Alg_Aula01_Matrizes

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Álgebra Linear - Matrizes
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1
Matrizes
1. Definições
2. Tipos especiais de Matrizes
3. Notação
4. Operação com Matrizes
1. Definições
2. Tipos especiais de Matrizes
3. Notação
4. Operação com Matrizes
2
Matrizes: definições
• Uma matriz é uma estrutura bi-dimensional onde todos
os elementos são do mesmo tipo (ou inteiros, ou reais,
ou complexos, etc ...).
• Os elementos são dispostos em linhas e colunas e cada
célula dela é completamente identificada pela sua
posição e seu valor.
• Exemplos:
• Uma matriz é uma estrutura bi-dimensional onde todos
os elementos são do mesmo tipo (ou inteiros, ou reais,
ou complexos, etc ...).
• Os elementos são dispostos em linhas e colunas e cada
célula dela é completamente identificada pela sua
posição e seu valor.
• Exemplos:
3
2 3 4
1 5 7
2
5 1 4 9
Matrizes: definições
• Uma matriz de m linhas e n colunas é representada por:
Amxn =
a11 a12 …. a1na21 a22 …. a2n. . .
. . .
. . .
am1 am2 …. amn
= [aij]mxn
4
Amxn =
a11 a12 …. a1na21 a22 …. a2n. . .
. . .
. . .
am1 am2 …. amn
= [aij]mxn
Matrizes: definições
• Definição: Duas matrizes Amxn=[aij]mxn e Brxs=[bij]rxs são
ditas iguais A = B, se elas têm o mesmo número de
linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus
elementos correspondentes são iguais (aij = bij).
5
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Quadrada: É aquela cujo número de linhas é
igual ao número de colunas, n = m.
a11 a12 …. a1na21 a22 …. a2n. . .
. . . = [aij]nxn. . .
an1 an2 …. ann
6
a11 a12 …. a1na21 a22 …. a2n. . .
. . . = [aij]nxn. . .
an1 an2 …. ann
Anxn =
obs: diz-se que Anxn é uma matriz quadrada de ordem n.
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Nula: é aquela em que aij = 0, para todo i e todo
j.
0 0 …. 0
0 0 …. 0
. . .
. . . = [aij= 0]nxm. . .
0 0 …. 0
7
0 0 …. 0
0 0 …. 0
. . .
. . . = [aij= 0]nxm. . .
0 0 …. 0
Anxm = 0 =
obs: utiliza-se a o algarismo 0 (“zero”) em negrito para representar qualquer matriz
nula.
Matrizes: definições
• Matriz Coluna: É aquela
que possui apenas uma
única coluna.
• Matriz Linha: É aquela
que possui apenas uma
única linha.
a1a2.
.
.
an
• Matriz Linha: É aquela
que possui apenas uma
única linha.
8
a1a2.
.
.
an
Anx1 = = [ai]nx1
obs: Anx1 também échamada de vetor coluna.
a1 a2 …. anA1xn = = [ai]1xn
obs: A1xn também échamada de vetor linha.
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m=n) onde
aij = 0, para todo ij.
2 0 0 0
0 4 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
9
2 0 0 0
0 4 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
A =
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Identidade Quadrada: É aquela em que aii = 1
e aij = 0, para todo ij.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
10
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I =
obs: utiliza-se a letra I (“i” maiúsculo) em negrito para representar qualquer matriz
identidade .
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Triangular Inferior:
matriz quadrada onde todos
os elementos acima da
diagonal são nulos (aij = 0
para todo i < j).
• Matriz Triangular Superior:
matriz quadrada onde todos os
elementos abaixo da diagonal
são nulos (aij = 0 para todo
i > j).
• Matriz Triangular Inferior:
matriz quadrada onde todos
os elementos acima da
diagonal são nulos (aij = 0
para todo i < j).
11
2 0 0 0
3 4 0 0
5 1 1 0
1 2 3 3
• Matriz Triangular Superior:
matriz quadrada onde todos os
elementos abaixo da diagonal
são nulos (aij = 0 para todo
i > j).
2 3 1 2
0 4 0 3
0 0 1 0
0 0 0 3
Matrizes: tipos especiais
• Matriz Simétrica: matriz quadrada, n = m, onde aij= aji.
2 3 1 2
3 4 0 3
1 0 1 0
2 3 0 3
12
2 3 1 2
3 4 0 3
1 0 1 0
2 3 0 3
Matrizes: notação
• Matrizes são representadas por letras maiúsculas (muitas
vezes em negrito); seus elementos são representados
pela respectiva letra minúscula, com dois índices;
• matrizA;
• aij elemento de A referente a posição da i-ésima linha e j-ésima
coluna;
• Vetores são representados por letras minúsculas (muitas
vezes em negrito); seus elementos são representados
pela mesma letra minúscula, com um índice.
