Exercicios_quadratica_respostas

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Centro Universitário Univates 
INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS EXATAS 
 
Professores Adriano Neuenfeldt e Eliana Borragini Página 1 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Dada a função ���� � �� � 4x 
 3. Determine: 
a) As suas raízes. (x’=1 e x’’=3) 
b) As coordenadas do vértice da parábola. (2;-1) 
c) O gráfico. 
 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse 
valor. (fmín=-1,0) 
e) O conjunto imagem. 
f) Para que valores de x é crescente a função.(x∈ℜ/x>2) 
g) Para que valores de x é decrescente a função. (x∈ℜ/x<2) 
 
 
2) Dada a função ���� � ��� 
 4x � 4. Determine: 
a) As suas raízes. (x’=x’’=2) 
b) As coordenadas do vértice da parábola. (2;0) 
c) O gráfico. 
 
 
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor. 
(fmáx=0) 
e) O conjunto imagem. (Im={f(x)∈ℜ/f(x)≤0 ) 
f) Para que valores de x é crescente a função. (∀x<2) 
g) Para que valores de x é decrescente a função. (∀x>2) 
 
3) A posição de um corpo em Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV) é dada pela relação 
22,0t4,0t10x(t) +−= (S.I.). O movimento, de acordo com 
esta equação, somente se inicia no instante t=0 e prossegue 
até o instante t=30s. Determine: 
a) Os instantes em que o corpo passa pela origem do 
referencial. (ele não passa pela origem) 
b) O instante em que o sentido do movimento inverte. 
(t=1s) 
c) O gráfico x x t 
OBS: No programa graphmatemática eu não consigo trocar as letras 
x e y. no gráfico y corresponde a x(t), em metros, e x corresponde a t, 
em s. 
 
 
d) A posição em que o sentido do movimento se inverte. (x=8m) 
e) Intervalo de validade da equação (conjunto imagem). Im={x(t)∈ℜ/8≤x} 
f) Para quais instantes o movimento é progressivo. {t∈ℜ/1<t<30} 
g) Para quais instantes o movimento é regressivo. {t∈ℜ/0≤t<1} 
 
 
4) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura 
h, em metros, t segundos após o lançamento, seja 
645 2 ++−= tth (S.I.). Determine: 
a) o instante em que a bola atinge a altura máxima. 
(0,4s) 
b) a altura máxima atingida pela bola. (6,8m) 
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o 
solo. (1,566s) 
d) o gráfico da altura em função do tempo. (no gráfico y 
representa h, em m, e x representa t, em s) 
 
 
5) Em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade q, de fertilizante utilizada e tal 
dependência pode ser expressa por P = -3q2 + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg 
e a quantidade de fertilizante em g/m2: 
a) Faça um esboço do gráfico. 
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No gráfico y representa a Produção, P em 
kg, e x representa a quantidade de 
fertilizante, q em g/m2. 
b) Determine a quantidade de fertilizante 
para que a produção seja máxima. 
(15g/m2) 
c) Determine a produção máxima. 
(1200kg) 
d) Determine a concavidade. (concavidade 
negativa) 
e) Encontre as raízes da função. (q’=-
5g/m2; q’’=35g/m2. OBS O valor 
negativo neste caso não teria 
significado) 
f) Encontre o vértice da função e determine o seu significado. (V=(15;1200) para uma quantidade de fertilizante de 
15g/m2 teremos a máxima produção, que é de 1200kg. 
 
6) O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q representa a quantidade de 
garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p x q: 
a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os 
principais pontos e o eixo de simetria. (R=-2q2+400q) 
principais pontos: Raízes: q’=0 q’’=200; Vértice: (100;20.000) 
Eixo de simetria passa pelo vértice e pelo ponto (100;0). No 
gráfico y representa e receita, R em valores, e x representa a 
quantidade de garrafas q, em unidades. 
 
 
b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para 
que a receita seja máxima? Qual a receita máxima? (para 100 
garrafas produzidas é obtida a máxima receita, de 20.000) 
c) Para quais quantidades comercializadas a receita é 
crescente? E decrescente? (de 0 a 100 garrafas R é crescente e 
a partir de 100 é decrescente) 
 
7) Uma indústria pode fabricar 
determinada peça de reposição a um custo 
de R$ 20,00 a unidade. É estimado que, se 
as peças são vendidas a x reais cada uma, 
então os consumidores comprarão (120-x) 
peças por mês. O preço de venda que 
proporciona lucro máximo no mês será: 
a) R$ 100,00 xb) R$ 70,00 c) 
R$ 60,00 d) R$ 40,00 e) R$ 20,00 
Para resolver é preciso encontrar a equação 
para o lucro L. Lembre que o lucro é dado 
pelo preço de venda menos o custo, 
multiplicado pelo número total de peças 
vendidas! Obtém-s: L=-x2+140x-2400 
 
