Exer 2 2 - Vetores e Espaços Vetoriais

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A
B
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Sabe-se que o ângulo entre os vetores   e  vale 45°. Determine o
valor de p real.
→u(p, p − 4, 0) →v(2, 0, −2)
0
1
Questão 1 de 10
Corretas (9)
Incorretas (1)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Vetores e Espaços Vetoriais Sair
21/04/2025, 19:26 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806c5100967178810a46535/gabarito/
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C
D
E
2
3
4
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos lembrar que o produto escalar entre dois
vetores é igual ao produto dos módulos desses vetores pelo cosseno do ângulo entre
eles. Nesse caso, temos que o ângulo entre os vetores é 45°. Portanto, podemos
montar a seguinte equação: . Substituindo os vetores pelos
seus respectivos valores, temos:
. Resolvendo essa equação,
encontramos que o valor de p que satisfaz essa igualdade é 4.
→u. →v = |→u|. |→v|. cos(45°)
2p = √(p2 + (p − 4)2 + 02). (22 + 02 + (−2)2). 1
√2
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A
B
C
No contexto da economia, considera-se um mercado financeiro onde são realizadas
operações de compra e venda de ativos. Nesse mercado, os valores dos ativos são
representados por vetores e as operações de compra e venda são realizadas através da
adição e multiplicação por um número real k.
Com base nessa contextualização, assinale a alternativa correta que corresponde a uma
propriedade mencionada no enunciado:
A propriedade associativa na adição se aplica às transações financeiras, onde a
ordem em que as operações de compra e venda são realizadas não afeta o
resultado final.
A propriedade comutativa é válida para as oscilações dos valores dos ativos no
mercado financeiro, onde a ordem das variações não altera a soma total
A propriedade existência do elemento neutro na adição está relacionada à
existência de um ativo financeiro que, ao ser adicionado a qualquer outro ativo,
não altera o valor total do investimento
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D
E
A propriedade existência do elemento oposto na adição é observada quando um
investidor compra e vende ações simultaneamente, compensando os ganhos e
perdas e mantendo um saldo neutro
A propriedade distributiva por escalar é aplicável às transações financeiras, onde
um investidor multiplica o valor de um ativo por um número real k para obter o
valor correspondente às operações de compra e venda
Resposta correta
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Gabarito Comentado
No enunciado, é mencionada a propriedade associativa na adição. No contexto da
economia e do mercado financeiro, essa propriedade se aplica às transações de
compra e venda de ativos, onde a ordem em que as operações são realizadas não
afeta o resultado final. Por exemplo, se um investidor vende um ativo, compra outro e,
em seguida, vende outro ativo, o resultado final será o mesmo, independentemente da
ordem em que as transações ocorreram.
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A
B
C
D
E
Considere um espaço vetorial V formado por vetores que representam as posições de
objetos em um sistema de navegação espacial. Os elementos desse espaço são
coordenadas tridimensionais que atendem às operações de adição vetorial e multiplicação
por um número real. Nesse contexto, assinale a alternativa correta:
Um espaço vetorial é válido apenas para sistemas de navegação terrestre, não
sendo aplicável à navegação espacial
A adição de vetores não é uma operação válida em um espaço vetorial.
O produto escalar de vetores é a única operação permitida em um espaço
vetorial.
O espaço vetorial V é composto por vetores que não podem ser multiplicados por
um número real
O espaço vetorial V é válido se, e somente se, a adição dos vetores u e v e a
multiplicação do vetor u por um número real k resultarem em um vetor
pertencente a V.
Resposta correta
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A
B
Gabarito Comentado
O enunciado da questão apresenta uma contextualização relacionada a um sistema de
navegação espacial, onde os elementos do espaço vetorial V representam as posições
dos objetos em coordenadas tridimensionais. Nesse contexto, a definição de um
espaço vetorial é válida se, e somente se, a adição dos vetores u e v resultar em um
vetor pertencente a V e a multiplicação do vetor u por um número real k também
resultar em um vetor pertencente a V. Essas propriedades são fundamentais para que
V seja um espaço vetorial, permitindo realizar operações vetoriais e preservando as
propriedades essenciais do espaço.
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Considere o contexto da engenharia de transportes, onde são realizados estudos de
tráfego em uma interseção de vias urbanas. Para analisar o fluxo de veículos nessa
interseção, é adotado um sistema de referência baseado em três eixos ortogonais: x, y e z.
Cada eixo representa uma dimensão específica do tráfego, como velocidade, densidade de
veículos e nível de congestionamento. Nesse contexto, assinale a alternativa correta:
O sistema de referência adotado na engenharia de transportes utiliza apenas dois
eixos ortogonais, não sendo necessário o eixo z de cota
A direção do eixo y é denominada de cota, representando a elevação em relação
ao plano horizontal
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C
D
E
Os eixos ortogonais são utilizados apenas para representar coordenadas
geográficas, não sendo relevantes para a análise de tráfego
A origem do sistema de referência é definida no cruzamento das vias, ponto 0,
onde ocorre o congestionamento máximo
Na interseção de vias, os eixos ortogonais são utilizados para representar as
diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de veículos e variação
temporal.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
No enunciado, é apresentado um contexto relacionado à engenharia de transportes,
onde um sistema de referência baseado em três eixos ortogonais é utilizado para
analisar o fluxo de veículos em uma interseção de vias urbanas. Nesse contexto, os
eixos representam diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de
veículos e variação temporal.
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A
B
C
D
E
Determine o versor do vetor →u(6, −3, 6)
û( , − , )2
3
2
3
2
3
û(− , , − )2
3
1
3
2
3
û( , − , )2
3
1
3
2
3
û(2, −1, 2)
û(− , , − )1
6
1
3
1
6
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O versor de um vetor é um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do vetor
original. Para encontrar o versor de um vetor, dividimoscada componente do vetor
pela magnitude do vetor.
