SUBESPAÇO VETORIAL - Material de apoio

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Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA 
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SUBESPAÇO VETORIAL 
Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V, então W é um subespaço de V 
se, e somente se, valem as seguintes condições. 
(a) Se o vetor nulo �⃗⃗� ∈ 𝑽 pertence a W. 
(b) Se �⃗� e 𝑣 são vetores de W, então �⃗� + 𝑣 está em W. 
(c) Se 𝛼 é um escalar real e �⃗� é um vetor em W, então 𝛼�⃗� está em W. 
 
Exemplos de Subespaços em ℝ𝟐 e ℝ𝟑: 
Exemplo 1) 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 |𝑦 = 2𝑥} 
Resolução: 
a) Vetor nulo de ℝ2 pertence a 𝑆1 
�⃗⃗� = (0, 0) ∈ ℝ2 → 𝑦 = 2𝑥 → 0 = 2.0 como satisfaz a condição do conjunto 𝑆1 então: �⃗⃗� = (0, 0) ∈ 𝑆1 
b) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆1 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆1 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆1 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) → 𝑦1 = 2𝑥1
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) → 𝑦2 = 2𝑥2
 → 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
Verificando se 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝑆1: 
𝑦1 + 𝑦2 = (2𝑥1) + (2𝑥2) = 2(𝑥1 + 𝑥2) → 𝑦1 + 𝑦2 = 2(𝑥1 + 𝑥2) → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆1 
c) 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝑆1 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆1 
𝑢 ∈ 𝑆1 → 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑦1 = 2𝑥1 
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
Verificando se 𝛼𝑢 pertence a 𝑆1: 
𝛼𝑦1 = 𝛼(2𝑥1) = 2(𝛼𝑥2)
⏞ 
𝐶𝑜𝑚𝑢𝑡𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑛º𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜)
→ 𝛼𝑦1 = 2(𝛼𝑥1) → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆1 
Exemplo 2) 𝑆2 = {(𝑥, 4 − 2𝑥) ∈ ℝ2|𝑥 ∈ ℝ} 
Note que este conjunto é dos pontos sobre a reta: 𝑦 = 4 − 2𝑥 
a) Vetor nulo de ℝ2 pertence a 𝑆2 
�⃗⃗� = (0, 0) ∈ ℝ2 → 𝑦 = 4 − 2𝑥 → 0 ≠ 4 − 2.0 como não satisfaz a condição do conjunto 𝑆2 então: �⃗⃗� =
(0, 0) ∉ 𝑆2. 
Perceba, que 𝑆2 é o conjunto de pontos que pertencem a uma reta que não passa pela origem. 
 
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• Retas e Planos que passam pela origem: 
𝐸𝑞. 𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑡𝑎: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 → 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 
Conjunto das retas que passam pela origem: 
𝑆1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2|𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} 
Resolução: 
a) Vetor nulo de ℝ2 pertence a 𝑆1 
�⃗⃗� = (0, 0) ∈ ℝ2 → 𝑎. 0 + 𝑏. 0 = 0 como satisfaz a condição do conjunto 𝑆1 então: �⃗⃗� = (0, 0) ∈ 𝑆1 
b) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆1 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆1 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆1 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) → 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 = 0
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 0
 → 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
Verificando se 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝑆1: 
𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) = (𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2) + (𝑏𝑦1 + 𝑏𝑦2) = (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1)
⏞ 
0
+ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2)
⏞ 
0
= 0 + 0 = 0
→ 𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) = 0 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆1 
c) 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝑆1 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆1 
𝑢 ∈ 𝑆1 → 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 = 0 
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
Verificando se 𝛼𝑢 pertence a 𝑆1: 
𝑎(𝛼𝑥1) + 𝑏(𝛼𝑦1) = 𝛼(𝑎𝑥1) + 𝛼(𝑏𝑦1) = 𝛼 (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1⏞ 
0
) = 𝛼0 = 0 → 𝑎(𝛼𝑥1) + 𝑏(𝛼𝑦1) = 0 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆1 
 
