GUIA DE ESTUDOS - MÉTODOS E QUANTITATIVOS - AULA 5 - PARTE 1

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AULA 5 
CORRELAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
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CORRELAÇÃO 
 
 Definição: 
 O termo correlação significa relação em dois sentidos (co + 
 relação), e é usado em estatística para designar a força que 
 mantém unidos dois conjuntos de valores. 
Exemplos: 
 Peso x Idade, 
 Consumo x Renda, 
 Altura x Peso de um indivíduo. 
 
OBS1: A verificação da existência e do grau de relação entre as variáveis é o 
 objeto de estudo da correlação. 
 
OBS2: Uma vez caracterizada esta relação, procura-se descrevê-la sob forma 
 matemática, através de uma função. A estimação dos parâmetros 
 dessa função matemática é o objeto da regressão. 
 
Os pares de valores das duas variáveis poderão ser colocados num diagrama 
cartesiano chamado “diagrama de dispersão”. A vantagem de construir um 
diagrama de dispersão está em que, muitas vezes sua simples observação já 
nos dá uma ideia bastante boa de como as duas variáveis se relacionam. Uma 
medida do grau e do sinal da correlação é dada pela covariância entre as duas 
variáveis aleatórias X e Y que é uma medida numérica de associação linear 
existente entre elas, e definida por: 
 Cov(X, Y) = 1 . ∑x.y - ∑x.∑y 
 n n 
É mais conveniente usar para medida de correlação, o coeficiente de 
correlação linear de Pearson, como estimador de xy, definido por: 
 
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rxy = Cov (x,y) = Sxy 
 σx . σy Sxx . Syy e 
 
Sxx = ∑x2 - (∑x)2 ; Syy = ∑y2 – (∑y)2 
 n n 
 
sendo: 
n = número de pares das observações. 
 
 
CORRELAÇÃO LINEAR 
 
 Definição: 
 É toda análise de correlação (ρ), a qual utilizamos duas 
variáveis quantitativas da amostra, para verificarmos se existe correlação entre 
elas. O grau de correlação é sintetizado e conhecido pelo coeficiente de 
correlação de Pearson(r). 
 
FÓRMULA: 
 
r = n.∑Xi.Yi – (∑Xi).(∑Yi) 
 [ n.∑Xi2 – (Xi)2] . [ n.∑Yi2 – (∑Yi)2 ] 
Onde: 
 X = Variável independente; 
 Y = Variável dependente; 
 n = Número de elementos observados. 
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OBS: Uma população que tenha duas variáveis não correlacionadas 
 linearmente pode produzir uma amostra com coeficiente de correlação 
 diferente de zero. Para testar se a amostra foi ou não retirada de uma 
 população de coeficiente de correlação não nulo entre duas variáveis, 
 precisamos saber qual é a distribuição amostral da estatística r. 
 
COEFICIENTE DE RELAÇÃO LINEAR 
 
 Definição: 
 O coeficiente de correlação rxy linear é um número puro que 
 varia de –1 a +1 e sua interpretação dependerá do valor 
 numérico e do sinal, como segue: 
 rxy = -1 Correlação perfeita negativa; 
-1 < rxy < 0 Correlação negativa; 
 rxy = 0 Correlação nula; 
0 < rxy < 1 Correlação positiva; 
rxy = 1 Correlação perfeita positiva; 
 0,2 < rxy < 0,4 Correlação fraca; 
 0,4 < rxy < 0,7 Correlação moderada; 
 0,7 < rxy < 0,9 Correlação forte; 
 
Resumidamente, temos: 
1º) r ≥ 0,5 (forte correlação positiva); 
2º) r < 0,5 (fraca correlação positiva); 
3º) r ≥ - 0,5 (forte correlação negativa); 
4º) r < - 0,5 (fraca correlação negativa). 
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ANÁLISE DO DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
O diagrama de dispersão mostrará que a correlação será tanto mais forte 
quanto mais próximo estiver o coeficiente de –1 ou +1, e será tanto mais fraca 
quanto mais próximo o coeficiente estiver de zero. 
a) CORRELAÇÃO PERFEITA NEGATIVA (RXY = -1): 
Quando os pontos estiverem perfeitamente alinhados, mas em sentido 
contrário, a correlação é denominada perfeita negativa. 
 
b) CORRELAÇÃO NEGATIVA (-1 < RXY < 0): 
A correlação é considerada negativa quando valores crescentes da variável 
X estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou valores 
decrescentes de X associados a valores crescentes de Y. 
 
c) CORRELAÇÃO NULA (RXY = 0): 
Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, quando os 
valores de X e Y ocorrerem independentemente, não existe correlação 
entre elas. 
 
d) CORRELAÇÃO POSITIVA (0 < RXY < 1): 
 Será considerada positiva se os valores crescentes de X estiverem 
associados a valores crescentes de Y. 
 
e) CORRELAÇÃO PERFEITA POSITIVA (RXY = 1): 
A correlação linear perfeita positiva corresponde ao caso anterior, só que 
os pontos (X, Y) estão perfeitamente alinhados. 
 
f) CORRELAÇÃO ESPÚRIA: 
Quando duas variáveis X e Y forem independentes, o coeficiente de 
correlação será nulo. Entretanto, algumas vezes, isto não ocorre, podendo, 
assim mesmo, o coeficiente apresentar um valor próximo de –1 ou +1. 
Neste caso a correlação é espúria. Algumas situações que podem se 
apresentar os diagramas de dispersão. 
 100 
 
 
 
DIAGRAMAS DE DISPERSÃO LINEAR 
 
 
 Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
OBS: Se x e y variam em sentidos contrários,existe correlação negativa entre 
 as variáveis. Essa correlação é tanto maior quanto menor é a dispersão 
 dos pontos. 
 
