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Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 165 Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1 (Stewart, Vol. 1, 7ª ed.) 1.3 Operações entre funções §§§ Como fazer translações, compressões ou reflexões no Geogebra Abra um arquivo novo. Digite “f(x) = sin(x)”. Digite “k=1”. Mostre o controle deslizante de “k”, para fazer isso clique com o botão direito e escolha exibir. Crie a nova função que você deseja estudar com o parâmetro “k” em sua definição. Por exemplo, crie “g(x)=sin(k*x)”. Altere o valor de “k” no controle deslizante e observe o gráfico do novo gráfico. §§§ Exercício 01. Considere que o gráfico de uma função ( )y f x= é conhecido. Forneça equações (representações) que expressem funções cujos gráficos são obtidos a partir do gráfico de f segundo os movimentos descritos nos itens abaixo. a) Translação vertical de 3 unidades para cima; b) Translação vertical de 3 unidades para baixo; c) Translação horizontal de 3 unidades para a direita; d) Translação horizontal de 3 unidades para a esquerda; e) Reflexão em torno do eixo dos xx; Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 166 f) Reflexão em torno do eixo dos yy; g) Dilatação vertical de fator 3; h) Compressão vertical de fator 3. Resolução. a) Para obter uma translação vertical de 3 unidades para cima, devemos adicionar 3 unidades nas imagens da função, ou seja, tomamos a imagem ( )f x e adicionamos 3. Escrevemos a definição da função como ( ) 3y f x= + . Perceba, se ( )( ),a f a pertence ao gráfico da função, então ( )( ), 3a f a + estará na mesma direção da abscissa a e terá ordenada 3 unidades maior. b) Para definir uma função que possua gráfico transladado de 3 unidades para baixo, devemos subtrair das imagens 3 unidades. Tomamos as imagens ( )f x e subtraímos 3, escrevemos então, ( ) 3y f x= − . Esta será a definição da função cujo gráfico será uma cópia do gráfico da f situada 3 unidades para baixo. c) Para conseguir um gráfico que seja o resultado de uma translação de 3 unidades para a direita, devemos providenciar para que as imagens dos pontos de abscissa a seja iguais às imagens dos pontos de abscissa situadas 3 unidades para a esquerda, ou seja, situadas em 3a − . Assim, para obtermos o gráfico desejado, devemos tomar ( )y f x= e substituir por ( )3y f x= − . Observação. Se você está com dúvidas a respeito do raciocínio, verifique com a função valor absoluto. Para que o “vértice” do Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 167 gráfico da função valor absoluto se situe 3 unidades para a direita, devemos definir a nova função como 3y x= − . d) Para obter uma translação de 3 unidades para a esquerda, devemos providenciar para que a imagem da abscissa a seja igual à imagem da abscissa situada 3 unidades para a direita, ou seja, situadas em 3a + . Assim, para obter a translação desejada devemos definir a função como ( )3y f x= + . Observação. Para conferir, veja que o vértice da função 3y x= + está situado na abscissa 3x = − . O gráfico de 3y x= + é o resultado de uma translação de 3 unidades para a esquerda do gráfico de y x= . e) Para obter a reflexão de um gráfico de ( )y f x= em relação ao eixo dos xx, devemos pensar em trocar o sinal das imagens. Se a imagem de uma abscissa a é ( )f a , para que haja reflexão devemos tomar a nova imagem como ( )f a− . Assim, para obter a desejada reflexão em torno do eixo dos xx, devemos definir a nova função como ( )y f x= − . Observação. Se você está com dúvidas, pense no gráfico de 2y x= e no gráfico de 2y x= − . f) Para obter uma reflexão em torno do eixo dos yy, devemos pensar que a imagem de uma abscissa a deva ser igual à imagem de sua oposta a− . Então devemos substituir ( )y f x= Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 168 por ( )y f x= − . Assim, as imagens das abscissas positivas serão iguais às imagens das abscissas negativas e vice-versa. É assim que obtemos um gráfico que é a reflexão em torno do eixo dos yy de um gráfico dado. Observação. Se você está com dúvidas, pense no gráfico crescente de 2xy = e no gráfico decrescente de 2 xy −= . g) Para obter uma dilatação vertical de fator 3, devemos multiplicar as imagens por 3. Isso será obtido se considerarmos a definição ( )3y f x= . Assim, cada ordenada ( )f a passará a ser a ordenada ( )3 f a . Observação. Pense no gráfico de ( )cosy x= , ele tem amplitude vertical que vai de 1− até 1. Se você considerar ( )3cosy x= verá que o novo gráfico terá a amplitude vertical indo de 3− até 3. h) Para obter uma compressão vertical de fator 3, devemos pensar em dividir as ordenadas ( )f a por 3. Se considerarmos a nova definição como ( )1 3 y f x= veremos que as ordenadas ( )f a passarão a ser ordenadas ( )1 3 f a , e obteremos a compressão desejada. