Apostila - Análise Combinatória e Probabilidade

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PET 1 – Semana 1
Análise Combinatória
Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.
Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades.
Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades.
Exemplo:
1) João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico.
Diagrama de árvore
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12.
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 
3 x 4 = 12
12 possibilidades.
Fatorial
Fatorial é um número natural inteiro positivo, o qual é representado por n!
O fatorial de um número é calculado pela multiplicação desse número por todos os seus antecessores até chegar ao número 1. Note que nesses produtos, o zero (0) é excluído.
O fatorial é representado por:
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3)!
Exemplo:
 (lê-se fatorial de 5)
Ou
5! = 5.4.3.2.1 = 120 (lê-se fatorial de 5 também)
Permutação Simples
Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem.
Exemplo:
Permutação simples das letras P, Q e R
PQR	PRQ	QPR	QRP	RPQ	RQP
Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1
Exemplos:
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
P = 4! = 4.3.2.1 = 24
2) De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução:
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
 
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades
 
b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução:
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.
P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades
Permutação com Repetição
A permutação com repetição é um tipo de permutação em que existem elementos repetidos.
Exemplo:
Calcular a quantidade de permutações com repetição que podem ser formadas com as letras da palavra MATEMÁTICA:
A letra A aparece 3 vezes.
A letra M aparece 2 vezes.
A letra T aparece 2 vezes.
Arranjo Simples
Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer sequência formada por p elementos do conjunto.
A ordem importa.
n = quantidade de elementos do conjunto
k = quantidade de elementos por arranjo
n ≥ k
Exemplo:
De quantas maneiras 5 meninos podem se sentar em um banco que tem apenas 3 lugares?
n = 5
p = 3
Ou
60 maneiras
 Combinação Simples
A combinação simples é um entre os agrupamentos estudados na análise combinatória. Conhecemos como combinação a contagem de todos os subconjuntos de k elementos que podemos formar de um conjunto de n elementos.
A ordem não importa.
n = quantidade de elementos do conjunto
k = quantidade de elementos por arranjo
n ≥ k
Exemplo:
De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar um time de basquete com 12 atletas que jogam em qualquer posição?
n = 12
k = 7
792 maneiras.
Probabilidade
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral (Ω). Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.
Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo.
Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível.
 ou
Exemplo:
No lançamento de uma moeda perfeita, qual a probabilidade de sair cara?
Espaço amostral: Ω = {Cara, Coroa}  n(Ω) = 2
Evento A: ocorrência de cara  A = {Cara}  n(A) = 1
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