 
 
 
 Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
OBS: Se x cresce e y varia ao acaso,não existe correlação entre as variáveis 
 ou o que é o mesmo entre elas pé nula. 
 
 
 
 
101 
 
 
 
 
 
Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
 
r SQUARE 
 
 Definição: 
 Determina o impacto da variável independente do X no 
 comportamento da variável dependente Y. 
 
OBS: A análise r Square é o resultado do coeficiente de correlação de Pearson 
 ao quadrado(r2) 
 
 
Exemplo: 
 Seja r = 0,92; onde X é o produto derivado do petróleo e Y é o 
 resíduo deste material,logo podemos deduzir que existe uma forte 
 correlação positiva entre as duas variáveis(X e Y),pois: 
 
 
 r Square = r2 r Square = (0,92)2 rSquare = 0,8464 
 
Logo podemos deduzir que: 
 
 0,8464 x 100% = 84,64 % é referente ao impacto da produção de resíduos, 
sendo que o restante (15,36%) retrata outras variáveis que também 
determinam esse impacto. 
 
102 
 
 
 
CONCLUSÕES FINAIS: 
 
 
 Correlação não é o mesmo que causa e efeito. Duas variáveis podem 
estar altamente correlacionadas e, no entanto, não haver relação de 
causa e efeito entre elas. 
 
 Se duas variáveisestiverem amarradas por uma relação de causa e 
efeito elas estarão, obrigatoriamente, correlacionadas. 
 
 O estudo de correlação pressupõe que as variáveis X e Y tenham uma 
 distribuição normal. 
 
 A palavra simples que compõe o nome correlação linear simples, indica 
que estão envolvidas no cálculo somente duas variáveis. 
 
 O coeficiente de correlação linear de Pearson mede a correlação em 
 estatística paramétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Para estudar a poluição de um rio, um cientista mediu a concentração de um 
determinado composto orgânico (Y) e a precipitação pluviométrica na semana 
anterior (X): 
 
 
 
 
 
a) Existe alguma relação entre o nível de poluição e a precipitação 
pluviométrica? Informa-se que r= 0,89. Teste sua significância, ao nível de 
5%. , 
02) Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentração 
de determinada substância no sangue está bem calibrado. Para isto, ele tomou 
15 amostras de concentrações conhecidas (X) e determinou a respectiva 
concentração através do instrumento (Y), obtendo: 
 
X 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0 
Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1 
Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 
 
03) (AFTN-96) Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às 
variáveis x e y, porventura relacionadas: 
Valores das variáveis x e y relacionadas 
X y x2 y2 xy 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
5 
7 
12 
13 
18 
20 
1 
4 
9 
16 
25 
36 
25 
49 
144 
169 
324 
400 
5 
14 
36 
52 
90 
120 
21 75 91 1.111 317 
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as 
variáveis x e y. 
a) 0,903 b) 0,926 c) 0,947 d) 0,962 e)0,989 
 
X Y 
0,91 0,10 
1,33 1,10 
4,19 3,40 
2,68 2,10 
1,86 2,60 
1,17 1,00 
104 
 
GABARITO: 
01 – Temos que verificar a significância do coeficiente através da fórmula: 
 tc = r. n - 2 
 1 – r2 
 Fazendo: 
 
 tc = 0,89 . 6 – 2 = 3,86 
 1 – (0,89)2 
 
 Portanto: tc = 3,86. O valor crítico de t para n-2 = 4 graus de liberdade, e 5% de 
nível de confiança é 2,78. Como o valor de t é superior ao valor crítico,concluí mos 
que X e Y se correlacionam-se. 
 
02- X = 6 e Y = 6,040 e r = 0,996 
 
03- Devemos utilizar a fórmula: 
YX
YX
SS
YXCov
r
.
),(
, 
 
 Calculando a Covariância: 
YXYXyxCov ..),( 
. 
 
83,52
6
317.
. 

n
YiXi
YX
 ; 
5,3
6
21


n
Xi
X
 ; e 
5,12
6
75


n
Yi
Y
 
 Logo: Cov(x,y)=52,83-(3,5).(12,5)  Cov(x,y)=9,08 
 
Calculando as Variâncias de X e de Y: 
 
 222 XXS X 
  
  91,225,1216,155,3
6
91 22 





XS
 e 
 
 222 YYS Y 
  
  91,2825,15616,1855,12
6
1111 22 





YS
 
 Calculando os Desvios Padrões de X e de Y: 
 
XX SS
2
  SX= 
91,2
 e 
 
YY SS
2
 Sy= 
91,28
 
 
Calculando a Correlação: 
YX
YX
SS
YXCov
r
.
),(
, 
  
989,0
172,9
08,9
128,84
08,9
91,28.91,2
08,9
, YXr
 
 
 Resposta: 0.989 (letra E)