Unidade 5

Prévia do material em texto

52 
 
 
53 
 
5.1 Potencial Elétrico 
Potencial elétrico de cargas puntiformes 
Olá! 
Sejam bem vindos a nossa aula de física III. 
Executaram as tarefas de acompanhamento recomendadas no final da aula anterior? 
Caso não tenha feito sugiro que retorne e o faça. 
Caso tenha feito vamos seguir adiante! 
 
Vamos começar relembrando o que vimos na ultima aula. 
 
Na última aula nos estudamos o comportamento do campo elétrico criado por uma distribuição 
continua de carga. Aplicamos a lei de Coulomb na forma integral para determinar o campo 
elétrico de uma densidade linear de carga. Resolvemos um exemplo de calculo de fluxo de 
campo elétrico e a partir disso chegamos ao conceito da lei de Gauss e resolvemos facilmente o 
caso do campo elétrico gerado por uma casca esférica uniformemente carregada. 
Na aula de hoje. Vamos estudar as particularidades do potencial elétrico e como a partir dele 
conseguimos calcular o campo elétrico. 
 
 Energia potencial elétrica 
A energia potencial elétrica é o tipo de energia que fica armazenada no campo elétrico. A 
variação dessa energia é igual ao trabalho realizado por uma força para mover uma carga de 
prova na direção de uma carga fonte. 
 
 
 
Figura 5.1 
No ponto a (Figura 5.1) existe certa quantidade de energia armazenada que é responsável por 
transportá-la até o infinito caso ela seja abandonada nesse local. O mesmo ocorre se a carga 
estiver sobre o ponto b. A diferença dessa energia é igual ao trabalho necessário para mover a 
carga de prova do ponto a para o ponto b e é dada pela equação 5.1 
 a 
 Q b q 
54 
 
WUUU ab  (5.1) 
Onde U é a energia potencial, U é a variação da energia e éW o trabalho realizado pela força 
elétrica. Se a carga a estiver no infinito a diferença de energia será igual à energia potencial no 
ponto b ( equação 5.2). 
. WVUb  ( 5.2) 
Como trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento, temos: 
  FxddxFdFU 










cos 
Como F é a força elétrica 
 
d
q
Q
U
d
d
q
QQEdU
00 4²4
1







 
d
q
V
Q
U
04
 (5.3) 
 
A equação 5.3 nos fornece o potencial elétrico gerado por uma carga q em qualquer ponto a uma 
distancia d. A unidade de medida do potencial elétrico é: 
 
)(
)(
)(
Vvolt
CCoulomb
JJoule
Q
U
V 
 
 
Para o potencial elétrico, também vale o principio da superposição. Assim para uma configuração 
com duas ou mais cargas, basta calcular o potencial elétrico sobre o ponto é fazer uma soma 
algébrica dos resultados (equação 5.4). Lembrando, o potencial elétrico é um escalar. 
i
i
n
i d
q
V
01 4


 (5.4) 
55 
 
Exemplo 5.1: 
A figura 5.2 representa uma configuração de cargas discretas. Calcule o potencial grado no ponto 
P. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
30
3
20
2
10
1
0 4444 d
Q
d
Q
d
Q
d
q
V

 









3
3
2
2
1
1
04
1
d
Q
d
Q
d
Q
V

 













mx
Cx
mx
Cx
mx
Cx
V
2
6
2
6
2
6
0 103
104
105
103
104
102
4
1

 








m
Cx
m
Cx
m
Cx
C
Nm
xV
444
9 1033,1106,0105,0
²
²
1099,8 
Vx
m
Cx
C
Nm
xV 5
4
9 1009,11
1023,1
²
²
1099,8 







 
 
 
 Z(cm) 
 
 3 Q1=2μC p 
 
 
 Q3=4μC 
 
 Q2=-3μC 4 Y(cm) 
Resolução: 
O potencial elétrico no ponto P é dado pela soma 
algébrica dos potenciais de cada carga sobre aquele 
ponto. 
Basta resolver a equação 5.3 para cada carga e depois 
somar. 
Note que: 
 A distancia da carga 1 até o ponto P é de 0,04m. 
 A distancia da carga 3 até o ponto P é de 0,03m. 
 A distancia da carga 2 até o ponto P é de 0,05m. 
 
56 
 
Superfícies Equipotenciais. 
Uma superfície equipotencial pode ser real ou imaginaria (gaussiana). Sobre essa superfície o 
potencial elétrico é sempre o mesmo. Como vimos na seção anterior o potencial elétrico cai 
com o inverso da distancia a partir de uma distribuição de carga. Observe a figura 5.3. 
 
 
 
 
 
 5.2 Potencial Elétrico de uma Distribuição Continua de Carga 
Como vimos, o potencial elétrico de uma distribuição discreta de carga é dada pelo somatório de 
todos os potenciais individuais. Para uma distribuição continua de carga substituímos a soma 
discreta por uma integral (equação 5.5) 
d
q
V
n
i 01 4


 
 
d
dq
V
04 
 
d
dq
V 
04
1

 
d
dv
V

 
04
1
 (5.5) 
 O potencial elétrico no ponto P3 é maior que 
nos pontos P1 e P2. 
 
 Nos pontos P1 e P2 o potencial elétrico possui o 
mesmo valor. 
 