• vetor linha ou coluna a;
• ai elemento de a, referente a i-ésima linha ou coluna.
• Matrizes são representadas por letras maiúsculas (muitas
vezes em negrito); seus elementos são representados
pela respectiva letra minúscula, com dois índices;
• matrizA;
• aij elemento de A referente a posição da i-ésima linha e j-ésima
coluna;
• Vetores são representados por letras minúsculas (muitas
vezes em negrito); seus elementos são representados
pela mesma letra minúscula, com um índice.
• vetor linha ou coluna a;
• ai elemento de a, referente a i-ésima linha ou coluna.
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Matrizes: operações
• Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem Amxn
= [aij]mxn e Bmxn = [bij]mxn, que denotamos por A + B, é a
matriz Smxn cujos elementos, [sij], são dados pela soma
dos correspondentes elementos de A e B, isto é:
 sij = aij + bij
• Exemplo:
• Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem Amxn
= [aij]mxn e Bmxn = [bij]mxn, que denotamos por A + B, é a
matriz Smxn cujos elementos, [sij], são dados pela soma
dos correspondentes elementos de A e B, isto é:
 sij = aij + bij
• Exemplo:
14
2 3 4
1 5 7A =
0 -2 1
2 4 -3B =
A + B = S
2 + 1
2 + 0
5 + 4
3 - 2
7 - 3
4 +1 = 2 1 53 9 4
Matrizes: operações
• Adição: Propriedades (Amxn, Bmxn e Cmxn)
 A + B = B + A (comutatividade)
 A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
 A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn.
2 3 1 0 3 1 0 0
• Adição: Propriedades (Amxn, Bmxn e Cmxn)
 A + B = B + A (comutatividade)
 A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
 A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn.
15
2 3
A = 1 1
-1 0
1 0
B = 2 3
3 -1
3 1
C = 2 0
4 -3
0 0
0 = 0 0
0 0
2+1 3+0
A + B
1+2 1+3
-1+3 01
1+2 0+3
B + A
2+1 3+1
31 -1+0
=
=
comutatividade:
Matrizes: operações
A + (B + C)
2 + (1+3) 3 + (0+1)
1 + (2+2) 1 + (3+0)
-1 + (3+4) 0 +(-1-3)
(A + B) + C
=
=
associatividade aditiva:
(2+1) + 3 (3+0) + 1
(1+2) + 2 (1+3) + 0
(-1+3) + 4 (0 -1) - 3
16
-1 + (3+4) 0 +(-1-3) (-1+3) + 4 (0 -1) - 3
elemento neutro aditivo:
2+0 3+0
A + 0
1+0 1+0
-1+0 0+0
A
=
=
2 3
1 1
-1 0
Matrizes: operações
• Multiplicação por um Escalar: Seja A=[aij]mxn e k um
número real, então definimos uma nova matriz B como
 B = [bij]mxn = k*A = [k*aij]mxn
 Exemplo:
2 3 2*2 2*3 4 6
17
2 3
A = 1 1
-1 0
k = 2 B = 2*A =
2*2 2*3
2*1 2*1
2*(-1) 2*0
4 6
= 2 2
-2 0
 Propriedades
• k.(A + B) = k.A + k.B, sendo B uma matriz de mesma ordem que A;
• (k1 + k2).A = k1.A + k2.A, k1 e k2 números reais;
• 0.A = 0, onde 0 é o número zero e 0 é a matriz nula;
• k1.(k2.A) = (k1.k2).A, k1 e k2 números reais.
Matrizes: operações
2 1A = 1 3 k1 = 2
1 1B = 2 0 k2 = 3
0 00 = 0 0
 k1.(A + B) = k1.A + k1.B
=2+1 1+11+2 3+02*
2*(2+1) 2*(1+1)
2*(1+2) 2*(3+0) =
2*2 + 2*1 2*1 + 2*1
2*1 + 2*2 2*3 + 2*0
18
= 2*2 2*12*1 2*3 +
2*1 2*1
2*2 2*0 =
2 12* 1 3 +
1 12* 2 0
 k1.(k2.B) = (k1.k2).B
3*1 3*1
3*2 3*02* =
2*3*1 2*3*1
2*3*2 2*3*0 =
1 1
2 02*3*
Matrizes: operações
• Transposição: dada uma matriz A=[aij]mxn, podemos
obter outra matriz A’= [bij]nxm, cujas linhas são ascolunas de A, isto é, bij = aji.
• A’ ou At, é chamada de transposta de A.
• Exemplos:
• Transposição: dada uma matriz A=[aij]mxn, podemos
obter outra matriz A’= [bij]nxm, cujas linhas são as
colunas de A, isto é, bij = aji.
• A’ ou At, é chamada de transposta de A.