8) O lucro de uma empresa é dado pela 
expressão L(x) = 200(x-20) (4-x), em que 
x é a quantidade de produtos vendidos. 
Diante disso, pode-se afirmar que: 
a) o lucro é máximo para x igual a 24. 
b) o lucro é positivo para x maior que 12. 
c) o lucro é negativo para x menor que 14. 
xd) o lucro é positivo para x entre 4 e 20. 
e) o lucro é positivo para qualquer valor de 
x. 
Para resolver é preciso realizar a multiplicação 
indicada para o lucro, obtendo-se L(x)=-
200x2+4800x-16000 que tem o gráfico a seguir: 
 
 
 
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9) Na figura abaixo tem-se um quadrado inscrito em outro 
quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno (A), 
subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 
triângulos. Feito isso,verifica-se que A é uma função da medida 
x. O valor mínimo de A é: (Obs. As medidas estão em 
centímetros.) 
a) 16 cm² 
b) 24 cm² 
c) 28 cm² 
xd) 32 cm² 
e) 48 cm² 
 
A equação da área fica: 
 A=2x2-16x+64 
 
 
 
 
 
 
10) Um movimento pode ser descrito pelo gráfico ao 
lado: 
 
Porém o movimento somente passa a ser descrito pelo 
gráfico no instante t=0. Encontre: 
a) A função d(t); d(t) = -t² + 2t + 3 
b) A posição inicial deste móvel. c = 3m 
c) Determine o instante e a posição em que o móvel 
inverte o sentido do movimento. Em d=4m 
 
 
 
 
 
 
11) Um movimento pode ser descrito pelo gráfico ao lado: 
Porém o movimento somente passa a ser descrito pelo gráfico no instante 
t=0. Encontre: 
a) A função d(t); d(t) = t² – 3t + 2 
b) Os instantes em que o móvel passa pela origem do referencial. 
Em t=1s e em t=2s 
c) Determine o instante e a posição em que o móvel inverte o 
sentido do movimento. Em t=1,5s e em d=-025m 
 
 
 
 
12) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, 
localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo 
em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. Sabendo-se que o gol 
está a 8 metros da barreira, a que altura estará bola ao atingir o gol? 
 
 
Vértice: (0 , 3) →→→→ b = 0 
f(x) = ax² + bx + c 
c = 3 →→→→ f(x) = ax² + 3 
Raízes: x1 = -12; x2 = 12 
a= - 1/ 48 
Logo, f(x) = - 1 / 48 x² + 3 
Quando x = -8, 
f(x) = - 64/48 + 3 
f(x) = 5/3 
Logo, a bola atingirá o gol 
a uma altura de 1,67m, aproximadamente. 
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13) Uma viga metálica está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexão na vertical, em relação ao 
segmento horizontal AB, dada por ���� � 
�����
�

���
, na qual y é dado em centímetros se x é dado em metros. Em 
um ponto de AB que dista x metros de A, conforme a figura a seguir. 
 
Podemos afirmar que: 
a) a viga tem 20 metros. 
xb) a deflexão máxima da viga é de 25 mm. 
c) a deflexão máxima da viga ocorre para x = 
10. 
d) a distância entre os pontos onde a deflexão 
é 16 mm é 5 metros. 
e) a deflexão y(x) é diretamente proporcional a 
x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) A posição de um corpo em Movimento Variado em função do tempo é dado pela equação: 
24 12t24tx(t) −= S.I. 
a) Em que instantes o corpo passa pela origem do referencial. 
b) Todas as raízessão válidas para este movimento? 
c) Que posição o corpo ocupa após 2,3 minutos de movimentos. 
d) Em que instante o corpo passa pela posição 12 metros? 
 
recurso: usarei a relação t2=T, portanto posso reescrever a relação na forma: 
x(t)=24T2-12T 
Para encontrar as raízes, como o termo “c” é nulo (y=ax2+bx+c), posso fazer a relação: 
x(T)=0 � 0=24T2-12T � 0=T(24T-12) 
para que o resultado seja nulo, como exige a condição, tenho duas possibilidades: 
1º) T=0 
2º) 24T-12=0 neste caso 24T=12 portanto T=0,5 
 
Então, como t2=T, as raízes da equação original serão: 
t2=0 � � � √0 � t’=t’’=0 
t2=0,5 � � � �0,5 � t’’’=+0,707 e t’’’’=-0,707 
 
b) A raiz t’’’’=-0,707 não é válida pois ocorre antes do movimento iniciar, como descrito pela 
equação. 
c) em 2,3min de movimento o corpo estaria na posição 8,7.109m (quase na lua?!) 
d) em t=1s