𝐸𝑞. 𝑑𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 → 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 
Conjunto dos planos que passam pela origem: 
𝑆2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ
3|𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} 
Resolução: 
a) Vetor nulo de ℝ3 pertence a 𝑆2 
�⃗⃗� = (0, 0, 0) ∈ ℝ3 → 𝑎. 0 + 𝑏. 0 + 𝑐. 0 = 0 como satisfaz a condição do conjunto 𝑆2 então: 
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 �⃗⃗� = (0, 0,0) ∈ 𝑆2 
b) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆2 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆2 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆2 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) → 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 0
 → 
→ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
Verificando se 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝑆2: 
𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) + 𝑐(𝑧1 + 𝑧2) = (𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2) + (𝑏𝑦1 + 𝑏𝑦2) + (𝑐𝑧1 + 𝑐𝑧2) =
= (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 )
⏞ 
0
+ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 )
⏞ 
0
= 0 + 0 + 0 = 0
→ 𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2) + 𝑐(𝑧1 + 𝑧2) = 0 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆2 
c) 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝑆2 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆2 
𝑢 ∈ 𝑆2 → 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0 
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) 
Verificando se 𝛼𝑢 pertence a 𝑆2: 
𝑎(𝛼𝑥1) + 𝑏(𝛼𝑦1) + 𝑐(𝛼𝑧1) = 𝛼(𝑎𝑥1) + 𝛼(𝑏𝑦1) + 𝛼(𝑐𝑧1) = 𝛼 (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1⏞ 
0
) = 𝛼0 = 0
→ 𝑎(𝛼𝑥1) + 𝑏(𝛼𝑦1) + 𝑐(𝛼𝑧1) = 0 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆2 
 
• Subespaço de ℝ𝒏 - Hiperplano que passa pela origem: 
 
Sejam 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ. O conjunto H de todos os vetores 𝑣 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 tais que: 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 
É um subespaço de ℝ𝑛? 
Resolução: 
a) Vetor nulo de ℝ𝑛 pertence a 𝐻 
�⃗⃗� = (0, 0, … , 0) ∈ ℝ𝑛 → 𝑎1. 0 + 𝑎2. 0 + ⋯+ 𝑎𝑛. 0 = 0 como satisfaz a condição do conjunto 𝐻 então: 
 �⃗⃗� = (0, 0,0) ∈ 𝐻 
b) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝐻 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) → 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑣 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) → 𝑎1𝑦1 + 𝑎2𝑦2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑛 = 0
 → 
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→ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) 
Verificando se 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝐻: 
𝑎1(𝑥1 + 𝑦1) + 𝑎2(𝑥2 + 𝑦2) + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = (𝑎1𝑥1 + 𝑎1𝑦1) + (𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2) + ⋯+ (𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛𝑦𝑛)
= (𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛⏞ 
0
) + (𝑎1𝑦1 + 𝑎2𝑦2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑛⏞ 
0
) = 0 + 0 = 0 → 
 
𝑎1(𝑥1 + 𝑦1) + 𝑎2(𝑥2 + 𝑦2) + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = 0 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝐻 
c) 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝐻 → 𝛼𝑢 ∈ 𝐻 
𝑢 ∈ 𝐻 → 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) 𝑒 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, … , 𝛼𝑥𝑛) 
Verificando se 𝛼𝑢 pertence a 𝐻: 
𝑎1(𝛼𝑥1) + 𝑎2(𝛼𝑥2) + ⋯+ 𝑎𝑛(𝛼𝑥𝑛) = 𝛼(𝑎1𝑥1) + 𝛼(𝑎2𝑥2) + ⋯+ 𝛼(𝑎𝑛𝑥𝑛) =
= 𝛼 (𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛⏞ 
0
) = 𝛼0 = 0 → 𝑎1(𝛼𝑥1) + 𝑎2(𝛼𝑥2) + ⋯+ 𝑎𝑛(𝛼𝑥𝑛) = 0
→ 𝛼𝑢 ∈ 𝐻 
Exemplos de Não Subespaço em ℝ𝟐: 
Exemplo 1) Mostre que o conjunto de ponto (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 pertencentes a reta 𝑦 = 4 − 2𝑥, que não 
passa pela origem, não é um subespaço vetorial de ℝ2. Ou seja, o conjunto: 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑦 = 4 − 2𝑥} ou 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0} 
Resolução: 
a) Vetor nulo de ℝ2 pertence a S 
Neste caso vamos verificar se o vetor nulo de ℝ2, ou seja, �⃗⃗� = (0, 0), satisfaz a equação geral da reta: 
�⃗⃗� = (0, 0) → 2.0 + 0 − 4 = −4 ≠ 0 
Ou seja, como o vetor �⃗⃗� = (0, 0) não satisfaz a equação geral da reta, segue que não pertence ao 
conjunto S. 
b) Verificar se a soma 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 
Considere 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 , sendo assim estamos considerando dois pontos da reta, ou seja, as coordenadas 
dos vetores satisfazem a equação geral da reta: 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) → 2𝑥1 + 𝑦1 − 4 = 0
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) → 2𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0
 
