livro cálculo diferencial e integral

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Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
Ed. v1.0.0
i
Cálculo Diferencial e Integral
Sumário
1 Noções Básicas dos Erros 1
1.1 Representação de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conversão dos números no sistema decimal e binário . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Sistema de Ponto Flutuante Normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Erro Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Erro Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Erros de Arredondamento e Truncamento em um sistema de ponto flutuante . 9
1.4.4 Propagação do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Vetores em $\mathbb{R}ˆn$ 13
2.1 Vetores em $\mathbb{R}ˆn$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Adição de vetores e multiplicação por um escalar . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Norma e distância em $\mathbb{R}ˆn$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Estudo da Álgebra Matricial 18
3.1 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ii
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 1
Noções Básicas dos Erros
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real;
• Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função;
• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;
• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-
ção de funções;
• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir;
• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo às
funções definidas no conjunto dos números reais.
Na resolução de qualquer problema, em forma geral, se inicia pela observação e a compreensão do
problema em termos científicos, nos quais usamos a teoria já conhecida; e se busca a construção de um
modelo matemático o qual deve de representar o mais próximo o nosso problema. Este procedimento
é conhecido como a fase da modelagem.
A menos que algumas medidas sejam consideradas, certas imprecisões como por exemplo:
i. por simplificação no modelo matemático, algumas vezes necessária para obter um modelo ma-
temático solúvel;
ii. erro de truncamento, troca de uma serie infinita para uma finita;
iii. erro de arredondamento, devido à própria estrutura da maquina;
iv. erro nos dados, dados imprecisos obtidos de experimentos, ou arredondados na entrada,
v. etc.
podem diminuir a precisão dos resultados, e algumas vezes podem fornecer resultados incorretos.
Com este intuito, neste Capítulo, apontamos para os problemas que possam aparecer na resolução de
um problema, e estudamos os erros que surgem da representação de um número no computador e os
erros das operações efetuadas.
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Cálculo Diferencial e Integral
1.1 Representação de números
A aritmética executada por uma calculadora ou computador é diferente daquela da utilizada na Ma-
temática. Poderíamos esperar que sempre são verdadeiras as afirmações como 2+3 = 5, 2×3 = 6 e(√
2
)2
= 2. No computador estardar, esperamos resultados exatos para 2+3 = 5, 2×3 = 6, porém
não obtemos de forma precisa
(√
2
)2
= 2, para entender isto devemos conhecer a aritmética com o
número finito de algarismos.
No mundo da matemática, trabalhamos com números com uma quantidade infinita de algarismos por
exemplo pi = 3.14159265358979323846 . . .. Em particular, define-se
√
2 como o único número po-
sitivo que quando multiplicado por ele mesmo produz o inteiro 2. Na computação, entretanto, cada
número representável tem apenas um número fixo e finito de algarismos, o que implica que números
como pi e
√
2 não podem ser representados de forma exata, e assim recebem uma representação apro-
ximada a qual sera suficientemente próxima do valor exato e será considerado aceitável na maioria
das situações. Embora muitas vezes a aritmética usada no computador seja satisfatória, aparecem
problemas devido a esta limitação.
Na maior parte dos equipamentos computacionais trabalham com números reais no sistema binário,
em contraste com o sistema decimal que normalmente usamos. De fato, quando introduzimos uma
informação numérica no computador estas são transformados em uma outra base de representação.
Porém, em muitas situações, dita transformação pode estar com erros, devido à limitação da represen-
tação do equipamento usado para o processamento das informações numéricas. A implicação deste
fato, é que uma simples operação aritmética entre números representados no computador podem con-
ter erros, por isto, a menos que sejam consideradas certas formas de conter as imprecisões decorrentes
