Resprova_2

Prévia do material em texto

Segunda Prova de A´lgebra Linear 1 - 08.013-6 C
27-11-2012
Nome: RA :
RESOLVA APENAS 4 (QUATRO) DOS 5 (CINCO) EXERCI´CIOS ABAIXO.
1. Sejam F : R3 → R2[X] e G : R2[X]→ R3, transformac¸o˜es lineares definidas por
F (a, b, c) = a+ bX + cX2 e G(p(X)) = (p(0), p(1), p(2))
Dadas as bases ordenadas α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 e β = {1, X,X2} de R2[X],
calcule as matrizes, [F ]αβ , [G]
β
α e [G ◦ F ]αα.
Temos que F (1, 0, 0) = 1 = 1 · 1 + 0 ·X + 0 ·X2,
F (0, 1, 0) = X = 0 · 1 + 1 ·X + 0 ·X2 e
F (0, 0, 1) = X2 = 0 · 1 + 0 ·X + 1 ·X2. Portanto
[F ]αβ =
1 0 00 1 0
0 0 1

Como G(1) = (1, 1, 1) = 1 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1),
G(X) = (0, 1, 2) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 2 · (0, 0, 1) e
G(X2) = (0, 1, 4) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 4 · (0, 0, 1), temos que
[G]βα =
1 0 01 1 1
1 2 4

Agora, lembrando que [G ◦ F ]αα = [G]βα · [F ]αβ , segue que
[G ◦ F ]αα =
1 0 01 1 1
1 2 4
 ·
1 0 00 1 0
0 0 1
 =
1 0 01 1 1
1 2 4

2. Seja T : R2 → R2 o u´nico operador linear tal que T (1, 1) = (8, 5) e T (−1, 1) = (28, 17).
a) Encontre uma base ordenada β de R2 tal que a matriz [T ]ββ seja uma matriz diagonal;
Observamos inicialmente que {(1, 1), (−1, 1)} e´ uma base ortogonal de R2 (com respeito ao
produto interno usual 〈(x, y), (a, b)〉 = xa+ yb). Logo,
(x, y) =
〈(x, y), (1, 1)〉
〈(1, 1), (1, 1)〉 (1, 1) +
〈(x, y), (−1, 1)〉
〈(−1, 1), (−1, 1)〉(−1, 1) =
x+ y
2
(1, 1) +
y − x
2
(−1, 1)
1
Portanto T (x, y) = (x+y
2
)T (1, 1) + (y−x
2
)T (−1, 1) = (x+y
2
)(8, 5) + (y−x
2
)(28, 17) =
= (−10x+ 18y,−6x+ 11y)
Assim, considerando a base canoˆnica α = {(1, 0), (0, 1)} de R2, temos que [T ]αα =
(−10 18
−6 11
)
O polinoˆmio caracter´ıstico, PT (X) de T e´ dado por
PT (X) = det(X ·I2×2−[T ]αα) = det
(
X + 10 −18
6 X − 11
)
= (X+10)(X−11)+108 = X2−X−2
cujas ra´ızes sa˜o λ1 = −1 e λ2 = 2.
Calculemos agora os autovetores de T .
1) Autovetores associados a λ1 = −1.
Se v = (x, y) e´ autovetor de T associado ao autovalor λ1 = −1 enta˜o
((−1) · I2×2 − [T ]αα) · [v]α =
(
0
0
)
ou seja, (
9 −18
6 −12
)
·
(
x
y
)
=
(
0
0
)
Assim, x−2y = 0, de onde segue que o vetor v1 = (2, 1) e´ um autovetor associado ao autovalor
λ1 = −1.
2) Autovetores associados ao autovalor λ2 = 2.
Se v = (x, y) e´ autovetor de T associado ao autovalor λ2 = 2 enta˜o
(2 · I2×2 − [T ]αα) · [v]α =
(
0
0
)
ou seja, (
12 −18
6 −9
)
·
(
x
y
)
=
(
0
0
)
Assim, 2x − 3y = 0, de onde segue que o vetor v2 = (3, 2) e´ um autovetor associado ao
autovalor λ2 = 2.
Com isso, conclu´ımos que a base β procurada pode ser dada por β = {(2, 1), (3, 2)}
b) Determine [T ]ββ.
Segue do que foi exposto no item a) que [T ]ββ =
(−1 0
0 2
)
.
3. Seja L : R3 → R3 o operador linear definido por T (x, y, z) = (x+ 2y + 3z, 4y + 6z,−y − z).
a) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico, PT (X), de T ;
Se α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} enta˜o [T ]αα =
1 2 30 4 6
0 −1 −1
. Logo,
PT (X) = det(X · I3×3 − [T ]αα) = det
X − 1 −2 −30 X − 4 −6
0 1 X + 1
 =
2
= (X − 1)(X − 4)(X + 1) + 6(X − 1) = (X − 1)((X − 4)(X + 1) + 6) =
= (X − 1)(X2 − 3X + 2) = (X − 1)2(X − 2)
PT (X) = (X − 1)2(X − 2)
b) Determine o polinoˆmio minimal, mT (X), de T ;
Os candidatos a polinoˆmio minimal de T sa˜o:
f(X) = (X − 1)(X − 2) e g(X) = PT (X) = (X − 1)2(X − 2)
Testando f obtemos:1 2 30 4 6
0 −1 −1
−
1 0 00 1 0
0 0 1
 ·
1 2 30 4 6
0 −1 −1
−
2 0 00 2 0
0 0 2
 =
0 2 30 3 6
0 −1 −2
 ·
−1 2 30 2 6
0 −1 −3
 =
0 1 30 0 0
0 0 0