• Exemplos:
19
2 3 4
1 5 7A =
A’ =
2 1
3 5
4 7
2 1
1 2B =
2 1
1 2B’ =
2
1C =
2 1C’ =
Matrizes: operações
• Propriedades:
 Se A é simétrica, então A = A’
 A’’ = A
 (A + B)’ = A’ + B’
 (k.A)’ = k.A’, onde k é um número
• Propriedades:
 Se A é simétrica, então A = A’
 A’’ = A
 (A + B)’ = A’ + B’
 (k.A)’ = k.A’, onde k é um número
20
2 3 4
1 5 7A =
3 3 5
2 2 1B =
(A + B) ’ = A’ + B’
=
2+3 1+2
3+3 5+2
4+5 7+1
2 1
3 5
4 7
+
3 2
3 2
5 1
=2+3 3+3 4+51+2 5+2 7+1
’
Matrizes: operações
• Multiplicação de Matrizes: Sejam A=[aij]mxn e
B= [bij]nxp, definimos C = A.B = [cuv]mxp, onde:
 cuv = Σk=1n buk . Akv
 OBS:
• i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Bsxp, se o
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da
segunda, i.e., n = s. Além disso, a matriz resultado C = A.B terá ordem
mxp.
• ii) O elemento cij é obtido multiplicando os elementos da linha i da
primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda matriz, e
somando esses produtos
• Multiplicação de Matrizes: Sejam A=[aij]mxn e
B= [bij]nxp, definimos C = A.B = [cuv]mxp, onde:
 cuv = Σk=1n buk . Akv
 OBS:
• i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Bsxp, se o
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da
segunda, i.e., n = s. Além disso, a matriz resultado C = A.B terá ordem
mxp.
• ii) O elemento cij é obtido multiplicando os elementos da linha i da
primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda matriz, e
somando esses produtos
21
Matrizes: operações
• Multiplicação de Matrizes: exemplos
3 2 4
1 1 3C =
2 1
1 3A =
1 1
0 2B =
2*1 + 1*0 2*1 + 1*2
1*1 + 3*0 1*1 + 3*2A*B =
2 4
1 7=
22
2*1 + 1*0 2*1 + 1*2
1*1 + 3*0 1*1 + 3*2
2 4
1 7
1*2 + 1*1 1*1 + 1*3
0*2 + 2*1 0*1 + 2*3B*A =
3 4
2 6=
1*3 + 1*1 1*2 + 1*1 1*4 + 1*3
0*3 + 2*1 0*2 + 2*1 0*4 + 2*3B*C = =
4 3 8
2 2 6
C*A  não é possível pois os tamanhos, da linha de C e
da coluna de A, são diferentes !
Matrizes: operações
• Multiplicação de Matrizes:
 Propriedades
• i) Em geral, A.B B.A, observe que A.B pode ser igual a 0mxn, sem que
A ou B sejam 0mxn
• ii) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
• iii) A.(B + C) = A.B + A.C (Distributividade à esquerda)
• iv) (A + B).C = A.C + B.C (Distributividade à direita)
• v) (A.B).C = A.(B.C) (Associatividade)
• vi) (AB)’ = B’A’, observe a mudança na ordem do produto
• vii) 0.A = 0 e A.0 = 0, 0 é uma matriz nula
• Multiplicação de Matrizes:
 Propriedades
• i) Em geral, A.B B.A, observe que A.B pode ser igual a 0mxn, sem que
A ou B sejam 0mxn
• ii) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
• iii) A.(B + C) = A.B + A.C (Distributividade à esquerda)
• iv) (A + B).C = A.C + B.C (Distributividade à direita)
• v) (A.B).C = A.(B.C) (Associatividade)
• vi) (AB)’ = B’A’, observe a mudança na ordem do produto
• vii) 0.A = 0 e A.0 = 0, 0 é uma matriz nula
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Matrizes: operações
2 1
1 3A =
1 1
0 2B =
1 0
0 1I =
1*2 + 0*1 1*1 + 0*3
0*2 + 1*1 0*1 + 1*3I*A =
2 1
1 3=
 IA = AI = A
2*1 + 1*0 2*0 + 1*1
1*1 + 3*0 1*0 + 3*1A*I =
2 1
1 3=
24
2*1 + 1*0 2*0 + 1*1
1*1 + 3*0 1*0 + 3*1A*I =
2 1
1 3=
 (AB)’ = B’A’
2*1 + 1*0 2*1 + 1*2
1*1 + 3*0 1*1 + 3*2AB =
2 4
1 7=
2 1
4 7(AB)’ =
1 0
1 2B’A’ =
2 1
1 3*
1*2 + 0*1 1*1 + 0*3
1*2 + 2*1 1*1 + 2*3=
2 1
4 7=
Matrizes:
• Problemas Sugeridos: do1 ao 14
25