de fatores tanto internos como de externos.
1.2 Conversão dos números no sistema decimal e binário
Em primeiro lugar veremos a conversão dos números inteiros. Consideremos os números (125)10 e
(11010)2 e lembramos que estes podem ser escritos da seguinte forma:
(125)10 = 1×102+2×101+5×100
(11010)2 = 1×24+1×23+0×22+1×21+0×20
De forma geral, dado um número na base β : (aiai−1 . . .a2a1a0)β com 0≤ a j ≤ (β −1), j = 0, . . . , i,
pode ser representado da seguinte forma:
(aiai−1 . . .a2a1a0)β = ai×β i+ai−1×β i+ · · ·a2×β 2+a1×β 1+a0×β 0 =
i
∑
j=0
a j×β j.
Da representação anterior, podemos converter um número expressado em binário para o sistema de
base 10.
Exemplo 1.1
(11010)2 = 1×24+1×23+0×22+1×21+0×20
= 2× (1+2× (0+2× (1+2×1)))+0
= (26)10
Do exemplo, se obtêm uma forma para converter um número da base binaria para o sistema decimal:
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A representação do número (aiai−1 . . .a2a1a0)2 na base 10, denotada por b0, é obtida da seguinte
forma:
bi = ai
bi−1 = ai−1+2×bi
bi−2 = ai−2+2×bi−1
...
b1 = a1+2×b2
b0 = a0+2×b1
No exemplo anterior, os valores são:
b4 = a4 = 1
b3 = a3+2×b4 = 1+2×1 = 3
b2 = a2+2×b3 = 0+2×3 = 6
b1 = a1+2×b2 = 1+2×6 = 13
b0 = a0+2×b1 = 0+2×13 = 26
Agora vejamos como converter um numero inteiro da base decimal para o binário.
Exemplo 1.2
Considere o número b0 = (271)10 e a sua representação em binário (aiai−1 . . .a2a1a0)2, assim
(271)10 = (aiai−1 . . .a2a1a0)2
= ai×2i+ai−1×2i+ · · ·a2×22+a1×21+a0×20
= 2× (ai×2i−1+ai−1×2i−2+ · · ·a2×21+a1×20)+a0
= 2×135+1
assim, o digito a0 = 1 representa o resto da divisão de 271 por 2. Repetindo o processo para b1 = 135
135 = ai×2i−1+ai−1×2i−2+ · · ·a2×21+a1
= 2× (ai×2i−2+ai−1×2i−3+ · · ·a2×20)+a1
= 2×67+1
assim, o digito a1 = 1 representa o resto da divisão de b1 = 135 por 2. Repetindo o processo obteremos
a seguintes sequencias bi e ai
b0 = 271 = 2×135+1 ⇒ a0 = 1
b1 = 135 = 2×67+1 ⇒ a1 = 1
b2 = 67 = 2×33+1 ⇒ a2 = 1
b3 = 33 = 2×16+1 ⇒ a3 = 1
b4 = 16 = 2×8+0 ⇒ a4 = 0
b5 = 8 = 2×4+0 ⇒ a5 = 0
b6 = 4 = 2×2+0 ⇒ a6 = 0
b7 = 2 = 2×1+0 ⇒ a7 = 0
b8 = 1 = 2×0+1 ⇒ a8 = 1
Portanto, (271)10 = (100001111)2.
Considere um número inteiro n na base decimal e sua representação binaria denotada por
(aiai−1 . . .a2a1a0)2. Do exemplo anterior temos uma forma de obter o digito binário ak para cada
k.
Passo 0
k = 0
nk = n
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Passo 1
Obtenha qk e rk tais que:
nk = 2×qk+ rk
Faça ak = rk
Passo 2
Se qk = 0, PARE.
Caso Contrario, faça nk+1 = qk.
Faça k = k+1 e volte para o Passo 1.
Abordaremos agora a representação de um número fracionário da base 10 para a base binaria.
Exemplo 1.3
Consideremos:
n= 0.375, m= 0.4444 . . . , l = 0.21236891083 . . .
O número n tem representação finita, enquanto m e l possuem representação infinita.
Dado um número n ∈ (0,1), obteremos sua representação binaria. Consideremos o número n =
0.375, existem os dígitos binários d1,d2, . . . ,di, . . ., tais que a representação na base binaria de n é
(0.d1d2 . . .di . . .)2. Então
(0.375)10 = (0.d1d2 . . .di . . .)2 = d1×2−1+d2×2−2+ · · ·+di×2−i+ · · ·
Ao multiplicar cada termo da expressão anterior por 2 obtemos:
2×0.375 = 0.75 = 0+0.75 = d1+d2×2−1+d3×2−2+ · · ·+di×2−i+1+ · · ·
Assim, d1 = 0 representa a parte inteira de 2×0.375 e 0.75= d2×2−1+d3×2−2+ · · ·+di×2−i+1+
· · · representa a parte fraccionaria de 2×0.375.
Repetindo novamente o procedimento para o número 0.75:
0.75 = d2×2−1+d3×2−2+ · · ·+di×2−i+1+ · · ·
Ao multiplicar cada termo da expressão anterior por 2 obtemos:
2×0.75 = 1.5 = 1+0.5 = d2+d3×2−1+d4×2−2+ · · ·+di×2−i+2+ · · ·
Assim, d2 = 1 representa a parte inteira de 2×0.75 e 0.5= d3×2−1+d4×2−2+ · · ·+di×2−i+2+ · · ·
representa a parte fraccionaria de 2×0.75.
Repetindo novamente o procedimento para o número 0.5:
0.5 = d3×2−1+d4×2−2+ · · ·+di×2−i+2+ · · ·
Ao multiplicar cada termo da expressão anterior por 2 obtemos:
2×0.5 = 1.0 = 1+0.0 = d3+d4×2−1+ · · ·+di×2−i+3+ · · ·
Assim, d3 = 1 representa a parte inteira de 2×0.5 e 0.0=+d4×2−1+ · · ·+di×2−i+3+ · · · representa
a parte fraccionaria de 2×0.5, e como a parte fracionaria é zero, o processo termina. Assim, d1 = 0,
d2 = 0, d3 = 1, portanto
(0.375)10 = (0.001)2
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tem uma representação finita na base binaria.
Um numero n ∈ (0,1) pode ter representação finita no sistema decimal, porém representação infinita
na base 2.
Na situação geral, consideremos r ∈ (0,1) no sistema decimal e (0.d1d2 . . .di . . .)2 sua representação
no sistema binário.
Os dígitos binários d1,d2, . . . ,di, . . . são obtidos usando o seguinte método:
