Vetores e espaço vetoriais

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1 Marcar para revisão
No contexto da engenharia elétrica, considera-se um sistema de circuitos elétricos.
Cada circuito é representado como um vetor no espaço vetorial V. Os elementos
desse espaço são combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes e
tensões. Considerando essa contextualização, assinale a alternativa correta:
Um espaço vetorial é um conjunto vazio de elementos que atendem às
operações da adição e multiplicação por um número real
As operações de adição e multiplicação por um número real não são
aplicáveis em um espaço vetorial
O espaço vetorial é definido apenas para sistemas mecânicos, não sendo
aplicável à engenharia elétrica
Os elementos de um espaço vetorial podem ser representados apenas por
grandezas geométricas, excluindo grandezas físicas como correntes e
tensões
O espaço vetorial V é composto por elementos que podem ser
combinados linearmente através das operações de adição e multiplicação
por um número real
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Questão 1
de
10
Corretas �10�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio Vetores e Espaços Vetoriais Sair
09/11/2024, 09:47 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/672f55593092410d6b1b7684/gabarito/
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A
B
C
D
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O enunciado da questão apresenta uma contextualização específica
relacionada à engenharia elétrica, onde um sistema de circuitos elétricos é
representado como um espaço vetorial. Nesse contexto, os elementos desse
espaço são combinações lineares de grandezas elétricas, como correntes e
tensões, que atendem às operações de adição e multiplicação por um número
real. Na engenharia elétrica, é comum utilizar conceitos de espaços vetoriais
para representar grandezas físicas, como correntes e tensões, em sistemas de
circuitos elétricos. Essas grandezas podem ser combinadas linearmente por
meio das operações de adição e multiplicação por um número real,
características de um espaço vetorial.
2 Marcar para revisão
Considere o contexto da engenharia de transportes, onde são realizados estudos
de tráfego em uma interseção de vias urbanas. Para analisar o fluxo de veículos
nessa interseção, é adotado um sistema de referência baseado em três eixos
ortogonais: x, y e z. Cada eixo representa uma dimensão específica do tráfego,
como velocidade, densidade de veículos e nível de congestionamento. Nesse
contexto, assinale a alternativa correta:
O sistema de referência adotado na engenharia de transportes utiliza
apenas dois eixos ortogonais, não sendo necessário o eixo z de cota
A direção do eixo y é denominada de cota, representando a elevação em
relação ao plano horizontal
Os eixos ortogonais são utilizados apenas para representar coordenadas
geográficas, não sendo relevantes para a análise de tráfego
A origem do sistema de referência é definida no cruzamento das vias,
ponto 0, onde ocorre o congestionamento máximo
Na interseção de vias, os eixos ortogonais são utilizados para representar
as diferentes dimensões do tráfego, como velocidade, fluxo de veículos e
variação temporal.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
No enunciado, é apresentado um contexto relacionado à engenharia de
transportes, onde um sistema de referência baseado em três eixos ortogonais é
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A
B
C
D
E
utilizado para analisar o fluxo de veículos em uma interseção de vias urbanas.
Nesse contexto, os eixos representam diferentes dimensões do tráfego, como
velocidade, fluxo de veículos e variação temporal.
3 Marcar para revisão
Determine o valor de k real sabendo que os vetores ,    e
 são coplanares.
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2)
→w(2, 2, −1)
1
�8
7
�4
3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Os vetores são coplanares quando o determinante da matriz formada pelos
seus componentes é igual a zero. Nesse caso, temos a matriz formada pelos
vetores , e . Ao calcular o determinante dessa
matriz e igualar a zero, encontramos que o valor de k que satisfaz essa
condição é �8. Portanto, o valor de k que faz com que os vetores sejam
coplanares é �8.
→u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2) →w(2, 2, −1)
4 Marcar para revisão
No contexto da economia, considera-se um mercado financeiro onde são realizadas
operações de compra e venda de ativos. Nesse mercado, os valores dos ativos são
representados por vetores e as operações de compra e venda são realizadas
através da adição e multiplicação por um número real k.
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A
B
C
D
E
Com base nessa contextualização, assinale a alternativa correta que corresponde a
uma propriedade mencionada no enunciado:
A propriedade associativa na adição se aplica às transações financeiras,
onde a ordem em que as operações de compra e venda são realizadas não
afeta o resultado final.
A propriedade comutativa é válida para as oscilações dos valores dos
ativos no mercado financeiro, onde a ordem das variações não altera a
soma total
A propriedade existência do elemento neutro na adição está relacionada à
existência de um ativo financeiro que, ao ser adicionado a qualquer outro
ativo, não altera o valor total do investimento
A propriedade existência do elemento oposto na adição é observada
quando um investidor compra e vende ações simultaneamente,
compensando os ganhos e perdas e mantendo um saldo neutro
A propriedade distributiva por escalar é aplicável às transações
financeiras, onde um investidor multiplica o valor de um ativo por um
número real k para obter o valor correspondente às operações de compra
e venda
Resposta correta
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Gabarito Comentado
No enunciado, é mencionada a propriedade associativa na adição. No contexto
da economia e do mercado financeiro, essa propriedade se aplica às
transações de compra e venda de ativos, onde a ordem em que as operações
são realizadas não afeta o resultado final. Por exemplo, se um investidor vende
um ativo, compra outro e, em seguida, vende outro ativo, o resultado final será
o mesmo, independentemente da ordem em que as transações ocorreram.
5 Marcar para revisão
Determine o valor de . Sabe-se que e é um vetor de
módulo , paralelo ao vetor �1, 1, 1) e tem componente z positiva.
