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Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Tipos Especiais de Operadores Lineares • Tipos especiais de operadores �Operadores Auto-Adjuntos �Operadores Ortogonais • Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de V com • Temos: <v, w> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn [v]α = e [w]α = x1 … xn y1 … yn Tipos Especiais de Operadores Lineares • Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somar Definição: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 • Definição: Seja A uma matriz n x n real e A’ sua transposta: �a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica �b) Se A.A’ = A’.A = I (ou seja, A-1 = A’), dizemos que A é uma matriz ortogonal Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então det A = ±1 �Prova: Como A é ortogonal, A.A’ = I ⇒ det (A.A’) = det(I) = 1 det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 4 det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade) ⇒ det(A).det(A’) = 1 Mas, det(A) = det(A’) (propriedade) Logo, det2(A) = 1 ⇒ det(A) = ±1 Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais • Exemplo: Seja V = R2 e α={(1, 0), (0, 1)} e β = {(cos θ, -sen θ), (sen θ, cos θ)} bases ortonormais Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 5 ortonormais • [ I ]αβ = ? • Calculando como vimos antes... cosθ -senθ senθ cosθ [ I ]αβ = Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: �Para checar se [ I ]αβ é ortogonal, basta multiplicá-la pela sua transposta: Cont. cosθ -senθ senθ cosθ cosθ senθ -senθ cosθ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 6 cos2θ + sen2θ 0 0 sen2θ + cos2θ 1 0 0 1 = = Também é preciso multiplicar a transposta pela matriz para tentar encontrar a identidade... Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Se V é um espaço vetorial com produto interno e α e β são bases ortonormais de V, então a matriz de mudança de base [ I ]αβ é uma matriz ortogonal β β β Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 7 • Nesses casos, [ I ]βα.([ I ]βα)’ = I ou seja ([ I ]βα)’ = ([ I ]βα)-1, e ainda mais ([ I ]βα)’ = ([ I ]βα)-1 = [ I ]αβ �Assim, tendo [ I ]αβ, [ I ]βα é apenas sua transposta Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno, α uma base ortonormal e T:V→V um operador linear. Então: �a) T é chamado um operador auto-adjunto, se [T]αα é uma matriz simétrica �b) T é chamado um operador ortogonal, se [T]αα é Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 8 �b) T é chamado um operador ortogonal, se [T]αα é uma matriz ortogonal • Sejam α e β bases ortonormais: �se [T]αα é simétrica, então [T]ββ também é. �se [T]αα é ortogonal, então [T]ββ também é. Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Exemplo: �Seja T:R2→R2 onde T(x, y) = (2x – 2y, -2x + 5y) �Se α é a base canônica, a matriz de T é: [T]αα= 2 -2 -2 5 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 9 �que é uma matriz simétrica e, portanto, T é operador auto-adjunto Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Teorema: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , > e T:V→V linear • Então T auto-adjunto implica que <Tv, w>=<v, Tw> • para todo v, w ∈ V Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 10 • para todo v, w ∈ V • Prova: Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Prova: (no caso de n = 2) �α = {v1, v2} uma base ortonormal �v = x1v1 + y1v2 �w = x2v1 + y2v2 �ou [v] = e [w] = x1 y x2 y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 11 �ou [v]α = e [w]α = �Como T é auto-adjunto, então [T]αα é simétrica �Seja: 1 y1 2 y2 [T]αα= a bb c Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Prova: �Então [Tv]α = = �e [Tw]α = = x1 y1 a b b c Cont. ax1 + by1 bx1 + cy1 x2 y2 a b b c ax2 + by2 bx2 + cy2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 12 �Assim, <Tv, w> = (ax1 + by1)x2 + (bx1 + cy1)y2 �e <v, Tw> = x1(ax2 + by2) + y1(bx2 + cy2) �Portanto <Tv, w> = <v, Tw> y2b c bx2 + cy2 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Teorema: Seja T:V→V auto-adjunto e λ1, λ2 autovalores distintos de T e v1 e v2 os autovetores associados aos autovalores. Então v1 ⊥ v2. • Prova: �λ .