Passo 0
r1 = r k = 1
Passo 1
Calcule 2× rk. Se 2× rk ≤ 1, faça dk = 1. Caso Contrario, faça dk = 0
Passo 2
Faça rk+1 = 2× rk− dk. Se rk+1 = 0, PARE. Caso Contrario: Faça k = k+ 1 e volte para o
Passo 1.
Observar que o método pode ou não parar após um certo número finito de iterações.
Exemplo 1.4
Para r = (0.271)10 teremos r4 = 0, porém para r = (0.2)10, teremos r1 = 0.1
k = 1 : 2× r1 = 0.4 ⇒
{
d1 = 0
r2 = 0.4
k = 2 : 2× r2 = 0.8 ⇒
{
d2 = 0
r3 = 0.8
k = 3 : 2× r3 = 1.6 ⇒
{
d3 = 1
r4 = 0.6
k = 4 : 2× r4 = 1.2 ⇒
{
d4 = 1
r5 = 0.2 = r1
Já que r5 = r2, os resultados para k de 2 ate 4 serão repetidos, assim r9 = r5 = r1 = 0.2 e assim de
forma infinita. Portanto
(0.2)10 = (0.0011001100110011 . . .)2.
Tal situação, a da de não ter uma representação finita binaria pode gerar erros que em primeira instan-
cia seriam inexplicáveis em sistemas computacionais que trabalhem no sistema binário. De fato, ao
trabalhar com (0.2)10 no computador, ele trabalhara com uma aproximação, devido a que possui uma
quantidade fixa de posições para guardar os dígitos da mantissa de um número, e tal aproximação será
usada para realizar os cálculos. Por tanto, não podemos aguardar um resultado exato.
Agora obteremos a representação decimal de um número r ∈ (0,1) representado no sistema binário
por (r)2 = (0.d1d2 . . .di . . .)2:
Um método para converter é equivalente ao descrito previamente. Inicialmente definimos r1 = 1, a
cada iteração k, o processo multiplica o número rk por (10)10 = (1010)2 e obtém o digito bk como
sendo a parte inteira deste produto convertida para a base decimal. Note que as operações devem ser
realizadas no sistema binário.
Passo 0
r1 = r k = 1
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Cálculo Diferencial e Integral
Passo 1
Calcule wk = (1010)2× rk. Seja zk a parte inteira de wk. bk é a conversão de zk para a base 10.
Passo 2
Faça rk+1 = wk− zk. Se rk+1 = 0, PARE.
Passo 3
Faça k = k+1 e volte para o Passo 1.
Exemplo 1.5
considere o número: (r)2 = (0.000111)2 = (0.b1b2 . . .b j)10, pelo algoritmo r1 = (0.000111)2
k = 1 : (1010)2× r1 = 1.0001 ⇒
{
b1 = 1
r2 = 0.00011
k = 2 : (1010)2× r2 = 0.1111 ⇒
{
b2 = 0
r3 = 0.1111
k = 3 : (1010)2× r3 = 1001.011 ⇒
{
b3 = 9
r4 = 0.011
k = 4 : (1010)2× r4 = 11.11 ⇒
{
d4 = 3
r5 = 0.11
k = 5 : (1010)2× r5 = 111.1 ⇒
{
b5 = 7
r6 = 0.1
k = 6 : (1010)2× r6 = 101 ⇒
{
b6 = 5
r7 = 0
Concluímos (0.000111)2 = (0.109375)10.
1.3 Sistema de Ponto Flutuante Normalizado
Na construção de um equipamento computacional, apenas um subconjunto dos números reais é re-
presentado exatamente, e portanto a representação do numero real sera efetuada por truncamento ou
de arredondamento. Assim o numero sera representado no sistema denominado de ponto flutuante
normalizado.
Um número no sistema de ponto flutuante é descrito por uma base β , um número de dígitos signifi-
cativos n e um exponente exp.
Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível
representar-lo na forma:
nr =±(0.d1d2 . . .dn)×β exp
onde:
i. β ≥ 2 é a base em que a máquina opera;
ii. n é o número de dígitos na mantissa; 0≤ di ≤ (β −1), i= 1, . . . ,n, d1 6= 0;
iii. exp é o expoente no intervalo [expmin,expmax], sendo expmin ≤ 0 e expmax ≥ 1 com
expmin, expmax inteiros.
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Cálculo Diferencial e Integral
A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, define
o sistema de ponto flutuante normalizado, que denotamos por SPF(β ,n,expmin,expmax). O zero é
representado da seguinte forma:
zero = 0.000000 . . .0︸ ︷︷ ︸
n vezes
×β expmin
Observações:
i. O menor positivo exatamente representável,
m = 0.1000000 . . .0︸ ︷︷ ︸
(n−1) vezes
×β expmin;
i. O maior positivo exatamente representável,
M = 0× [β −1][β −1] . . . [β −1]︸ ︷︷ ︸
n vezes
×β expmax
i. O número máximo de mantissas positivas possíveis é
mantissaspossiveis = (β −1)×β n−1
i. O número máximo de expoentes possíveis é
exppossiveis = expmax−expmin+1
i. O número de elementos positivos representáveis é
NumR+ = mantissaspossiveis× exppossiveis
Se consideramos que dado um número real nr ∈ SPF temos que −nr ∈ SPF e a representação do zero
temos que o número total de elementos representáveis
NumRT = 2×NumR++1.
Exemplo 1.6
Considere o sistema de ponto flutuante SPF(β ,n,expmin,expmax) = SPF(10,3,−5,5). Os números
serão representados na seguinte forma:
0.d1d2d3×10exp, 0≤ di ≤ 9, d1 6= 0, exp ∈ [−5,5]
Assim
i. O menor número, positivo, representado neste sistema é m = 0.100×10−5 = 10−6;
ii. O maior número, positivo, é M = 0.999×105 = 99900;
iii. O número máximo de mantissas positivas possíveis é mantissaspossiveis = (10− 1)× 103−1 =
900;