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 169 Observação. Se você pensar no gráfico da função ( )cosy x= e definir a função ( ) ( )1 cos 3 g x x= , verá que a amplitude vertical do gráfico dessa nova função vai de 1 3 − até 1 3 . Exercício 02. Considere o gráfico de uma função genérica ( )y f x= . Explique como obter os seguintes gráficos a partir do gráfico de ( )y f x= . a) ( ) 8y f x= + b) ( )8y f x= + c) ( )8y f x= d) ( )8y f x= e) ( ) 1y f x= − − f) 1 8 8 y f x = Resolução. a) Para obter o gráfico de ( ) 8y f x= + , devemos efetuar uma translação vertical para cima de oito unidades no gráfico de ( )y f x= . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 170 b) Para obter o gráfico de ( )8y f x= + , devemos efetuar uma translação horizontal para a esquerda de oito unidades no gráfico de ( )y f x= . c) Para obter o gráfico de ( )8y f x= , devemos expandir verticalmente, por um fator de oito unidades, o gráfico de ( )y f x= . d) Para obter o gráfico de ( )8y f x= , devemos comprimir horizontalmente, por um fator de oito unidades, o gráfico de ( )y f x= . e) Para obter o gráfico de ( ) 1y f x= − − , devemos refletir o gráfico de ( )y f x= em relação ao eixo das ordenadas e depois transladar o gráfico refletido de uma unidade para baixo. f) Para obter o gráfico de 1 8 8 y f x = , devemos expandir horizontalmente, de um fator de oito unidades, o gráfico de ( )y f x= e depois expandir verticalmente o gráfico resultante, de um fator de oito unidades. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 171 Exercício 03. Considere a seguinte ilustração, que mostra o gráfico de uma função f e de alguns gráficos obtidos a partir dele. Identifique os gráficos com as funções dos itens a seguir. Justifique suas associações. a) ( )4y f x= − ; b) ( ) 3y f x= + ; c) ( )1 3 y f x= ; d) ( )4y f x= − + ; e) ( )2 6y f x= + . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 172 Resolução. Observemos o gráfico da função f. A função f tem domínio ( ) [ ]0,3Dom f = . Observemos, agora, o gráfico (1). O domínio de tal função é [ ]0,3 , o comportamento desse gráfico assemelha-se ao comportamento do gráfico de f. Aparentemente, esse gráficoassemelha-se à translação do gráfico de f de 3 unidades positivas. Ou seja, para cada ordenada ( )f a sobre a abscissa a, houve a adição de 3 unidades, o que resulta na nova ordenada ( ) 3f a + . A identificação correta é: gráfico (1) com item (b). Observemos, agora, o gráfico (4). O domínio de tal função é [ ]0,3 , o comportamento desse gráfico assemelha-se, de certa forma, ao comportamento do gráfico de f. Verificamos que este gráfico tem uma amplitude menor que a do gráfico de f. Este gráfico (4) poderia ter sido obtido do gráfico de f por uma translação? A resposta é não. Veja que a imagem de 3x = por f é igual a zero e a imagem de 3x = no gráfico (4) também é igual a zero. Assim, podemos desconfiar de que houve uma compressão do gráfico de f para que ele ficasse com o comportamento do gráfico (4). Uma multiplicação das ordenadas ( )f a por um número inferior a 1, faz com que os valores diferentes de zero diminuam e faz com que as raízes continuem sendo raízes. Olhando a lista disponibilizada pelo autor, verificamos que a identificação adequada é: gráfico (4) e item (c). Observemos o gráfico (3). Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 173 Percebemos que esse gráfico tem as mesmas “alturas” que o gráfico de f, ou seja, o conjunto imagem de f é o mesmo conjunto imagem da função que tem o gráfico (3). Percebemos que a raiz de f, que era é a abscissa 3x = , foi transladada para uma nova raiz situada em 7x = . Percebemos que o domínio de f, que era [ ]0,3 tornou-se um novo domínio igual a [ ]4,7 . Essas indicações de comportamento e translação do domínio de 4 unidades para a direita nos levam a associar o gráfico (3) com o item (a). A definição do item (a) é ( )4f x− , isso faz com que o gráfico de tal função seja obtido pela translação de 4 unidades para a direita a partir do gráfico de f. Tem-se, por exemplo, ( ) ( ) ( )4 4 4 0g f f= − = , ( ) ( ) ( )5 5 4 1g f f= − = , ( ) ( ) ( )7 7 4 3g f f= − = e assim por diante. Observemos o gráfico (2). O domínio da função que possui esse gráfico é [ ]6, 3− − . Tem mesma medida do