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A´lgebra Linear
Unifesp - 2o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Determine as componentes de x2 na base {1, x+1, x2−2x} ∈ P2 Resposta: (−2, 2, 1)
2. Complete o conjunto indicado para obter uma base do R3:
(a) {(1, 0, 1), (2, 3, 1)} Resposta: Adicione (0, 0, 1)
(b) {(3, 6, 1), (1, 2, 3)} Resposta: Adicione (0, 1, 0)
3. Verifique se no espac¸o das func¸o˜es f : R → R o conjunto dado e´ linearmente inde-
pendente:
(a) {ex, cos(x)} Resposta : L.I.
(b) {1, sen2(x), cos(2x)} Resposta: L.D.
4. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o espac¸os vetoriais:
(a) V =

 a b c0 d e
0 0 f
 |a, b, c, d, e, f ∈ R
 Resposta:sim
(b) V = {(x, y)|x2 + y2 = 1, x, y ∈ R2} Resposta: na˜o.
5. Mostre que o conjunto de toda func¸a˜o y ∈ C2(a, b), tal que
y′′ + y = 0
e´ um subespac¸o vetorial em x ∈ (a, b).
6. Verifique se
(a) H = {(x, y, z) ∈ R3|x = 2z}
(b) H = {(x, y, z) ∈ R3|(x− y)(y − z) = 0}
sa˜o subespac¸os vetoriais de R3. Resposta: sim, na˜o
7. Determine a dimensa˜o e uma base do espac¸o linear S = {(1, 2), (2, 1), (1,−1)} Res-
posta: 2 e {(1, 2), (2, 1)}
8. Seja
F = {(x, y, z)|x + 2y − z = 0} e G = {(x, y, z)|x + y = 0}
1
(a) Determine a dimensa˜o e a base de, respectivamente, F e G. Resposta: 2 e
{(1, 0, 1), (0, 1, 2)} e 2 {(1,−1, 0), (0, 0, 1)}
(b) Determine a dimensa˜o e base de F+G Resposta: 3 e {(1, 0, 1), (0,−1,−1), (0, 0, 1)}
(c) Determine a dimensa˜o e base de F ∩G Resposta: e {(1, 0, 1), (0, 1, 2)}
9. Seja o conjunto
v =
[
1
1
]
e v =
[
1
2
]
e´ uma base para o espac¸o R2? Resposta: sim
10. Determine os valores de a para os quais o conjunto {(1,−1, 3), (1, 1, a), (1, 0,−1)} e´
uma base do R3. Resposta: a 6= −5
11. Seja V = R2. Considere as bases:
B = {(1, 1), (0, 1)} e B′ = {(−1, 1), (2, 0)}.
Ache a matriz de mudanc¸a de base de B para B′ e de B′ para B. Resposta:
P =
[ −1 2
2 −2
]
, P−1 =
[
1 1
1 1
2
]
12. Exerc´ıcios do Livro ”A´lgebra Linear”(Boldrini, Costa, Figueiredo e Wetzler): Sec¸a˜o
4.8, pa´ginas 129 a 141 - Exerc´ıcios 18, 21 e 25
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