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Cálculo Diferencial e Integral
iv. O número máximo de expoentes possíveis é NumR+ = 5− (−5)+1 = 11;
v. O número total de elementos representáveis é NumRT = 2×NumR++1 = 23.
Considere o conjunto dos números reais R e o conjunto A = {x ∈ R : m≤ |x| ≤M}. Assim dado
x ∈ R temos as seguintes possibilidades.
a. Se x ∈ A, considere por exemplo x = 135.87 = 0.13587× 103. Note-se que x tem 5 dígitos
na mantissa. Por outro lado, estão representados exatamente no sistema de ponto flutuante
0.135×103 e 0.136×103. Se for usado o truncamento, x sera representado por 0.135×103 e,
se for usado o arredondamento serão representado por 0.136×103.
b. Se |x| < m, considere por exemplo x = 0.123× 10−6. Este número não pode ser representado
no sistema de ponto flutuante devido a que o expoente exp = −6 ≤ −5 = expmin. Esta é uma
situação em que o sistemaacusa um underflow.
c. Se |x|> M, considere por exemplo x= 0.456×107. Este número não pode ser representado no
sistema de ponto flutuante devido a que o expoente exp = 7≥ 5 = expmax. Esta é uma situação
em que o sistema acusa um overflow.
Algumas linguagem de programação permitem que as variáveis possam ser declaradas em precisão
dupla, o qual significa que esta variável utilizara o dobro de dígitos disponíveis na mantissa, o qual
acarretara no aumento do tempo de execução e requerimentos de memória.
1.4 Erros
Nas medições cientificas, quando se aproxima um número real x mediante outro numero x, o erro que
resulta é x− x, e dependendo da magnitude da quantidade que esta sendo medida, tal erro poderia ser
pouco útil, por exemplo um erro de 1 metro ao determinar a distancia entre a Terra e a Lua, seria algo
assombroso, porem não seria aceptável que um cirurgião cometa tal magnitude de erro numa cirurgia.
1.4.1 Erro Absoluto
Definimos como erro absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproxi-
mado x,
EAx = x− x.
Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, é necessário trabalhar com um limitante
superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.
Exemplo 1.7
Se pi ∈ (3.14,3.15) consideraremos para representar pi um valor dentro do intervalo e teremos
|EApi |= |pi−pi|< 0.01.
Se agora x é o numero representado por x= 332.9 tal que
|EAx|< 0.1, isto é x ∈ (332.8,333)
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Cálculo Diferencial e Integral
e seja y representado por y= 1.4 tal que
|EAy|< 0.1, isto é y ∈ (1.3,1.5).
Poderíamos pensar que ambos números estão representados com a mesma precisão, porem para isso
devemos analisar a ordem de grandeza dos números x e y, por isso o erro absoluto não é suficiente
para indicar a precisão de um cálculo, e precisamos empregar o erro relativo.
1.4.2 Erro Relativo
Definimos o erro relativo como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado
ERx =
EAx
x
=
x− x
x
.
Podemos notar que o erro relativo proporciona mais informações sobre a qualidade do erro que esta-
mos cometendo num determinado calculo, já que a ordem de grandeza do valor calculado é contem-
plada.
Analisando o exemplo anterior, temos
|ERx|= |EAx||x| <
0.1
332.9
≈ 3.003×10−4
|ERy|= |EAy||y| <
0.1
1.4
≈ 0.071
assim, temos que o número x é representado com maior precisão que o número y.
1.4.3 Erros de Arredondamento e Truncamento em um sistema de ponto flu-
tuante
A representação de um número em um sistema de ponto flutuante depende da maquina usada, devido
a que seu sistema estabelecera a base numérica adotada, o numero de dígitos da mantissa, etc.
Suponhamos que tenhamos um equipamento que use SPF(10,n,expmin,expmax), e o numero x seja
escrito como
x= fx×10exp+gx×10exp−n tal que 0.1≤ fx < 1 e 0≤ gx < 1.
Em particular, consideremos n= 4 e x= 123.45, assim
x= 0.1234×103+0.7×10−1 assim fx = 0,1234 e gx = 0.5.
Observamos que na representação de x neste sistema o valor gx× 10exp−n não pode ser incorporado
totalmente à mantissa. Assim devemos de considerar formas de levar em conta tal valor na mantissa
e definir o erro absoluto ou relativo máximo cometido.
Como comentado anteriormente, podemos adotar dois critérios:
i. o do arredondamento, e
ii. o do truncamento.
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Cálculo Diferencial e Integral
No truncamento, o valor gx×10exp−n é desprezado e é considerado como valor aproximado
x= fx×10exp,
assim
|EAx| = |x− x|= |gx|×10exp−n < 10exp−n, já que |gx|< 1
|ERx| = |EAx||x| =
|gx|×10exp−n
| fx|×10exp <
10exp−n
0.1×10exp−n = 10
−n+1, já que 1 <
1
| fx| ≤
1
0.1
No arredondamento, fx é modificado para levar em conta o valor gx. A forma mais usada é o
arredondamento simétrico:
x=