Logo, f(X) = (X − 1)(X − 2) na˜o e´ o polinoˆmio minimal de T . Como so´ resta o polinoˆmio
carater´ıstico de T para ser testado, concluimos que
mT (X) = PT (X) = (X − 1)2(X − 2)
c) T e´ diagonaliza´vel? justifique.
T na˜o e´ diagonaliza´vel, pois seu polinoˆmio minimal, mT (X) = (X−1)2(X−2), na˜o e´ produto
de fatores lineares distintos.
4. Seja α = {v1, v2, v3} uma base de um espac¸o vetorial V e seja T : V → R4 a (u´nica) trans-
formac¸a˜o linear tal que T (v1) = (2, 0, 2,−4), T (v2) = (0,−1, 1, 2) e T (v3) = (5,−4, 2, 1).
a) Mostre que β = {(1, 2, 0, 3), (0,−3, 1, 2), (−1,−1,−5, 1), (−5, 1, 1, 1)} e´ uma base ordenada
ortogonal de R4 (consideramos R4 equipado com o produto interno usual);
Temos que
〈(1, 2, 0, 3), (0,−3, 1, 2)〉 = 1 · 0 + 2 · (−3) + 0 · 1 + 3 · 2 = 0
〈(1, 2, 0, 3), (−1,−1,−5, 1)〉 = 1 · (−1) + 2 · (−1) + 0 · (−5) + 3 · 1 = 0
〈(1, 2, 0, 3), (−5, 1, 1, 1)〉 = 1 · (−5) + 2 · 1 + 0 · 1 + 3 · 1 = 0
〈(0,−3, 1, 2), (−1,−1,−5, 1)〉 = 0 · (−1) + (−3) · (−1) + 1 · (−5) + 2 · 1 = 0
〈(0,−3, 1, 2), (−5, 1, 1, 1)〉 = 0 · (−5) + (−3) · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 = 0
〈(−1,−1,−5, 1), (−5, 1, 1, 1)〉 = (−1) · (−5) + (−1) · 1 + (−5) · 1 + 1 · 1 = 0
Logo, β e´ um conjunto linearmente independente com 4 vetores de R4. Como R4 possui
dimensa˜o igual a 4, segue que β e´ base ordenada ortogonal de R4.
b) Calcule a matriz [T ]αβ .
Temos que [T ]αβ = (aij)4×3 sendo que
T (v1) = (2, 0, 2,−4) = a11(1, 2, 0, 3) + a21(0,−3, 1, 2) + a31(−1,−1,−5, 1) + a41(−5, 1, 1, 1)
3
Como β e´ uma base ortogonal, segue que
a11 =
〈(2,0,2,−4),(1,2,0,3)〉
〈(1,2,0,3),(1,2,0,3)〉 =
−10
14
= −5
7
; a21 =
〈(2,0,2,−4),(0,−3,1,2)〉
〈(0,−3,1,2),(0,−3,1,2)〉 =
−6
14
= −3
7
a31 =
〈(2,0,2,−4),(−1,−1,−5,1)〉
〈(−1,−1,−5,1),(−1,−1,−5,1)〉 =
−16
28
= −4
7
; a41 =
〈(2,0,2,−4),(−5,1,1,1)〉
〈(−5,1,1,1),(−5,1,1,1)〉 =
−12
28
= −3
7
Analogamente,
T (v2) = (0,−1, 1, 2) = a12(1, 2, 0, 3) + a22(0,−3, 1, 2) + a32(−1,−1,−5, 1) + a42(−5, 1, 1, 1)
a12 =
〈(0,−1,1,2),(1,2,0,3)〉
〈(1,2,0,3),(1,2,0,3)〉 =
4
14
= 2
7
; a22 =
〈(0,−1,1,2),(0,−3,1,2)〉
〈(0,−3,1,2),(0,−3,1,2)〉 =
8
14
= 4
7
a32 =
〈(0,−1,1,2),(−1,−1,−5,1)〉
〈(−1,−1,−5,1),(−1,−1,−5,1)〉 =
−2
28
= − 1
14
; a42 =
〈(0,−1,1,2),(−5,1,1,1)〉
〈(−5,1,1,1),(−5,1,1,1)〉 =
2
28
= 1
14
T (v3) = (5,−4, 2, 1) = a13(1, 2, 0, 3) + a23(0,−3, 1, 2) + a33(−1,−1,−5, 1) + a43(−5, 1, 1, 1)
a13 =
〈(5,−4,2,1),(1,2,0,3)〉
〈(1,2,0,3),(1,2,0,3)〉 =
0
14
= 0; a23 =
〈(5,−4,2,1),(0,−3,1,2)〉
〈(0,−3,1,2),(0,−3,1,2)〉 =
16
14
= 8
7
a33 =
〈(5,−4,2,1),(−1,−1,−5,1)〉
〈(−1,−1,−5,1),(−1,−1,−5,1)〉 =
−10
28
= − 5
14
; a43 =
〈(5,−4,2,1),(−5,1,1,1)〉
〈(−5,1,1,1),(−5,1,1,1)〉 =
−26
28
= −13
14
Desta forma, temos que
[T ]αβ =

