Exercícios de Matemática Discreta sobre Grupos

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/1
Lista de Exerc´ıcios 11
1. Seja (G, ∗) um grupo, onde G = {a, b, c}. Complete a tabela abaixo. E´
poss´ıvel completa´-la de mais de uma maneira?
∗ a b c
a a b c
b
c
2. Seja (G, ∗) um grupo, onde G = {a, b, c, d}. De quantas maneiras diferentes
podemos completar a tabela abaixo?
∗ a b c d
a a b c d
b
c
d
3. Construa a tabela de um grupo (G, ∗), onde G = {e, a, b, c, d, f} que satisfaz
todas as condic¸o˜es abaixo.
(a) G e´ abeliano.
(b) O elemento neutro e´ e.
(c) a ∗ f = b ∗ d = e.
(d) a ∗ d = b ∗ c = f .
(e) a ∗ c = b ∗ b = d.
(f) c ∗ d = a.
Tambe´m construa uma tabela de um grupo G com seis elementos tal que G
na˜o e´ abeliano.
4. Seja (G, ∗) um grupo. Dado a ∈ G sabemos que a possui um inverso, ou seja,
∃! a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = e = a′ ∗ a, onde e e´ o elemento neutro de ∗ em G.
Denotaremos esse inverso a′ por a−1. Usando essa notac¸a˜o, mostre que:
a) (∀a ∈ G) (a−1)−1 = a.
b) e−1 = e.
c) (∀a, b ∈ G) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.
d) G e´ abeliano ⇐⇒ (∀a, b ∈ G) (a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1.
5. Seja G = Z2 × Z2, onde Z2 = {0, 1} e´ o conjunto das classes de equivaleˆncia
mo´dulo 2. Definimos a seguinte operac¸a˜o interna ∗ em G: (a, b) ∗ (c, d) =
(a + c, b + d). Sabemos que (G, ∗) e´ um grupo.
(a) Complete a tabela de G abaixo.
∗ (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)
(0, 0)
(0, 1)
(1, 0)
(1, 1)
(b) G e´ abeliano?
(c) Determine o inverso de cada elemento de G.
6. Seja G um grupo tal que ∀a, b ∈ G, (ab)2 = a2b2. Mostre que G e´ um grupo
abeliano.
7. Resolva os seguintes problemas envolvendo grupos.
(a) Mostre que, se (G, ·) e´ um grupo com identidade e e ∀x ∈ G, x · x = e,
enta˜o G e´ abeliano.
(b) Mostre que (R,∆) onde x∆y = 3
√
x3 + y3 e´ um grupo abeliano.
8. Seja Q⊗ o conjunto dos nu´meros racionais com denominador ı´mpar. Q⊗ com
o produto usual de frac¸o˜es e´ um grupo ?
9. Para cada inteiro positivo n, o grupo aditivo (Zn,⊕n) consiste no conjunto
Zn = {0n, 1n, . . . , (n− 1)n} das classes de equivaleˆncia mo´dulo n e na operac¸a˜o
⊕n onde an ⊕n bn = (a + b)n, o resto da divisa˜o soma a + b por n. Para o
conjunto C = Z2 × Z3, considere a operac¸a˜o ∗ definida por
(a2, b3) ∗ (c2, d3) = (a2 ⊕2 c2, b3 ⊕3 d3).
(a) Construa a tabela do grupo (C, ∗).
(b) Com relac¸a˜o ao grupo (C, ∗), identifique o elemento neutro e e o elemento
inverso a cada um dos seus elementos.
(c) Determine o conjunto de soluc¸o˜es em C da equac¸a˜o
x3 = (02, 23) ∗ x,
onde x3 = x ∗ x ∗ x.
10. Um subgrupo de um grupo (G, ∗) e´ um grupo (H, ∗) tal que H ⊂ G. Deno-
tamos esse fato por H < G. A ordem do subgrupo H e´ dada pelo nu´mero de
elementos em H.
(a) Determine os subgrupos, e as respectivas ordens, dos grupos apresentados
nas questo˜es 1,2, 3 e 5.
(b) Prove que, se (H1, ∗) e (H2, ∗) sa˜o subgrupos de (G, ∗), enta˜o (H1∩H2, ∗)
tambe´m e´ subgrupo de (G, ∗).
(c) Prove que, se (G, ∗) e´ um grupo em que |G| e´ par, existe um elemento
g ∈ G tal que g e´ diferente da unidade e, mas g−1 = g.
Dado um elemento a ∈ G, denotamos por < a > o subgrupo de G definido
por
< a >=
⋂
a∈H<G
H,
isto e´ < a > e´ a intersec¸a˜o de todos os subgrupos de G contendo A. Esse
subgrupo e´ denominado o subgrupo de G gerado por a.
(d) Determine o subgrupo gerado por c dos grupos das questo˜es 1, 2 e 3.
(e) (Desafio) Se G e´ finito com unidade e, prove que existe r ∈ N tal que
a0 = e, a1 = a, a2 = a ∗ a, . . . , ar−1 sa˜o todos distintos e ar = e.
(f) (Desafio) Para o elemento r do item (e), mostre que
< a >= ({e, a, a2, . . . , ar−1}, ∗).
Um grupo (G, ∗) e´ dito c´ıclico se existe a ∈ G tal que G =< a >.
(g) Verifique se os grupos descritos nas questo˜es 1, 2 e 3 sa˜o c´ıclicos.
(h) Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um grupo c´ıclico com n
elementos.