fx×10exp, se |gx|< 12;
fx×10exp+10exp−n, se |gx| ≥ 12 .
Assim, se |gx| < 12, gx é desprezado, caso contrario somamos o número 1 ao ultimo digito de fx.
Então
Se |gx|< 12 ⇒

|EAx|= |x− x|= |gx|×10exp−n < 12 ×10
exp−n
|ERx|= |EAx||x| =
|gx|×10exp−n
| fx|×10exp <
0.5×10exp−n
0.1×10exp−n =
1
2
×10−n+1
Se |gx| ≥ 12 ⇒

|EAx| = |x− x|
= |( fx×10exp+gx×10exp−n)− ( fx×10exp+10exp−n)|
= |gx×10exp−n−10exp−t |
= |gx−1|×10exp−n ≤ 12 ×10exp−n
|ERx| = |EAx||x| =
1
2 ×10exp−n
| fx×10exp+10exp|
<
1
2 ×10exp−n
| fx|×10exp <
1
2 ×10exp−n
0.1×10exp <
1
2 ×10−n+1
Portanto, em ambos casos obtemos
|EAx| ≤ 12 ×10
exp−n e |ERx|< 12 ×10
−t+1
Apesar da geração de erros menores no arredondamento, este demanda um tempo maior de execução,
e por isto o truncamento é mais usado.
1.4.4 Propagação do erro
Quando efetuamos por exemplo x = [(y+w)− z]+ v devemos ter em consideração como o erro em
uma operação se propaga ao longo das próximas operações. O erro total numa operação é composto
pelo erro dos fatores e pelo erro no resultado da operação.
10 / 25
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.8
Considere um sistema de ponto flutuante de 4 dígitos, na base 10, e precisão dupla. Sejam x =
0.457×104 e y= 0.9168×102, calcular x+ y e x× y.
a. x+ y: A soma em aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos
números. Assim, a mantissa do números de menor expoente deve ser deslocada para a direita.
Tal deslocamento deve ser de um numero de casas decimais igual à diferença entre os dois
expoentes. Então
x= 0.457×104 e y= 0.009168×104
Assim, o resultado exato da operação é
x+ y= (0.457+0.009168)×104 = 0.466168×104.
devido a que em nosso sistema t = 4, o resultado deve de ser arredondado ou truncado. Assim
i. no arredondamento: x+ y= 0.4662×104;
ii. no truncamento: x+ y= 0.4661×104.
b. x× y:
x× y= (0.457×104)× (0.9168×102) = (0.457×0.9168)×106 = 0.4189776×106
devido a que em nosso sistema t = 4, o resultado deve de ser arredondado ou truncado. Assim
i. no arredondamento: x× y= 0.4190×106;
ii. no truncamento: x× y= 0.4189×106.
O exemplo anterior mostra que ainda que as parcelas estejam representados de forma exata no sistema
de ponto flutuante, não podemos esperar que o resultado seja exato.
Quando trabalhamos num processo numérico, o processamento dos dados envolve um numero de
operações elementares. Assim em uma operação o erro poderia não ser significativo para a solução
do problema, porem a situação muda quando estão envolvidas um numero muito grande de operações.
Nesta situação, é importante saber como os erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumu-
lando a uma taxa crescente, diremos que o erro é ilimitado, e a sequencia de operações é considerada
instável.
Caso contrario, os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente, dizemos que o erro é limitado,
e a sequencia de operações é considerada estável.
figura pag 14
Exemplo 1.9
Usando Aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredondamento por truncamento,
calcule o valor da seguinte soma:
S=
4
∑
i=1
(xi+ yi), com xi = 0.46709 yi = 3.5678 ∀ i= 1,2,3,4.
11 / 25
Cálculo Diferencial e Integral
i. Para i= 1⇒ S1 = x1+ y1 = 0.46709+3.5678 = 0.4034×101
Erro absoluto: EAS1 = 4.03569−4.034 = 0.00169 = 0.169×10−2.
ii. Para i= 2⇒ S2 = (x1+ y1)+(x2+ y2) = 0.4034+0.4034 = 0.8068×101
Erro absoluto: EAS2 = 8.07138−8.068 = 0.00338 = 0.338×10−2.
iii. Para i= 3⇒ S3 = (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3) = 0.4034+0.4034+0.4034= 0.1210×102
Erro absoluto: EAS3 = 12.10707−12.10 = 0.00707 = 0.707×10−2.
iv. Para i= 4⇒ S4 = (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+(x4+y4) =+0.4034+0.4034+0.4034+
0.4034 = 0.1613×102,
Erro absoluto: EAS4 = 16.14276−16.13 = 0.01276 = 0.12767×10−1.
Observamos que a medida que aumentam as operações de adição e considerando a aritmética de ponto
flutuante definida, o erro absoluto esta crescendo. Assim a medida que i seja muito grande a sequencia
de operações pode torna-se instalável.
Exemplo 1.10
Considere a sequencia gerada por:xi+1 =
1
2
(
xi+
2
xi
)
, ∀ i= 1,2, . . .
Nesta sequencia, observamos que estão envolvidas as operações de adição, multiplicação e divisão,
as quais são repetidas ate que seja obtido o valor aproximado de xi o qual deve ser uma solução com
uma precisão desejada ε .
Assim, o valor final xi possui um determinado tipo de erro, a cada iteração o erro pode se propagar ao
longo de todo o processo, o qual caso a sequencia tender para um número, apesar dos erros cometidos
a cada passo, temos que a sequencia de operações torna-se estavel.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 2
Vetores em Rn
Em varias aplicações físicas surgem algumas quantidades como a altura, diâmetro e a temperatura,
as quais possuem unicamente a “magnitude”. Tais quantidades podem ser representadas por números
reais denominados escalares. Por outro lado, existem quantidades como força, velocidade as quais
tem “magnitude” e direção. Tais quantidades podem representa-se por zetas, as quais tem longitude e
direções apropriadas e partem de um ponto de referencia O, os quais são chamados de vetores, neste
capitulo estudaremos algumas das propriedades dos vetores.
A continuação enunciamos as seguintes operações com vetores.
Adição
A resultante u+w dos vetores u e v se obtem pel chamada ley do paralelogramo, isto é, u+ v é
a diagonal do paralelogramo formado por u e v.
Multiplicação por um escalar
O produto ku de um numero real k por um vetor u se obtem multiplicando a magnitude de u por
k e conservando a mesma direção se k ≥ 0, ou a direção oposta se k < 0.
colocar os graficos do shaum pag 1
Ao representar num plano, escolhemos a origem dos eixos como o ponto de referencia O, então
todo vetor fica determinado de forma unica pelas coordenadas do seu ponto final. A relação entre as
operações definidas acima e seus pontos finais é:
Adição
Se (a,b) e (c,d) são os pontos finais dos vetores u e v respectivamente, então (a+ c,b+d) é o
ponto final de u+ v.
Multiplicação por um escalar
Se (a,b) é o ponto final do vetor u, então (ka,kb) é o ponto final do vetor ku.
colocar os graficos do shaum pag 1