P1 
P2 
P3 
57 
 
A equação 5.5 serve para calcular o potencial gerado por cargas que se distribuem 
uniformemente pelo volume do material. Notem que substitui o termo dq pelo correspondente da 
densidade volumétrica de carga. O mesmo pode ser feito com as outras distribuições de carga 
(linear e superficial). 
 
Exemplo 5.2 
Calcule o potencial elétrico a uma altura z acima do centro de um disco de plástico de raio R que 
possui uma densidade de corrente σ depositada sobre a face superior. 
 
 
d
da
V

 
04
1
 
 
²²
2
4
1
0
0 rz
drr
V
R

 


 
Integrando por substituição. 
 zRz
rz
drr
V
R


  ²²
2²²2 0
0
0 



 
Notem que, para utilizar esse método de resolução é simplesmente substituir as variáveis da 
equação. 
Resolução: 
Para esse problema devemos adaptar a equação 5.5 
para uma distribuição superficial de carga. Assim temos: 
drrdadq  2 
²² rzd  
 
58 
 
Esse resultado para o potencial pode ser utilizado para calcular o potencial de qualquer problema 
desse modelo, basta substituir as variáveis do problema pelos valores atribuído por cada 
problema em particular. 
 
5.3 Potencial Elétrico a partir do Campo Elétrico 
Considere uma carga Q sendo deslocada de um ponto inicial (i) para um ponto final (f) em uma 
região onde o campo elétrico não é uniforme como ilustrado na figura 5.5. 
 
Figura 5.5 
 
Neste caso ao trabalho realizado pela força é: 

 sdFdW 
Substituindo a força elétrica, temos: 

 sdEQdW , assim: 

  sdEQW
f
i
, passando a carga para o primeiro membro: 

  sdEVV
Q
W f
i
if , se o potencial no ponto inicial for nulo, temos: 

  sdEV
f
i
 (5.6 ) 
 
59 
 
Exemplo 5.4 
Considere o resultado do campo elétrico obtido no exemplo 3.3: 
 ²4 0a
q
E


, para pontos externos. 
 
 OE  Para pontos internos. 
 
Usando o infinito como referencia determine o potencial elétrico dentro e fora da esfera (figura 
5.6). 
Potencial externo: 
 
 
 
 
 
 
dr
r
q
V
d
  ²4
1
0
, Aqui substitui a distancia a por r e ds por dr e o raio da esfera porR. 
Resolvendo essa integral, temos: 
d
r
q
V








04
1

 
 
r
q
d
q
V
00 4
1
4
1

 , note que esse é o mesmo potencial gerado por uma 
carga puntiforme. 
 
 
a 
r 
d 
 
60 
 
Potencial interno 
 
 
 
 
 


  sdEsdEV
r
R
R
 
rdrd
r
q
V
r
R
R
  0
²4 0 
R
q
V
04

, note que o potencial elétrico no interior da esfera é constante. 
 
Campo Elétrico a partir do Potencial 
 
Na seção anterior, nos vimos que é possível determinar o potencial elétrico se conhecermos o 
campo elétrico na região. Também é possível determinar o campo elétrico se conhecermos o 
potencial. Por definição o campo elétrico é igual ao gradiente do potencial elétrico (equação 5.8). 
z
dz
dV
j
dy
dV
i
dx
dV
VE 

, em coordenadas retangulares. (5.8) 
 
 
 
r 
R 
 
61 
 
Exemplo 5.5 
Recupere o campo elétrico do exemplo 4.3 a partir do resultado do potencial encontrado no 
exemplo 5.4. 
 
Resolução: 
Para determinar o campo elétrico a partir do potencial do exemplo 5.4, devemos escrever o 
gradiente em coordenadas esféricas. 
Para pontos externos. 











 d
dV
rsend
dV
r
r
dr
dV
VE
11
, as componentes  e são nulas para esse problema 
o que nos fornece: 









 r
r
q
r
r
q
dr
d
r
dr
dV
E
²44 00 
 c.q.p 
Para pontos internos 
0
4 0










r
R
q
dr
d
r
dr
dV
E

, derivada de constantes é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
RESUMO: 
 
Em uma distribuição de cargas o campo elétrico pode ser calculado a partir do potencial 
elétrico. 
O trabalho realizado para mover uma carga elétrica por um campo elétrico pode ser 
conseguido a partir da diferença de energia entre dois pontos. 
WUUU ab 
 
O potencial elétrico gerado por uma carga discreta é dado por d
q
V
Q
U
04

 
Pra varias cargas puntiformes é valido o principio da superposição 
Sobre uma superfície equipotencial o potencial elétrico não sofre variação. 
Para uma distribuição continua de cargas o potencial pode ser determinado pela equação 
d
dv
V

 
04
1
 
Se o potencial elétrico for conhecido o campo elétrico pode ser determinado calculando o 
gradiente do potencial. 
z
dz
dV
j
dy
dV
i
dx
dV
VE 

 
 
Chegamos ao fim de nossa primeira aula. Espero que tenham gostado! 
Voltaremos nas próximas aulas. Não deixem de: 
 Olha da bibliografia recomendada 
 Acessar os links dos vídeos 
 Responder aos questionamentos no Ava 
 Resolver as atividades propostas: 
 
Bons estudos e nos comunicamos na próxima aula! 
 
 
 
 
 
63 
 
REFERENCIAS: 
 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e 
Magnetismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise 
Dimensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2009. 
400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64