−5
7
2
7
0
−3
7
4
7
8
7−4
7
− 1
14
− 5
14−3
7
1
14
−13
14

5. Em R2, considere as func¸o˜es 〈 , 〉, [ , ] : R2 × R2 → R definidas por
〈(x, y), (a, b)〉 = 5xb+ 3ya e [(x, y), (a, b)] = xa+ 5yb− 2xb− 2ya
a) Mostre que a func¸a˜o [ , ] define um produto interno sobre R2;
Sejam u = (x, y), v = (a, b) e w = (c, d) elementos arbitra´rios de R2 e α ∈ R.
i) [u+ v, w] = [(x, y) + (a, b), (c, d)] = [(x+ a, y + b), (c, d)] =
= (x+ a)c+ 5(y + b)d− 2(x+ a)d− 2(y + b)c =
= (xc+ 5yd− 2xd− 2yc) + (ac+ 5bd− 2ad− 2bc) =
= [(x, y), (c, d)] + [(a, b), (c, d)] = [u,w] + [v, w]
ii) [αu, v] = [α(x, y), (a, b)] = [(αx, αy), (a, b)] = (αx)a+ 5(αy)b− 2(αx)b− 2(αy)a =
= α(xa+ 5yb− 2xb− 2ya) = α[(x, y), (a, b)] = α[u, v]
iii) [u, v] = [(x, y), (a, b)] = xa+5yb−2xb−2ya = ax+5by−2ay−2bx = [(a, b), (x, y)] = [v, u]
iv) [u, u] = x2 + 5y2 − 2xy − 2yx = (x2 − 4xy + 4y2) + y2 = (x− 2y)2 + y2 ≥ 0
Se u = 0R2 = (0, 0) enta˜o, [u, u] = (0− 2 · 0)2 + 02 = 0
Reciprocamente, se [u, u] = 0 enta˜o, (x− 2y)2 + y2 = 0, ou seja, x− 2y = 0 e y = 0. Logo,
x = y = 0 e portanto u = (x, y) = (0, 0) = 0R2 . Segue portanto que
[u, u] = 0 ⇔ u = 0R2 .
b) A func¸a˜o 〈 , 〉 na˜o define um produto interno sobre R2. Qual(is) propriedade(s) definidora(s)
de produto interno essa func¸a˜o na˜o verifica?
A propriedade iii) na˜o se verifica, pois se tomarmos por exemplo u = (1, 0) e v = (1, 1) teremos
〈u, v〉 = 〈(1, 0), (1, 1)〉 = 5 · 1 · 1 + 3 · 0 · 1 = 5 e
4
〈v, u〉 = 〈(1, 1), (1, 0)〉 = 5 · 1 · 0 + 3 · 1 · 1 = 3
ou seja, existem vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) de R2 tais que 〈u, v〉 6= 〈v, u〉.
A propriedade iv) tambe´m na˜o se verifica, pois tomando w = (1,−1) teremos
〈w,w〉 = 〈(1,−1), (1,−1)〉 = 5 · 1 · (−1) + 3 · (−1) · 1 = −8 < 0
Notamos tambe´m que se u = (1, 0) 6= (0, 0) = 0R2 enta˜o
〈u, u〉 = 〈(1, 0), (1, 0)〉 = 5 · 1 · 0 + 3 · 0 · 1 = 0
5