A magnitude do vetor   é 
Portanto, o versor do vetor é 
→u(6, −3, 6)) √62 + (−3)2 + 62 = √81 = 9
û( , − , ) = û( , − , )6
9
3
9
6
9
2
3
1
3
2
3
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A
B
C
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No contexto da engenharia elétrica, considera-se um sistema de circuitos elétricos. Cada
circuito é representado como um vetor no espaço vetorial V. Os elementos desse espaço
são combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes e tensões.
Considerando essa contextualização, assinale a alternativa correta:
Um espaço vetorial é um conjunto vazio de elementos que atendem às operações
da adição e multiplicação por um número real
As operações de adição e multiplicação por um número real não são aplicáveis
em um espaço vetorial
O espaço vetorial é definido apenas para sistemas mecânicos, não sendo
aplicável à engenharia elétrica
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D
E
Os elementos de um espaço vetorial podem ser representados apenas por
grandezas geométricas, excluindo grandezas físicas como correntes e tensões
O espaço vetorial V é composto por elementos que podem ser combinados
linearmente através das operações de adição e multiplicação por um número real
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O enunciado da questão apresenta uma contextualização específica relacionada à
engenharia elétrica, onde um sistema de circuitos elétricos é representado como um
espaço vetorial. Nesse contexto, os elementos desse espaço são combinações
lineares de grandezas elétricas, como correntes e tensões, que atendem às operações
de adição e multiplicação por um número real. Na engenharia elétrica, é comum utilizar
conceitos de espaços vetoriais para representar grandezas físicas, como correntes e
tensões, em sistemas de circuitos elétricos. Essas grandezas podem ser combinadas
linearmente por meio das operações de adição e multiplicação por um número real,
características de um espaço vetorial.
7 Marcar para revisão
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A
B
C
D
E
Determine o valor de . Sabe-se que e é um vetor de módulo
, paralelo ao vetor (1, 1, 1) e tem componente z positiva.
→w = 3→u + 2→v →u(−1, 0, 2) →v
4√3
→w(5, 8, 14)
→w(−11, −8, −2)
→w(4, 4, 4)
→w(−3, 4, 6)
→w(14, 8, 6)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar o vetor , precisamos primeiro determinar o vetor . Sabemos que é
paralelo ao vetor (1, 1, 1), portanto, suas componentes são proporcionais a (1, 1, 1).
Além disso, o módulo de é , então podemos encontrar as componentes de 
dividindo o módulo pela raiz quadrada do número de componentes, que é 3. Isso nos
dá . Agora, podemos calcular
→w →v →v
→v 4√3 →v
→v = (4, 4, 4)
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A
B
C
.
Portanto, o vetor é (5, 8, 14).
→w = 3→u + 2→v = 3(−1, 0, 2) + 2(4, 4, 4) = (−3, 0, 6) + (8, 8, 8) = (5, 8, 14)
→w
8 Marcar para revisão
Considere o campo da computação gráfica, onde são utilizados vetores para representar a
posição e orientação de objetos tridimensionais em um ambiente virtual. Nesse contexto,
assinale a alternativa correta:
A magnitude de um vetor não é relevante na computação gráfica, apenas a
direção e o sentido são levados em consideração
A temperatura de um objeto é um exemplo de grandeza vetorial na computação
gráfica.
A grandeza escalar é a única utilizada na computação gráfica, pois os objetos são
representados apenas por valores numéricos
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D
E
Na computação gráfica, a representação de objetos tridimensionais requer a
definição completa de vetores, incluindo sua magnitude, direção e sentido
Os vetores não possuem direção e sentido definidos na computação gráfica,
apenas sua magnitude é considerada
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O enunciado da questão introduz o contexto da computação gráfica, onde vetores são
utilizados para representar a posição e orientação de objetos tridimensionais em um
ambiente virtual. Nesse contexto, a representação dos objetos requer a definição
completa de vetores, incluindo sua magnitude, direção e sentido. Essas informações
são essenciais para a correta renderização e posicionamento dos objetos no ambiente
virtual.
9 Marcar para revisão
Determine o valor de k real sabendo que os vetores ,   e 
 são coplanares.
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2) →w(2, 2, −1)
21/04/2025, 19:26 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806c5100967178810a46535/gabarito/
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A
B
C
D
E
1
-8
7
-4
3
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Os vetores são coplanares quando o determinante da matriz formada pelos seus
componentes é igual a zero. Nesse caso, temos a matriz formada pelos vetores
, e . Ao calcular o determinante dessa matriz e
igualar a zero, encontramos que o valor de k que satisfaz essa condição é -8. Portanto,
o valor de k que faz com que os vetores sejam coplanares é -8.
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2) →w(2, 2, −1)
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A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
Determine o valor da constante k para que os vetores  e 
sejam ortogonais.
→u(3, 4, −5) →v(5k + 2, 1, 7 − k)
0
1
2
2
5
5
4
1
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero. Portanto,
para encontrar o valor de k que torna os vetores u� �→ e v� �→ ortogonais, devemos
21/04/2025, 19:26 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806c5100967178810a46535/gabarito/
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resolver a seguinte equação: u� �v� =0�→��→=0.
Substituindo os valores dos vetores na equação, obtemos:
3∗(5k+2)+4∗1−5∗(7−k)=03∗(5𝑘+2)+4∗1−5∗(7−𝑘)=0.
Resolvendo essa equação, encontramos que o valor de k que satisfaz a condição é 
5
4
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