→w = 3→u + 2→v →u(−1, 0, 2) →v
4√3
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A
B
C
D
E
A
B
C
→w(5, 8, 14)
→w(−11, −8, −2)
→w(4, 4, 4)
→w(−3, 4, 6)
→w(14, 8, 6)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar o vetor , precisamos primeiro determinar o vetor . Sabemos
que é paralelo ao vetor �1, 1, 1�, portanto, suas componentes são
proporcionais a �1, 1, 1�. Além disso, o módulo de é , então podemos
encontrar as componentes de dividindo o módulo pela raiz quadrada do
número de componentes, que é 3. Isso nos dá . Agora, podemos
calcular
. Portanto, o vetor é �5, 8, 14�.
→w →v
→v
→v 4√3
→v
→v = (4, 4, 4)
→w = 3→u + 2→v = 3(−1, 0, 2) + 2(4, 4, 4) = (−3, 0, 6) + (8, 8, 8) = (5, 8, 14)
→w
6 Marcar para revisão
No contexto da mecânica clássica,consideramos três vetores: vetor força �F�, vetor
posição (r) e vetor momento angular �L�. Se o produto misto entre esses três
vetores for nulo, o que isso indica?
Os três vetores estão no mesmo plano no espaço
O vetor força é uma combinação linear dos vetores posição e momento
angular.
Os três vetores são ortogonais entre si
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D
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O vetor posição é uma combinação linear dos vetores força e momento
angular.
Os três vetores são linearmente independentes
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O produto misto é uma operação entre três vetores e é representado por [u,  v,
w]. Se o resultado do produto misto for igual a zero, isso significa que os três
vetores estão coplanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano no espaço.
7 Marcar para revisão
No contexto da física mecânica, considere o estudo do movimento de um objeto
lançado em um plano inclinado. Nesse cenário, é adotado um sistema de
coordenadas tridimensional com três eixos: x, y e z. Cada eixo representa uma
direção específica do movimento do objeto. Com base nessa contextualização,
assinale a alternativa correta:
A representação de um vetor no estudo do movimento de um objeto
lançado em um plano inclinado não requer o conhecimento de sua
projeção nas três direções do sistema de coordenadas
O sistema de coordenadas utilizado no estudo do movimento do objeto
lançado possui apenas dois eixos, não sendo necessária a projeção nas
três direções
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é
irrelevante no estudo do movimento de um objeto lançado em um plano
inclinado
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D
E
A
B
C
D
E
A projeção do vetor nas três direções do sistema de coordenadas é
essencial para determinar a trajetória e a velocidade do objeto durante o
movimento
A representação de um vetor no estudo do movimento do objeto lançado é
realizada apenas através de sua magnitude, sem considerar sua projeção
nas direções do sistema de coordenadas
Resposta correta
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Gabarito Comentado
No contexto do estudo do movimento de um objeto lançado em um plano
inclinado, o sistema de coordenadas tridimensional é utilizado para descrever a
trajetória e a velocidade do objeto. Nesse contexto, conhecer a projeção do
vetor nas três direções representadas pelos eixos é essencial para determinar a
trajetória e a velocidade do objeto durante o movimento. A projeção nos eixos
x, y e z permite analisar as componentes do vetor de posição, velocidade e
aceleração do objeto em cada direção.
8 Marcar para revisão
Determine o valor da constante k para que os vetores  e 
 sejam ortogonais.
→u(3, 4, −5)
→v(5k + 2, 1, 7 − k)
0
1
2
2
5
5
4
1
Resposta correta
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A
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Gabarito Comentado
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero.
Portanto, para encontrar o valor de k que torna os vetores u� �→ e v� �→
ortogonais, devemos resolver a seguinte equação: u� �v� �0�→��→�0.
Substituindo os valores dos vetores na equação, obtemos:
3∗�5k+2��4∗1�5∗�7−k)=03∗�5𝑘�2��4∗1�5∗�7�𝑘��0.
Resolvendo essa equação, encontramos que o valor de k que satisfaz a
condição é 
5
4
9 Marcar para revisão
Determine o versor do vetor →u(6, −3, 6)
û( , − , )2
3
2
3
2
3
û(− , , − )2
3
1
3
2
3
û( , − , )2
3
1
3
2
3
û(2, −1, 2)
û(− , , − )1
6
1
3
1
6
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O versor de um vetor é um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do
vetor original. Para encontrar o versor de um vetor, dividimos cada componente
do vetor pela magnitude do vetor.
A magnitude do vetor   é 
Portanto, o versor do vetor é 
→u(6, −3, 6)) √62 + (−3)2 + 62 = √81 = 9
û( , − , ) = û( , − , )6
9
3
9
6
9
2
3
1
3
2
3
09/11/2024, 09:47 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/672f55593092410d6b1b7684/gabarito/
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A
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10 Marcar para revisão
Sabe-se que o ângulo entre os vetores    e   vale 45°.
Determine o valor de p real.
→u(p, p − 4, 0) →v(2, 0, −2)
0
1
2
3
4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos lembrar que o produto escalar entre
dois vetores é igual ao produto dos módulos desses vetores pelo cosseno do
ângulo entre eles. Nesse caso, temos que o ângulo entre os vetores é 45°.
Portanto, podemos montar a seguinte equação: .
Substituindo os vetores pelos seus respectivos valores, temos:
. Resolvendo essa
equação, encontramos que o valor de p que satisfaz essa igualdade é 4.
→u. →v = |→u|. |→v|. cos(45°)
2p = √(p2 + (p − 4)2 + 02). (22 + 02 + (−2)2). 1
√2
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