 
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 Posto isto, temos que: 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
Para verificar que a soma pertence a S, precisamos mostrar que as suas coordenadas satisfazem a 
equação geral da reta: 
2(𝑥1 + 𝑥2) + (𝑦1 + 𝑦2) − 4=⏞
?
0 → 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 − 4 = 0 → 
(2𝑥1 + 𝑦1 − 4)
⏞ 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 é
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜,
𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑢∈𝑆.
+ (2𝑥2 + 𝑦2)
⏞ 
𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠
𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒
𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎
𝑧𝑒𝑟𝑜.
= 0 + (2𝑥2 + 𝑦2) ≠ 0 
Desta forma, a soma não pertence ao conjunto S. 
Podemos utilizar um contraexemplo para mostrar que a soma não pertence:Considere 𝑢 = (1, 2) ∈ 𝑆 e 𝑣 = (3, 2) ∈ 𝑆, pois {
𝑢 = (1, 2) ∈ 𝑆 → 2.1 + 2 − 4 = 0
𝑣 = (3, −2) ∈ 𝑆 → 2.3 − 2 − 4 = 0
. 
A soma 𝑢 + 𝑣 = (1, 2) + (3, −2) = (4, 0), mas 2.4 + 0 − 4 = 4 ≠ 0, ou seja, a soma não pertence a S. 
c) Verificar que 𝛼𝑢 ∈ 𝑆 para 𝛼 ∈ ℝ 
Considere 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) ∈ 𝑆 então 2𝑥1 + 𝑦1 − 4 = 0. 
Sabe-se que: 𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1). 
Para mostrar que 𝛼𝑦 ∈ 𝑆 devemos verificar que suas coordenadas satisfazem a equação geral da 
reta: 
2(𝛼𝑥1) + (𝛼𝑦1) − 4=⏞
?
0 → 𝛼(2𝑥1) + 𝛼𝑦1 − 4 = 𝛼(2𝑥1 + 𝑦1) − 4 ≠ 0 
Temos que 2𝑥1 + 𝑦1 são parcelas da expressão 2𝑥1 + 𝑦1 − 4 = 0, porém não conseguimos agrupá-
los com o (-4), devido ao fator 𝛼. Com isso, não conseguimos garantir que a expressão do produto por 
um escalar vai ser zero. 
Podemos utilizar um contraexemplo para falsear este axioma: 
𝛼 = 2 e 𝑢 = (1, 2), então 𝛼𝑢 = 2. (1, 2) = (2, 4) 
Entretanto, 2.2 + 4 − 4 = 4 ≠ 0, ou seja, 𝛼𝑢 não pertence a S mesmo 𝑢 ∈ 𝑆. 
 
Exemplo 2) Seja W o conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦) em ℝ2 tais que 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0. Mostre que 
esse conjunto não é subespaço de ℝ2. 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0} 
Resolução: 
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a) Vetor nulo de ℝ2 pertence a 𝑊 
�⃗⃗� = (0, 0) ∈ ℝ2 → 0 ≥ 0 𝑒 0 ≥ 0 como satisfaz a condição do conjunto 𝑊 então: �⃗⃗� = (0, 0) ∈ 𝑊 
b) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 → {
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) → 𝑥1 ≥ 0 𝑒 𝑦1 ≥ 0
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) → 𝑥2 ≥ 0 𝑒 𝑦2 ≥ 0
 → 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
Verificando se 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝑊: 
{
(𝑥1 + 𝑥2) ≥ 0, 𝑝𝑜𝑖𝑠 é 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
(𝑦1 + 𝑦2) ≥ 0, 𝑝𝑜𝑖𝑠 é 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑣𝑜𝑠
 
 
c) 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝐻 → 𝛼𝑢 ∈ 𝐻 
𝑢 ∈ 𝐻 → 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑐𝑜𝑚 𝑥1 ≥ 0 𝑒 𝑦1 ≥ 0 
𝛼𝑢 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
Verificando se 𝛼𝑢 pertence a 𝐻: 
Devemos lembrar de que 𝛼 ∈ ℝ e que 𝛼 não pertence ao conjunto 𝑊. Isso quer dizer que este escalar 
pode ser tanto positivo quanto negativo, não havendo restrição. Sendo assim, se 𝛼, por exemplo, for 
negativo, teremos que: 
{
(𝛼𝑥1)