Lista 1 - Conjuntos Numéricos, Módulo e Intervalos.

Prévia do material em texto

1 
 
Lista 1 – Conjuntos numéricos, Módulo de um número real e Intervalos. 
1) Dados os números seguintes, representá-los na forma de números racionais 
(p/q). 
a) 1,25 R. 5/4 
b) 0,666... R. 2/3 
c) 0,5222... R.47/90 
d) 0,141414... R. 14/99 
e) 2,171717... R. 215/99 
f) 0,003777... R. 17/4500 
g) 0,3515151... R. 58/165 
2) Resolva a inequação. 
5x+3 < 2x + 7 R. S = {x ∈ 𝑅 / 𝑥 < 4/3} 
3) Estude o sinal da expressão x – 3. 
R. x – 3 > 0 ⟺ 𝑥 > 3; 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 ; 𝑥 − 3 < 0 ⟺ 𝑥 < 3 
4) Estude o sinal da expressão 
𝑥+3
𝑥−2
 . 
R. 
𝑥+3
𝑥−2
> 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 2 ; 
𝑥+3
𝑥−2
< 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 3 < 𝑥 < 2 e 
 
𝑥+3
𝑥−2
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3 
5) Resolva as inequações: 
a) 
2𝑥+1
𝑥−4
< 0 R. S={x∈ 𝑅 /−
1
2
< 𝑥 < 4} 
b) 
3𝑥−1
𝑥+2
≥ 5 R. S={x∈ 𝑅/−
11
2
≤ 𝑥 < −2} 
c) 
2𝑥−1
𝑥+1
< 0 R. 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/ −1 < 𝑥 <
1
2
} 
d) 
1−𝑥
3−𝑥
≥ 0 R. 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≤ 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
e) (2𝑥 − 1). (𝑥 + 3) < 0 R. 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 /−3 < 𝑥 <
1
2
} 
f) 
𝑥
2𝑥−3
≤ 3 R. 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 < 3/2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 9/5} 
g) 
𝑥−1
2−𝑥
< 1 R. 𝑆 = {𝑥 ∈/ 𝑥 <
3
2
𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
h) x.(2x-1).(x+1)>0 R. S={x∈ 𝑅/ −1 < 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 1/2} 
i) (2𝑥 − 3). (𝑥2 + 1) < 0 R. S={x∈ R / x< 3/2} 
j) 
𝑥−3
𝑥2+1
< 0 R. S={x ∈ R / x<3} 
2 
 
k) 𝑥2 − 4 > 0 R. S={x∈ R / x<-2 ou x>2} 
l) 
𝑥2−9
𝑥+1
< 0 R. S={x∈ R / x<-3 ou -1< x < 3} 
m) 
𝑥2−4
𝑥2+4
> 0 R.. S={x∈ R / x<-2 ou x > 2} 
n) 𝑥2 ≥ 𝑟2, 𝑟 > 0, 𝑟 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑜. S={x∈ R / x≤-r ou x≥ r} 
o) 𝑥2 < 𝑟2, 𝑟 > 0, 𝑟 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑜. R. S={x∈ R / -r<x<r} 
p) (𝑥 − 3)(𝑥2 + 5) > 0 R. S = {x∈ R / x>3} 
 
6) Divida 𝑥3- 𝑎3 por 𝑥 − 𝑎 e conclua que 𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
7) Verifique as identidades: 
a) 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) 
b) 𝑥4 − 𝑎4 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3) 
c) 𝑥5 − 𝑎5 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥4 + 𝑎𝑥3 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4) 
d) 𝑥𝑛-𝑎𝑛=(x-a)(𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑥𝑛−2 + 𝑎2𝑥𝑛−3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2𝑥 + 𝑎𝑛−1 
8) Simplifique: 
a) 
𝑥2−1
𝑥−1
 R. (x+1) 
b) 
4𝑥2−9
2𝑥+3
 R. (2x-3) 
c) 
𝑥3−8
𝑥2−4
 R. 
𝑥2+2𝑥+4
𝑥+2
 