Identificaremos a um vetor pelo seu ponto final, isto é, chamamos ao par ordenado (a,b) de numeros
reais um vetor. Ao generalizar esta noção, chamamos a uma n-upla ordenada (a1,a2, . . . ,an) de
numeros reais um vetor.
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Cálculo Diferencial e Integral
2.1 Vetores em Rn
O conjunto de todas as n-uplas de numeros reais, denotado por Rn, se denomina um n-espaço. Em
particular uma n-upla en Rn
u= (u1,u2, . . . ,un)
chama-se um ponto ou vetor; os numeros reais ui se chamam as componentes ou coordenadas do
vetor u. Alem disso, quando nos referimos ao espaço Rn usamos o termo escalar para os elementos
de R.
Exemplo 2.1
Considere os seguintes vetores:
(1,0), (−2,5), (1,
√
2,
1
5
,9,0), (−1,−2,−pi,−
√
3,10000)
Os dois primeiros vetores tem duas componentes e são pontos deR2, enquanto os dois ultimos vetores
tem cinco componentes e são pontos de R5.
Dois vetores u e v são iguais, e se escreve u= v, se
i. tem o mesmo numero de componentes, isto é, se ambos estão no mesmo espaço e
ii. se suas compontes correspondentes são iguais.
Os vetores (1,3,5) e (3,5,1) não são iguais porque suas componentes correspondentes não são iguais.
Exemplo 2.2
Se (x− 1,y− 2,z− 3) = (3,2,1), então por igualdade de vetores x− 1 = 3, y− 2 = 2 e z− 3 = 1.
Resolvendo o sistema de equações obtemos x= 4, y= 4, z= 4.
2.1.1 Adição de vetores e multiplicação por um escalar
Dados u e v dois vetores em Rn:
u= (u1,u2, . . . ,un) e v= (v1,v2, . . . ,vn)
A soma de u e v, donotada por u+v, é o vetor que se obtem ao somar as componentes correspondentes:
u+ v= (u1+ v1,u2+ v2, . . . ,un+ vn)
O produto de um numero real por o vetor u, denotado por ku, é o vetor que se obtem multiplicando
cada componente de u pelo k:
ku= (ku1,ku2, . . . ,kun)
Note-se que u+ v e ku são tambem vetores em Rn. Alem disso, se definem
−u=−1u e u− v= u+(−v)
A soma de vetores com diferente número de componentes não esta definida.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.3
Sejam u= (1,2,3,4) e v= (6,7,−1,3). Então
u+ v = (1,2,3,4)+(6,7,−1,3) = (1+6,2+7,3+(−1),4+3) = (7,9,2,7)
−2u = −2(1,2,3,4) = (−2(1),−2(2),−2(3),−2(4)) = (−2,−4,−6,−8)
3u−4v = 3(1,2,3,4)−4(6,7,−1,3)
= (3(1),3(2),3(3),3(4))+((−4)6,(−4)7,(−4)(−1),(−4)3)
= (3,6,9,12)+(−24,−28,4,−12)
= (3+(−24),6+(−28),9+4,12+(−12)) = (−21,−22,13,0)
Exemplo 2.4
O vetor (0,0, . . . ,0) em Rn, denotado por 0, é denominado o vetor zero, e para qualquer vetor u =
(u1,u2, . . . ,un)
u+0 = (u1+0,u2+0, . . . ,un+0) = (u1,u2, . . . ,un) = u
As propriedades básicas dos vetores em Rn com as operações de adição de vetores e multiplicação
por um escalar são resumidas no seguinte resultado.
Teorema
Para todo vetor u,v,w ∈ Rn e todo escalar α,β ∈ R:
(i) (u+ v)+w= u+(v+w) (v) α(u+ v) = αu+αv
(ii) u+0 = u (vi) (α+β )u= αu+βu
(iii) u+(−u) = 0 (vii) (αβ )u= α(βu)
(iv) u+ v= v+u (viii) 1u= u
Nota
Se u e v são vetores em Rn tais que u = αv para algum escalar não nulo α ∈ R. Se k > 0
diremos que u tem a mesma direção de v, e quando k < 0, diremos que u tem a direção
oposta de v.
2.1.2 Produto interno
Sejam u e v vetores em Rn
u= (u1,u2, . . . ,un) e v= (v1,v2, . . . ,vn)
O produto interno de latexmath$u$ e $v$ denotado por $u\cdot v$], é o esclar que se obtem multipli-
cando as componentes correspondentes dos vetores e somando logo os produtos resultantes:
u · v= u1v1+u2v2+ · · ·+unvn =
n
∑
i=1
uivi.
Os vetores u e v são ditos ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno é zero, isto é u ·v= 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.5
Sejam u= (1,−2,3), v= (6,7,1), w= (4,5,2). Então
u · v = 1(6)+(−2)(7)+3(1) = 6−14+3 =−5
u ·w = 1(4)+(−2)(5)+3(2) = 4−10+6 = 0
Portanto u e v são ortogonais.
As propriedades básicas do produto interno em Rn são apresentadas no seguinte resultado:
Teorema
Para todo vetor u,v,w ∈ Rn e todo escalar α ∈ R:
(i) (u+ v) ·w= u ·w+ v ·w (iii) u ·u≥ 0
(ii) (αu) · v= α(u · v) (iv) u ·u= 0 ⇔ u= 0
(iii) u · v= v ·u
Nota
O espaço Rn com as operações de adição, multiplicação por um escalar e produto interno é
conhecido como o n-espaço euclidiano.
2.1.3 Norma e distância em Rn
Consideremos os vetores u e v em Rn, u= (u1,u2, . . . ,un) e v= (v1,v2, . . . ,vn). A distancia entre os
pontos u e v, denotada por d(u,v), é definida por
d(u,v) =
√
(u1− v1)2+(u2− v2)2+ · · ·+(un− vn)2 =
√
n
∑
i=1
(ui− vi)2
A norma do vetor u, denotada por ‖u‖ , é definida como a raiz quadrada não negativa de u ·u:
‖u‖=√u ·u=
√
u21+u
2
2+ · · ·+u2n =
√
n
∑
i=1
u2i
Note-se que d(u,v) = ‖u− v‖.
Exemplo 2.6
Sejam u= (1,−2,3) e v= (5,1,−2). Então
d(u,v) =
√
(1−5)2+(−2−1)2+(3− (−2))2 =√40
‖v‖ =
√
(5)2+(1)2+(−2)2 =√30
Em particular, se consideramos dois pontos p= (a,b) e q= (c,d) no plano R2, temos
‖p‖=
√
a2+b2 e d(p,q) =
√
(a− c)2+(b−d)2
Isto é, ‖p‖ corresponde à longitude euclideana da zeta que vai desde a origem ate o ponto p, e d(p,q)
corresponde à distancia entre os pontos p e q.
copiar fig shaum pag 4
De forma analoga se obtem para pontos da reta R e para pontos do espaço R3.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Um vetor e é dito de vetor unitario se tem norma 1: ‖e‖= 1. Note que para qualquer vetor
não nulo u ∈ Rn o vetor eu = u‖u‖ é um vetor unitario com a mesma direção de u.
O seguinte resultado expressa uma relação fundamental conhecida como a desiguladade de Cauchy-
Schawarz.
Teorema (Cauchy-Schwarz)
Para quaisquer u,v ∈ Rn, se verifica |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖.
Usando a desigualdade previa, definimos o angulo θ entre dois vetores não nulos u,v ∈ Rn:
cos(θ) =
u · v
‖u‖‖v‖
Note que se u · v= 0, então θ = 90◦ (ou θ = pi2 ) o qual coincide com a definição de ortogonalidade.17 / 25
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 3
Estudo da Álgebra Matricial
Neste Capitulo estudaremos as matrizes e certas operações algebraicas definidas sobre elas. Embora
somente tenhamos trabalhado com números reais, as matrizes ao igual que os vetores podem ser
números complexos, porém nos limitaremos a trabalhar nos reais.
3.1 Definições básicas
Uma ordenação retangular da forma 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn

