Considere a função f(x) = x+1 √x 2 + x−6 a) Determine o domínio; b) Determine as assíntotas; c) esboce o gráfico e determine todos os limites infin...

a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa, ou seja, x² + x - 6 ≥ 0. Resolvendo a inequação, temos x ≤ -3 ou x ≥ 2. Portanto, o domínio é D = (-∞, -3] ∪ [2, +∞). b) Para determinar as assíntotas, precisamos calcular o limite da função quando x tende a infinito e quando x tende a menos infinito. Temos: lim f(x) = lim [(x+1) √(x² + x - 6)] = lim [x √(1 + 1/x - 6/x²) + √(1 + 1/x - 6/x²)] x → ±∞ Como x² é dominante em relação a x e 6/x² tende a zero quando x tende a infinito, temos: lim f(x) = lim [x √(1/x²) + √(1/x²)] = lim [(1 + 1/x) + 0] = 1 x → ±∞ Portanto, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal. c) Para esboçar o gráfico, podemos começar analisando o sinal da função. Temos: f(x) = x+1 √(x² + x - 6) = (x+1) √[(x-2)(x+3)] (x-2)(x+3) ≥ 0 x ≤ -3 ou x ≥ 2 Ou seja, a função é positiva para x ≤ -3 ou x ≥ 2. Para x entre -3 e 2, a função é negativa. Além disso, a função tem um ponto de mínimo em x = -1/2, onde f(-1/2) = -2√2. Os limites infinitos já foram calculados na letra b). Temos: lim f(x) = 1 x → ±∞ Portanto, a assíntota horizontal é y = 1. O gráfico da função é uma curva que começa em (-∞, 0) e sobe até atingir o ponto de mínimo em (-1/2, -2√2), depois continua subindo até atingir a assíntota horizontal y = 1. A curva é simétrica em relação ao eixo y = x.