d) 
1
𝑥2
−1
𝑥−1
 R. −
𝑥+1
𝑥2
 
e) 
1
𝑥
−1
𝑥−1
 R. −
1
𝑥
 
f) 
1
𝑥2
−
1
9
𝑥−3
 R. −
𝑥+3
9𝑥2
 
g) 
1
𝑥
−
1
𝑝
𝑥−𝑝
 R. −
1
𝑥𝑝
 
h) 
1
𝑥2
−
1
𝑝2
𝑥−𝑝
 R. −
𝑥+𝑝
𝑥2𝑝2
 
i) 
𝑥4−𝑝4
𝑥−𝑝
 R. (𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑝2𝑥 + 𝑝3) 
j) 
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ
 R. 2𝑥 + ℎ 
3 
 
k) 
(𝑥+ℎ)3−𝑥3
ℎ
 R. (3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2) 
l) 
(𝑥+ℎ)2−(𝑥−ℎ)2
ℎ
 R. 4x 
9) Fatore os polinômios. 
Lembrete 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎 
 𝑒 𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
a) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 R. (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 
b) 𝑥2 − 𝑥 − 2 R. (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 
c) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 R. (𝑥 − 1)2 
d) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 R. (𝑥 − 3)2 
e) 2𝑥2 − 3𝑥 R. 𝑥(2𝑥 − 3) 
f) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 R. (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) 
g) 𝑥2 − 25 R. (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) 
h) 3𝑥2 + 𝑥 − 2 R. (3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 
i) 4𝑥2 − 9 R. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) 
j) 2𝑥2 − 5𝑥 R. x(2x-5) 
10) Resolva as equações. 
a) |𝑥 + 1| = 3 R. x=2 ou x=-4 
b) |2𝑥 − 1| = 1 R. x=1 ou x=0 
c) |𝑥 − 2| = −1 R. não admite solução 
d) |2𝑥 + 3| = 0 R. x= -3/2 
e) |𝑥| = 2𝑥 + 1 R. x = -1/3 
f) |5 − 2𝑥| = 1 R. x=2 ou x=3 
g) |𝑥2 − 5𝑥 + 6| = 0 R. x=2 ou x=3 
h) |
𝑥−2
3
| = 2 R. x= -4 ou x= 8 
i) |2𝑥− 3| = 3 − 𝑥 R. x=0 ou x=2 
j) |𝑥|2 − |𝑥| − 12 = 0 R. x=-4 ou x=4 
k) |−𝑥 + 1| = 𝑥 − 1 R. x≥1 
l) |𝑥 − 1/3| = 𝑥 − 1/3 R. x≥1/3 
m) 4|𝑥 − 1| − 5|2𝑥 − 4| = 2 R. x=13/7 ou x=7/3 
 
4 
 
11) Resolva as inequações: 
a) |𝑥| ≤ 1 R. S={x∈ R / -1 ≤ x ≤ 1} 
b) |2𝑥 − 1| < 3 R. S={x∈ R / -1 < x < 2} 
c) |3𝑥 − 1| < −2 R. não admite solução 
d) |2𝑥2 − 1| < 1 R. S={x∈ R / -1 < x < 1 e x≠ 0} 
e) |𝑥| > 3 R. S={x∈ R / 3 < x < -3} 
f) |𝑥 + 3| > 1 R. S={x∈ R / -2 < x < -4} 
g) |2𝑥 − 3| > 3 R. S={x∈ R / 3 < x < 0} 
h) |2𝑥 − 1| < 𝑥 S={x∈ R / 1/3 < x < 1} 
i) |𝑥 + 1| < |2𝑥 − 1| R. S={x∈ R / 2 < x < 0} 
j) |𝑥 − 3| < 𝑥 + 1 R. S={x∈ R / x >1} 
k) |𝑥 − 2| + |𝑥 − 1| > 1 R. S={x∈ R / x>2 ou x<1} 
12) Expresse cada uma das soluções abaixo em notação de intervalos: 
a) {x∈ R / |2𝑥 − 3| ≤ 1} R. [1 , 2] 
b) {x∈ R / 3x+1 < x/3} R. [ -∞ , -3/8[ 
c) 𝑥2 − 3𝑥+2<0 R. ]1 , 2[ 
d) 
2𝑥−1
𝑥+3
> 0 R. ]-∞ , -3[ U ]1/2 , ∞[ 
e) 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 R. ]-∞ , ∞[ 
f) 𝑥2 − 9 ≤ 0 R. [-3 , 3]