onde os ai j ∈ R para todo i= 1,2, . . . ,m e j = 1,2, . . . ,n, se chama uma matriz sobre R, ou simples-
mente uma matriz real. Também se denota por por [ai j]m×n. As n m-uplas horizontais[
a11, a12, . . . , a1n
]
,
[
a21, a22, . . . , a2n
]
, . . . ,
[
am1, am2, . . . , amn
]
são as linhas da matriz, e as m n-uplas verticais
a11
a21
...
am1
 ,

a12
a22
...
am2
 , . . . ,

a1n
a2n
...
amn

são suas colunas. Observe que o elemento ai j, chamado a componente i j, ocupa a i-esima linha e a
j-esima coluna. Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada uma matriz m por n, ou matriz
m×n.
Exemplo 3.1
A seguinte matriz 2×3:
[
1 −2 3
−5 4 0
]
tem 2 linhas as quais são
[
1 −2 3] e [−5 4 0]; e tem 3
colunas:
[
1
−5
]
,
[−2
4
]
e
[
3
0
]
As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas A,B, . . ., e
as componentes por letras minusculas. Duas matrizes A e B são iguais, isto é A= B, se tem o mesmo
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Cálculo Diferencial e Integral
numero de linhas e de colunas e seus elementos correspondentes são iguais. Portanto, a igualdade de
duas matrizes m×n é equivalente a um sistema de mn igualdades, uma para cada par de elementos.
Exemplo 3.2
A afirmação
[
x+ y 2z+w
x− y z−w
]
=
[
3 5
1 4
]
é equivalente ao sistema de equações:
x+ y = 3
x− y = 1
2z+w = 5
z−w = 4
⇒

x= 2
y= 1
z= 3
w=−1
3.2 Tipos especiais de matrizes
Ao manipular as matrizes, notamos que existem algumas que, seja pela quantidade de lihnas ou co-
lunas, ou pela natureza das componentes, possuem caracteristicas que as diferenciam de uma matriz
qualquer, e desde que estas matrices aparecem com frequancia na pratica, elas recebem nomes espe-
ciais.
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Am×n:
Matriz Quadrada
é aquela que coincide seu numero de colunas com o numero de linhas, n= m.
Exemplo 3.3
[−2] , [3 51 4
]
,
1 0 −34 −3 0
5 0 7

Na situação das matrizes quadradas Am×m, diremos que A é uma matriz de ordem m.
Matriz Nula
é aquela em que ai j = 0 para todo i= 1, . . . ,m e j = 1, . . . ,n.
Exemplo 3.4
A1×2 =
[
0 0
]
, B2×2 =
[
0 0
0 0
]
, C3×4 =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0

Matriz Coluna
é aquela que possui uma unica coluna, isto é n= 1.
[
1
2
]
,
−13
1
 ,

4
0
0
−2

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Cálculo Diferencial e Integral
Matriz Linha
é aquela que possui uma única linha, isto é m= 1.[−1 0] , [0 2 1] , [1 1 9 3]
Matriz Diagonal
é uma matriz quadrada, m = n, onde ai j = 0 para i 6= j, isto é, os elementos que não estão na
diagonal são nulos.
[−1 0
0 2
]
,
9 0 00 3 0
0 0 −1
 ,

6 0 0 0
0 5 0 0
0 0 −3 0
0 0 0 1

Matriz Identidade
é uma matriz quadrada, m= n, e diagonal em que aii = 0 e ai j = 0 para i 6= j
I2 =
[
1 0
0 1
]
, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Matriz Triangular Superior
é uma matriz quadrada, m = n, onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é,
ai j = 0 para i> j.
[
2 3
0 1
]
,
1 −1 10 −3 4
0 0 9
 ,

1 3 5 7
0 2 4 0
0 0 3 5
0 0 0 4

Matriz Triangular Inferior
é uma matriz quadrada, m = n, onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é,
ai j = 0 para i< j.
[−2 0
1 7
]
,
 1 0 0−1 −3 0
1 7 9
 ,

1 0 0 0
3 2 0 0
7 1 3 0
8 0 −1 4

Matriz Simetrica
é uma matriz quadrada, m= n, onde ai j = a ji para todo i, j = 1, . . . ,m.
[
1 3
3 2
]
,
 1 −1 1−1 −3 4
1 4 9
 ,

1 3 5 7
3 2 4 6
5 4 3 −5
7 6 −5 4

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Cálculo Diferencial e Integral
3.3 Operações com matrizes
Naturalmente ao manipular as matrizes, surge a necessidade de operar com elas.
Definição
A soma de duas matrizes de mesma ordem Am×n =
[
ai j
]
e Bm×n =
[
ai j
]
, é uma matriz m×n,
que denotaremos A+B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B.
Isto é
A+B=
[
ai j+bi j
]
m×n
Exemplo 3.5 1 3 53 2 4
5 4 3
+
2 4 −10 −1 5
7 2 4
=
 3 7 43 1 9
12 6 7

Note que a adição de matrizes possui as mesmas propriedades que a adição de números reais.
Propriedades
Sejam as matrizes A, B, C da mesma ordem m×n, temos
• A+B= B+A;
• A+(B+C) = (A+B)+C;
• A+0 = A, onde 0 denota a matriz nula m×n.
Definição
Seja Am×n =
[
ai j
]
e k um número. A multiplicação por escalar, que denotaremos kA, define
uma nova matriz cujos elementos são
kA=
[
kai j
]
m×n .
Exemplo 3.6
−3
 1 3 −13 −2 4
−5 4 3
=
−3 −9 3−9 6 −12
15 −12 −9

Propriedades
Dadas matrizes A e B de mesma ordem m×n e numeros k,k1 e k2, temos:
• k(A+B) = kA+ kB;
• (k1+ k2)A= k1A+ k2A;
• 0A= 0, isto é, se multiplicamos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula;
• k1(k2A) = (k1k2)A.
Nas aplicações, é conveniente considerar as linhas de uma matriz como colunas de uma nova matriz.
21 / 25
Cálculo Diferencial e Integral
Transposição
Dada um matriz A =
[
ai j
]
m×n, podemos obter uma outra matriz A
T =
[
bi j
]
n×m, cujas linhas
são as colunas de A, isto é, bi j = a ji. AT é denominada a transposta de A.
Exemplo 3.7
A=
−3 −2−9 6
15 1

