Regra da Cadeia e Equações Paramétricas

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 1 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Teorema (Regra da cadeia)
Se f (u) e´ deriva´vel no ponto u = g(x) e g(x) e´ deriva´vel
em x, enta˜o a func¸a˜o composta (f ◦ g)(x) = f (g(x)) e´
deriva´vel em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x).
Na notac¸a˜o de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x), enta˜o
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
onde dy/du e´ calculada em u = g(x).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 2 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Teorema (Regra da cadeia)
Se f (u) e´ deriva´vel no ponto u = g(x) e g(x) e´ deriva´vel
em x, enta˜o a func¸a˜o composta (f ◦ g)(x) = f (g(x)) e´
deriva´vel em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x).
Na notac¸a˜o de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x), enta˜o
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
onde dy/du e´ calculada em u = g(x).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 2 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Exemplo
Um objeto se desloca ao longo do eixo x de modo que em
qualquer instante t ≥ 0 sua posic¸a˜o e´ dada por
x(t) = cos(t2 + 1). Determine a velocidade do objeto em
func¸a˜o de t.
Exemplo
Derive em relac¸a˜o a x as func¸o˜es.
(a) y = sen(x2 + x);
(b) y = ecos x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 3 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Exemplo
Um objeto se desloca ao longo do eixo x de modo que em
qualquer instante t ≥ 0 sua posic¸a˜o e´ dada por
x(t) = cos(t2 + 1). Determine a velocidade do objeto em
func¸a˜o de t.
Exemplo
Derive em relac¸a˜o a x as func¸o˜es.
(a) y = sen(x2 + x);
(b) y = ecos x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 3 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Em geral, se considerarmos a func¸a˜o u = u(x) temos
d
dx
eu = eu
du
dx
.
Exemplo (uso repetido da regra da cadeia)
Encontre a derivada de g(t) = tan(5− sen 2t).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 4 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Em geral, se considerarmos a func¸a˜o u = u(x) temos
d
dx
eu = eu
du
dx
.
Exemplo (uso repetido da regra da cadeia)
Encontre a derivada de g(t) = tan(5− sen 2t).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 4 / 13
Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o composta
Em geral, se considerarmos a func¸a˜o u = u(x) temos
d
dx
eu = eu
du
dx
.
Exemplo (uso repetido da regra da cadeia)
Encontre a derivada de g(t) = tan(5− sen 2t).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 4 / 13
Regra da cadeia com as poteˆncias de uma func¸a˜o
Se u = u(x) e f (u) = un teremos
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Exemplo
Determine as derivadas.
(a) y = (5x3 − x4)7
(b) y =
(
1
3x − 2
)
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 5 / 13
Regra da cadeia com as poteˆncias de uma func¸a˜o
Se u = u(x) e f (u) = un teremos
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Exemplo
Determine as derivadas.
(a) y = (5x3 − x4)7
(b) y =
(
1
3x − 2
)
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 5 / 13
Regra da cadeia com as poteˆncias de uma func¸a˜o
Se u = u(x) e f (u) = un teremos
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Exemplo
Determine as derivadas.
(a) y = (5x3 − x4)7
(b) y =
(
1
3x − 2
)
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 5 / 13
Regra da cadeia com as poteˆncias de uma func¸a˜o
Exemplo
(a) Encontre o coeficiente angular da reta tangente
a` curva y = sen5 x no ponto onde x = pi/3.
(b) Mostre que o coeficiente angular de qualquer
reta tangente a` curva
y =
1
(1− 2x)3
e´ positivo.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 6 / 13
Equac¸o˜es parame´tricas
Definic¸a˜o
Se x e y sa˜o dados como
x = f (t), y = g(t)
ao longo de um intervalo de valores de t, enta˜o o
conjunto de pontos (x , y) = (f (t), g(t)) definido por
essas equac¸o˜es e´ uma curva parametrizada. As
equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es parame´tricas para a curva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 7 / 13
Equac¸o˜es parame´tricas
Definic¸a˜o
Se x e y sa˜o dados como
x = f (t), y = g(t)
ao longo de um intervalo de valores de t, enta˜o o
conjunto de pontos (x , y) = (f (t), g(t)) definido por
essas equac¸o˜es e´ uma curva parametrizada. As
equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es parame´tricas para a curva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 7 / 13
Equac¸o˜es parame´tricas
Exemplo
Trace as curvas parame´tricas:
(a) x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
(b) x = a cos t, y = a sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 8 / 13
Equac¸o˜es parame´tricas
Exemplo
A posic¸a˜o P(x , y) de uma part´ıcula deslocando-se em um
plano xy e´ dada pelas equac¸o˜es e pelo intervalo do
paraˆmetro
x =
√
t, y = t, t ≥ 0.
