70351-Aula_de_derivadas[1]

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Cálculo I
PROFESSOR: Manoel Wallace 
Derivadas
Slide Slide 22
Derivada
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de 
variação instantânea de uma função, o qual está presente no 
cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da 
taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de 
crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade 
infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de 
corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar 
inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a 
medida desta variação se faz necessária em um determinado 
momento. 
Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a 
definição matemática da derivada de uma função em um ponto:
Slide Slide 33
Derivada
Definição
Aplicando a definição da 
derivada
 Encontre a derivada usando a definição:
Slide Slide 44
     
h
xfhxfxf
h


 0
lim'
a) f(x) = 3x + 2
      33lim3lim'3232332323
00




 hh h
hxf
h
h
h
xhx
h
xhx
b) f(x) = 1 – 4x2
     
h
xhxhx
h
xhx 22222 412414141 


h
hxh
h
xhxhx 2222 48414841 


    x
h
hxh
h
hxhxf
hh
848lim48lim'
0
2
0






A derivada de uma função f em 
um ponto (x0, y0) é o coeficiente 
angular da reta tangente a curva 
da função f em (x0, y0).
Slide Slide 55
A reta Tangente Slide Slide 66
A equação da reta é dada por
)=
Slide Slide 77Derivada
Regras de Derivação
Slide Slide 88Derivada
Regras de Derivação
Slide Slide 99Derivada
Regras de Derivação
Exemplos:
a)
Slide Slide 1010Derivada
Exemplos:
b)
c)
Slide Slide 1111Derivada
Exemplos:
Slide Slide 1212Derivada
Exemplos:
Slide Slide 1313Derivada
Exemplos:
Derivada Slide Slide 1414
 24 23) xsenxyj 
          
   2523
24232424
2cos12212
4.2cos.3212´2.32´.3
xxxsenxy
xxxxsenxxsenxxsenxy


Exemplos:
Aplicações de derivada
 Fazendo pela definição temos:
Slide Slide 1515
21)() 0  xparax
xfc
     
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
limlim'
00





 
    200
1limlim)('
xxhxh
hxx
xhxh
hxxxf
hh








Logo  
4
1
2
12' 2 f
Aplicações de derivada
1 - Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A 
quantidade de água no reservatório, em litros, horas após o 
escoamento ter começado é dada por .
Determinar:
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório 
durante as 8 primeiras horas de escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 5 horas 
de escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 3 primeiras horas 
de escoamento. 
Slide Slide 1616
Exemplos:
2)28(20 tV 
Aplicações de derivada
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 8 
primeiras horas de escoamento.
Slide Slide 1717
      1568011202056784202820 222  tttVttVtV
  800015680811208208 2 V
h
t
v /960
8
7680
08
156808000 





b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 5 horas de 
escoamento.
        hVVVt /9205'11202005'11205405'112040tV' 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 3 primeiras horas de 
escoamento.    30 VV 
            12500362520325203328203;156800 22  VVVVV
        318030125001568030  VVVV