Limites Infinitos e Assíntotas

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Limites infinitos e ass´ıntotas verticais
Diogo de Santana Germano Limites infinitos e ass´ıntotas...
Limites infinitos
Figura: Gra´fico de y = 1/x . Alcanc¸amos qualquer altura para x
suficientemente pro´ximo de 0. Podemos descer o quanto quisermos, para
x suficientemente pro´ximo de 0
Diogo de Santana Germano Limites infinitos e ass´ıntotas...
Limites infinitos
Figura: Gra´fico de y = 1/x . Alcanc¸amos qualquer altura para x
suficientemente pro´ximo de 0. Podemos descer o quanto quisermos, para
x suficientemente pro´ximo de 0
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Limites infinitos
Neste caso dizemos que,
lim
x→0+
1
x
=∞ e lim
x→0−
1
x
= −∞.
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Limites infinitos
Dizemos que lim
x→x0
f (x) =∞ se, os valores de
f (x) tornam-se arbitrariamente grandes quando
consideramos x suficientemente pro´ximo de x0.
Analogamente, dizemos que lim
x→x0
f (x) = −∞
se, os valores de f (x) tornam-se arbitrariamente
grandes (em valor absoluto) quando
consideramos x suficientemente pro´ximo de x0.
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Limites infinitos
Dizemos que lim
x→x0
f (x) =∞ se, os valores de
f (x) tornam-se arbitrariamente grandes quando
consideramos x suficientemente pro´ximo de x0.
Analogamente, dizemos que lim
x→x0
f (x) = −∞
se, os valores de f (x) tornam-se arbitrariamente
grandes (em valor absoluto) quando
consideramos x suficientemente pro´ximo de x0.
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Limites infinitos
Observac¸a˜o
Quando escrevemos
lim
x→x0
f (x) = ±∞
estamos dizendo que o limite na˜o existe, pois
para valores pro´ximos de x0, |f (x)| torna-se
arbitrariamente grande.
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Limites infinitos
Exemplo (1)
Determine
lim
x→1+
1
x − 1 e limx→1−
1
x − 1
Exemplo (2)
Discuta o comportamento de
(a) f (x) =
1
x2
pro´ximo de x = 0;
(b) g(x) =
1
(x + 3)2
pro´ximo de x = −3.
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Limites infinitos
Exemplo (3)
Calcule os limites.
(a) lim
x→2
(x − 2)2
x2 − 4
(b) lim
x→2
x − 2
x2 − 4
(c) lim
x→2+
x − 3
x2 − 4 e limx→2−
x − 3
x2 − 4
(d) lim
x→2
x − 3
x2 − 4
(e) lim
x→2
2− x
(x − 2)3
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Ass´ıntotas Verticais
Definic¸a˜o
Uma reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical
do gra´fico de uma func¸a˜o y = f (x) se
lim
x→a+
f (x) = ±∞ e lim
x→a−
f (x) = ±∞.
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Ass´ıntotas Verticais
Exemplo (4)
Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical dos
gra´ficos das func¸o˜es.
(a) f (x) =
x + 3
x + 2
;
(b) f (x) = − 8
x2 − 4 .
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: As retas y = 1 e x = −2 sa˜o as ass´ıntotas da curva
y = (x + 3)(x + 2).
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: Gra´fico de y = −8/(x2 − 4).
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Ass´ıntotas Verticais
Exemplo ((5) curvas com infinitas ass´ıntotas)
As curvas
y = sec x =
1
cos x
e y = tan x =
sen x
cos x
apresentam ass´ıntotas verticais em mu´ltiplos inteiros
ı´mpares de pi/2, onde cos x = 0
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: O Gra´fico de sec x tem um nu´mero infinito de ass´ıntotas verticais.
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: O Gra´fico de tan x tem um nu´mero infinito de ass´ıntotas verticais.
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Exemplo ((6) curvas com infinitas ass´ıntotas)
As curvas
y = csc x =
1
sen x
e y = cot x =
cos x
sen x
apresentam ass´ıntotas verticais em mu´ltiplos inteiros
de pi, quando sen x = 0
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: O Gra´fico de csc x tem um nu´mero infinito de ass´ıntotas verticais.
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Ass´ıntotas Verticais
Figura: O Gra´fico de cot x tem um nu´mero infinito de ass´ıntotas verticais.
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Ass´ıntotas Verticais
Exemplo (7)
Determine as ass´ıntotas do gra´fico de
f (x) =
x2 − 3
2x − 4 .
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Termos dominantes
(a) A func¸a˜o g e´ um modelo de
comportamento final a` direita (ou
termo dominante) para f se e somente
se
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= 1.
(b) A func¸a˜o g e´ um modelo de
comportamento final a` esquerda (ou
termo dominante) para f se e somente
se
lim
x→−∞
f (x)
g(x)
= 1.
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Termos dominantes
Observac¸a˜o
Observe que g(x) = x/2 + 1 e´ um termo dominante
para a func¸a˜o f do exemplo (7).
Exemplo (8)
Sejam f (x) = 3x4 − 2x3 + 3x2 − 5x + 6 e
g(x) = 3x4. Mostre que, apesar de f e g serem
bastante diferentes para valores nume´ricos pequenos
de x, essas func¸o˜es sa˜o quase ideˆnticas quando |x | e´
muito grande.
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Ass´ıntotas Verticais
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Ass´ıntotas Verticais
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