Identifique o caminho percorrido pela part´ıcula e descreva
o movimento.
Exemplo
Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta
com extremidades (−2, 1) e (3, 5).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 9 / 13
Equac¸o˜es parame´tricas
Exemplo
A posic¸a˜o P(x , y) de uma part´ıcula deslocando-se em um
plano xy e´ dada pelas equac¸o˜es e pelo intervalo do
paraˆmetro
x =
√
t, y = t, t ≥ 0.
Identifique o caminho percorrido pela part´ıcula e descreva
o movimento.
Exemplo
Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta
com extremidades (−2, 1) e (3, 5).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 9 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
Uma curva parametrizada x = f (t) e y = g(t) sera´
deriva´vel em t se x e y forem deriva´veis em t.
Sendo y deriva´vel em x temos
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
Se dx/dt 6= 0, obtemos
(Fo´rmula parame´trica para dy/dx)
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 10 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
Uma curva parametrizada x = f (t) e y = g(t) sera´
deriva´vel em t se x e y forem deriva´veis em t.
Sendo y deriva´vel em x temos
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
Se dx/dt 6= 0, obtemos
(Fo´rmula parame´trica para dy/dx)
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 10 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
Uma curva parametrizada x = f (t) e y = g(t) sera´
deriva´vel em t se x e y forem deriva´veis em t.
Sendo y deriva´vel em x temos
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
Se dx/dt 6= 0, obtemos
(Fo´rmula parame´trica para dy/dx)
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 10 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
Exemplo
Descreva o movimento de uma part´ıcula cuja posic¸a˜o
P(x , y) no tempo t e´dada por
x = a cos t y = b sen t 0 ≤ t ≤ 2pi.
Encontre a reta tangente a` curva no ponto
(a/
√
2, b/
√
2), quando t = pi/4. (a, b > 0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 11 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
(Fo´rmulas parame´tricas para d2y/dx2)
Se as equac¸o˜es x = f (t), y = g(t) definem y como uma
func¸a˜o de x deriva´vel duas vezes, enta˜o em qualquer
ponto onde dx/dt 6= 0,
d2y
dx2
=
dy ′/dt
dx/dt
.
Exemplo
Determine d2y/dx2 em func¸a˜o de t, se x = t − t2,
y = t − t3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 12 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
(Fo´rmulas parame´tricas para d2y/dx2)
Se as equac¸o˜es x = f (t), y = g(t) definem y como uma
func¸a˜o de x deriva´vel duas vezes, enta˜o em qualquer
ponto onde dx/dt 6= 0,
d2y
dx2
=
dy ′/dt
dx/dt
.
Exemplo
Determine d2y/dx2 em func¸a˜o de t, se x = t − t2,
y = t − t3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 12 / 13
Coeficientes angulares de curvas parametrizadas
Exemplo
Um avia˜o da Cruz Vermelha lanc¸a suprimentos alimentares e me´dicos
de emergeˆncia em uma a´rea de desastre. Se o avia˜o lanc¸ar os
suprimentos imediatamente acima do liminte inicial de um campo
aberto com 700 pe´s de comprimento, e conserando que a carga se
desloca para a frente durante a queda,
x = 120t e y = −16t2 + 500, t ≥ 0
a carga caira´ dentro do campo? As coordenadas x e y sa˜o medidas
em pe´s e o paraˆmetro t (tempo apo´s o lanc¸amento), em segundos.
Encontre uma equac¸a˜o cartesiana para a trajeto´ria da carga lanc¸ada e
a taxa de queda da carga em relac¸a˜o a seu movimento para diante
quando ela atinge o solo.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A regra da cadeia e as equac¸o˜es parame´tricas 23 de julho de 2013 13 / 13