3×2
⇒ AT =
[−3 −9 15
−2 6 1
]
2×3
B=
[
1 7
3 0
]
2×2
⇒ BT =
[
1 3
7 0
]
2×2
C =
[−1 5 −3]1×4 ⇒ CT =
−15
−3

4×1
Propriedades
• uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é A= AT ;
• (AT )T = A;
• (A+B)T = AT +BT ;
• (kA)T = kAT , onde k é qualquer número real.
Definição
A multiplicação de duas matrizes Am×n =
[
ai j
]
e Bn×p =
[
ai j
]
, é uma matriz m× p, que deno-
taremos AB= [cuv]m×p, onde
cuv =
n
∑
k=1
aukbkv = au1b1v+au2b2v+ · · ·+aunbnv.
Nota
1. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am×n e Bl×p se o número de colunas
da primeira matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, isto é n= l. Alem disso,
a matriz resultanteC = AB será de ordem m× p.
2. O elemento ci j, i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto, é obtida multiplicando
os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da
j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplo 3.8
a. Seja A=
1 73 0
2 −2

3×2
e B=
[
1 3
7 −1
]
2×2
. Então
AB=
1 73 0
2 −2

3×2
[
1 3
0 −1
]
2×2
=
 1(1)+7(0) 1(3)+7(−1)3(1)+0(0) 3(3)+0(−1)
2(1)+(−2)(0) 2(3)+(−2)(−1)

3×2
=
1 −43 9
2 8

3×2
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Cálculo Diferencial e Integral
b. Seja A=
[−1 3
0 2
]
2×2
e B=
−4 91 3
7 −1

3×2
. Então, não é possivel efetuar
AB=
[−1 3
0 2
]
2×2
−4 91 3
7 −1

3×2
devido a que o numero de colunas da matriz A é diferente ao numero de linhas da matriz B.
c. Seja A=

1 7 3
−1 0 3
2 −2 −2
1 0 0

4×3
e B=
1 30 −1
7 2

3×2
. Então
AB =

1 7 3
−1 0 3
2 −2 −2
1 0 0

4×3
1 30 −1
7 2

3×2
=

1(1)+7(0)+3(7) 1(3)+7(−1)+3(2)
−1(1)+0(0)+3(7) −1(3)+0(−1)+3(2)
2(1)+(−2)(0)+(−2)(7) 2(3)+(−2)(−1)+(−2)(2)
1(1)+0(0)+0(7) 1(3)+0(−1)+0(2)

4×2
=
22 −4
20 3
−12 4
1 3

4×2
Propriedades
1. Em geral AB 6= BA.
Exemplo 3.9
Seja A=
1 2 12 4 2
3 6 3

3×3
e B=
 1 −3 −2−1 2 1
1 −1 0

3×3
. Obtemos
AB=
−11 −22 −116 12 6
−1 −2 −1

3×3
e BA=
0 0 00 0 0
0 0 0

3×3
Além disso observe que BA= 0 sem que A= 0 ou B= 0.
Desde que as operações sejam possíveis, as seguintes propriedades são validas:
1. AI = IA= A;
2. A(B+C) = AB+AC;
3. (A+B)C = AC+BC;
4. (AB)C = A(BC);
5. (AB)T = BTAT ;
6. 0A= 0 e A0 = 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
3.4 Conceitos preliminares
3.4.1 Determinante
Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada. A= [ai j],
escrevemos:
det(A) ou |A| ou det[ai j]
Então
det
[
a
]
= a
det
[
a11 a12
a21 a22
]
= a11a22−a12a21
det
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 = a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a23a31
= a11 (a22a33−a23a32)−a12 (a21a33−a23a31)+a13 (a21a32−a23a31)
= a11 det
[
a22 a23
a31 a33
]
−a12 det
[
a21 a23
a31 a33
]
+a13 det
[
a21 a22
a31 a32
]
Observe que o determinante da matriz 3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de sub-
matrizes 2×2, isto é
det(A) = a11 det(A11)−a12 det(A12)+a13 det(A13)
onde ai j é a submatriz da matriz inicial, da qual a i-esima linha e a j-esima coluna são retiradas. Alem
disso, se denotamos
∆i j = (−1)i+ jdet(Ai j)
obtemos a seguinte expressão
det(A) = a11 ∆11−a12 ∆12+a13 ∆13
Ao estender a propriedade acima para matrizes quadradas n×n esta continua valida, assim:
det(An×n) = ai1 ∆i1−ai2 ∆i2+ · · ·+ain ∆in
=
n
∑
j=1
ai j (−1)i+ jdet(Ai j)
=
n
∑
j=1
ai j ∆i j
Ao numero ∆i j (o qual é o determinante afetado pelo sinal (−1)i+ j da submatriz Ai j, obtida ao retirar
da matriz A a i-esima linha e a j-esima coluna), é denominado cofator do elemento ai j. Observe que
na formula acima, o determinante foi “desenvolvido” apartir da i-esima linha. Em forma analoga,
pode ser considerada a formula para as colunas.
Exemplo 3.10
Caculemos det(A), onde A=
 1 −3 32 1 −1
−2 −2 2
 e usemos a segunda coluna para o desenvolvimento:
det(A) = det
 1 −3 32 1 −1
−2 −2 2
= (−3) ∆12+(1) ∆22+(−2) ∆32
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Cálculo Diferencial e Integral
onde
∆12 = (−1)1+2 det
[
2 −1
−2 2
]
= (−1) det
[
2 −1
−2 2
]
= 2
∆22 = (−1)2+2 det
[
2 −1
−2 2
]
= 8
∆32 = (−1)3+2 det
[
1 3
2 −1
]
= 7
Portanto
det(A) = (−3)(2)+(1)(8)+(−2)(7) =−12.
O desenvolvimento de Laplace é uma formula de recorrência que permite calcular o determinante de
uma matriz de ordem n×n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem (n−1)×
(n−1).
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	Noções Básicas dos Erros
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