PA

Prévia do material em texto

A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que utilizamos para descrever o 
comportamento de certos fenômenos na matemática. Em uma PA, o crescimento ou 
decrescimento é sempre constante, isto é, de um termo para o outro, a diferença será 
sempre a mesma, e essa diferença é conhecida como razão. 
 
Como consequência do comportamento previsível de uma progressão, é possível 
descrevê-la a partir de uma fórmula conhecida como termo geral. Por esse mesmo motivo, 
é possível também calcular a soma dos termos de uma PA utilizando uma fórmula 
específica. 
O que é uma PA? 
Entendendo que uma PA é uma sequência de termos em que a diferença entre um termo e 
o seu anterior é sempre constante, para descrever essa progressão a partir de uma fórmula, 
precisamos encontrar o termo inicial, ou seja, o primeiro termo de uma progressão, e a sua 
razão, que é essa diferença constante entre os termos. 
 
De modo geral, a PA é escrita da seguinte forma: 
 
(a1, a2,a3, a4,a5, a6,a7, a8) 
 
O primeiro termo é o a1 e, a partir dele, ao somar a razão r, vamos encontrar o termos 
sucessor. 
 
a1 + r = a2 
a2 + r = a3 
a3 + r = a4 
 
... 
 
Logo, para escrever a progressão aritmética, precisamos saber quem é o seu primeiro 
termo e qual a sua razão. 
 
Exemplo: 
 
Vamos escrever os seis primeiros termos de uma PA sabendo que seu primeiro termo é 4 e 
sua razão é igual a 2. Conhecendo a1 =4 e r = 2, concluímos que essa progressão começa 
em 4 e vai aumentando de 2 em 2. Sendo assim, podemos descrever os seus termos. 
 
a1 = 4 
 
a2 = 4+ 2 = 6 
 
a3 = 6 + 2 = 8 
 
a4 = 8 + 2 = 10 
 
a5= 10 + 2 = 12 
 
a6 = 12 + 2 =14 
 
Essa PA é igual a (4,6,8,10,12,14 …). 
 
Termo geral de uma PA 
 
Descrever a PA a partir de uma fórmula facilita que encontremos qualquer um dos seus 
termos. Para encontrar um termo qualquer de uma PA, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
an=a1 + r·(n-1) 
 
 
N→ é a posição do termo; 
 
a1→ é o primeiro termo; 
 
r → razão. 
 
Exemplo: 
 
Encontre o termo geral da PA (1,5,9,13,…) e o 5º, 10º e 23º termo. 
 
1º passo: encontrar a razão. 
 
Para encontrar a razão, basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos: 5 – 1 = 4; 
então, nesse caso, r = 4 . 
 
2º passo: encontrar o termo geral. 
 
Como sabemos que a1= 1 e r = 4, vamos substituir na fórmula. 
 
an=a1 + r (n - 1) 
 
an=1 + 4 (n - 1) 
 
an=1 + 4n - 4 
 
an= 4n – 3 → termo geral da PA 
 
3º passo: conhecendo o termo geral, vamos calcular o 5º, 10º e 23º termo. 
 
5º termo → n = 5 
an=4n – 3 
a5=4·5 – 3 
a5=20 – 3 
a5=17 
 
10º termo → n = 10 
an=4n – 3 
a10=4·10 – 3 
a10=40 – 3 
a10=37 
 
23º termo → n = 23 
an=4n – 3 
a23=4·23 – 3 
a23=92 – 3 
a23=89 
 
Tipos de progressões aritméticas 
Existem três possibilidades para uma PA. Ela pode ser crescente, decrescente ou 
constante. 
 
Crescente 
Como o nome sugere, uma progressão aritmética é crescente quando, à medida que os 
termos vão aumentando, o valor deles também aumenta, ou seja, o segundo termo é maior 
que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo e assim sucessivamente. 
 
a1 0. 
 
Exemplos: 
 
(2,3,4,5,6,7,8,9 …) 
(0,5,10,15,20,25...) 
 
Decrescente 
Como o nome sugere, uma progressão aritmética é decrescente quando, à medida que os 
termos vão aumentando, o valor deles vai diminuindo, ou seja, o segundo termo é menor 
que o primeiro, o terceiro é menor que o segundo e assim sucessivamente. 
 
a1 > a2 > a3 > a4 > …. >an 
 
Para que isso aconteça, a razão precisa ser negativa, ou seja, uma PA é crescente se r