<v , v > = <λ .v , v > = <Tv , v > = <v , Tv > = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 13 �λ1.<v1, v2> = <λ1.v1, v2> = <Tv1, v2> = <v1, Tv2> = <v1, λ2.v2> = λ2.<v1, v2> �Então (λ1 - λ2).<v1, v2> = 0 �Como λ1 ≠ λ2, então λ1 - λ2 ≠ 0, logo <v1, v2> = 0, o que implica v1 ⊥ v2 Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais • Teorema: Seja T:V→V um operador auto- adjunto. Então existe uma base ortonormal de autovetores de T • Exemplo 1: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 14 cuja matriz em relação à base canônica é • Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores para este operador? [T] = -2 0 0 0 6 1 0 1 6 Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais • Exemplo 1: Podemos observar que T é um operador auto-adjunto (a matriz é simétrica e a base canônica é ortonormal) • Pelo teorema anterior, é garantida uma base ortonormal de autovetores Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 15 ortonormal de autovetores • Calculando os autovalores e os autovetores associados, temos: �λ1 = -2 ⇒ v1 = (1, 0, 0) �λ2 = 7 ⇒ v2 = (0, 1, 1) �λ3 = 5 ⇒ v3 = (0, 1, -1) Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais • Exemplo 1: Como esses autovetores provêm de autovalores distintos e T é auto-adjunto, eles são ortogonais (Teo slide 14) �Então {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} é uma base otrogonal de autovetores Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 16 otrogonal de autovetores �Para encontrarmos a base ortonormal, basta normalizar a base ortogonal: • {(1, 0, 0), (1/√2)(0, 1, 1), (1/√2)(0, 1, -1)} Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais • Teorema: Seja T:V→V um operador linear num espaço vetorial V com produto interno < , >. Então as condições abaixo são equivalentes: �T é ortogonal �T transforma bases ortonormais em bases Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 17 �T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Isto é, se {v1,...,vn} é base ortonormal de V, então {Tv1,...,Tvn} é base ortonormal �T preserva o produto interno, i.e., <Tu, Tv> = <u, v> �T preserva a norma, i.e., ||Tv|| = ||v|| • Dada a condição anterior já que ||v|| = <v, v> • Exemplo: (Exercício 3) Sejam α={(1,1), (2,0)} e β={(-1,0), (2,1)}. A partir dessas bases, construa bases ortonormais, usando o método de Gam- Schmidt. Mostre que a matriz mudança de base [ I ]α’β’ é ortogonal (onde α’ e β’ são as novas bases ortonormais). Tipos Especiais de Operadores Lineares Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br18 β’ bases ortonormais). • Solução: Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: (Exercício 3) • Solução: • α = {(1,1), (2,0)} �v1’ = (1, 1) ⇒ ||v1’|| = √2 �v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (1, -1) ⇒ ||v2’|| = √2 Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 19 �v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (1, -1) ⇒ ||v2’|| = √2 �α’ = {(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)} • β = {(-1,0), (2,1)} �v1’ = (-1, 0) ⇒ ||v1’|| = 1 �v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (0, 1) ⇒ ||v2’|| = 1 �β’ = {(-1, 0), (0, 1)} Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: (Exercício 3) • Solução: • α’ = {(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)} • β’ = {(-1, 0), (0, 1)} • [ I ]α’ = ?? Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 20 • [ I ]α’β’ = ?? � (1/√2, 1/√2) = a(-1,0) + b(0, 1) � (1/√2, -1/√2) = c(-1,0) + d(0, 1) � [ I ]α’β’ = -1/√2 -1/√2 1/√2 -1/√2 Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: (Exercício 3) • Solução: • Para ser ortogonal, precisa ter A.A’ = A’.A = I, onde A = [ I ]α’β’ • A.A’ = Cont. -1/√2 -1/√2 -1/√2 1/√2 1 0 = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 21 • A.A’ = • A’.A = -1/√2 -1/√2 1/√2 -1/√2 -1/√2 1/√2 -1/√2 -1/√2 1 0 0 1 = -1/√2 -1/√2 1/√2 -1/√2 -1/√2 1/√2 -1/√2 -1/√2 1 0 0 1 = Logo, é ortogonal. Exercícios Sugeridos • 1 • 2 • 5a e b • 6 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 22 A Seguir... Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 23
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