4
3,65
)()2,
2,118
2,32
)()
1,
1)1(
1,1
)()0,
0,
0,
)()
0,
0,1
0,1
)()3,3)()
2,
2,73
2,23
)()4,
4,6
4,2
)()
13
2
12
121
2
1212
2
11
11






























































x
xx
xx
xfjx
xx
xx
xfi
x
xx
xx
xfhx
xx
xx
xfg
x
xx
xx
xffx
xx
xx
xfe
x
xx
x
xfdxxxfc
x
xx
xx
xfbx
xx
xx
xfa
 
 
 
Esboço de gráficos 
 
31º) Esboce o gráfico. 
 
1
1
)()
4
)()
)3(
)()
4
)()
51,14)()
1
35
)()
55)()196)()
4
5
)()4
3
4
)()
14
3
5
5
1
)()
4
1
)()
292)())()
2
2
2
2
22
34
2
2
23
2
2
234
35234
2323
3
2


















x
x
xfn
x
x
xfm
x
x
xfl
x
x
xfk
xxxxfj
x
x
xfi
xxxfhxxxxfg
x
x
xffxxxxfe
xxxxfdxxxxfc
xxxfbxxxxfa