domínio de f. Percebemos que o comportamento dessa função é parecido com o comportamento da função original f. Inicia com a ordenada 2 é crescente até a ordenada 6 e depois decrescente e termina na ordenada zero. A função f se inicia na ordenada 1, é crescente até a ordenada 3 e depois decrescente até a ordenada zero. Então se multiplicarmos as imagens da função original f por 2, obteremos as imagens transladadas da nova função associada ao gráfico (2). Devemos tomar o gráfico da função f, multiplicá-lo por um fator 2 e transladá-lo 6 unidades para a esquerda. Temos essa opção dentre as alternativas, é a opção (e) ( )2 6y f x= + . A associação correta é: Gráfico (2) com alternativa (e). Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 174 O último gráfico a ser analisado é o gráfico (5). Observamos que se transladarmos o gráfico de f quatro unidades para a esquerda, ou seja, considerarmos a função definida por ( )4y f x= + obteremos um gráfico que será o simétrico do gráfico (5) em relação ao eixo dos xx. Para obter o gráfico (5) devemos realizar uma reflexão em torno do eixo dos xx a partir do gráfico de ( )4y f x= + . Como tal reflexão é obtida alterando-se o sinal das imagens, o gráfico (5) é associado com a função ( )4y f x= − + que é a função da alternativa (d). A associação correta é: Gráfico (5) com item (d). Exercício 04. Considere o gráfico da função f mostrado a seguir. Esboce os seguintes gráficos a partir do gráfico anterior. a) ( ) 2y f x= − Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 175 b) ( )2y f x= − c) ( )2y f x= − d) 1 1 3 y f x = + Resolução. a) O gráfico é obtido mediante translação para baixo de duas unidades. b) O gráfico é obtido mediante translação para a direita de duas unidades. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 176 c) O gráfico é obtido pela expansão de duas unidades na vertical e depois por reflexão em torno do eixo das abscissas. d) O gráfico é obtido a partir da expansão horizontal de fator 3 seguido de uma translação para cima de uma unidade. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 177 Exercício 05. Considere o gráfico de ( )y f x= fornecido a seguir. Utilize o gráfico anterior e esboce o gráfico das seguintes funções: a) ( )2y f x= ; b) 1 2 y f x = ; c) ( )y f x= − ; Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 178 d) ( )y f x= − − . Resolução. a) ( )2y f x= . Vamos chamar essa nova função pelo nome g. O gráfico de g será obtido do gráfico de f por uma compressão horizontal de fator 2. Perceba que quando calcularmos a imagem de 1x = por ( ) ( )2g x f x= , estaremos calculando ( ) ( ) ( )1 2 1 2g f f= ⋅ = . Teremos ( ) ( )2 4g f= ; ( ) ( )3 6g f= . Qual é o domínio dessa função g? Resposta: Só poderemos calcular as imagens de números reais situados entre 0 e 3. O comportamento observado no gráfico de f acontecerá no gráfico de g “no dobro da velocidade”. O valor máximo de f que é igual a 2 e obtido quando 1x = fornecerá para a função g o valor máximo igual a 2, mas sobre a abscissa 1 2 x = . A raiz 3x = da função f fornecerá a raiz 3 2 x = da função g. O valor mínimo atingido por f na abscissa 4x = será o responsável pelo valor mínimo da função g, só que esse mínimo será atingido na abscissa 2x = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 179 E a outra raiz de f, atingida quando 6x = será fornecerá para a função g sua segunda raiz atingida quando 3x = . Traçamos sobre o mesmo quadro o gráfico da função ( ) ( )2g x f x= , na cor preta. b) 1 2 y f x = ; Vamos chamar essa nova função como h, temos assim ( ) 2 x h x f = . Percebemos que o domínio de h será diferente do domínio de f. Como dividiremos o valor de x antes de aplicarmos a função f, o domínio de h será [ ]0,12 . Percebemos que o valor máximo de h será obtido quando a abscissa for 2x = , ( ) ( )22 1 2 2 h f f = = = . A primeira raiz de h será na abscissa 6x = , Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 180 ( ) ( )66 3 0 2 h f f = = = . O valor mínimo de h será obtido quando 8x = , pois ( ) ( )88 4 1 2 h f f = = = − . O gráfico de h será obtido do gráfico de f por uma dilatação horizontal de fator 2. Na seguinte ilustração mostramos o gráfico de h e o gráfico original de f. c) ( )y f x= − ; Chamemos tal função de m, a definição é ( ) ( )m x f x= − . Percebemos que se m vai ser calculada em números x− seu domínio deve ser, então, igual a [ ]6,0− . Por exemplo, ( ) ( ) ( )6 [ 6] 6 0m f f− = − − = = ; ( ) ( ) ( )4 [ 4] 4 1m f f− = − − = = − ; ( ) ( ) ( )1 [ 1] 1 2m f f− = − − = = e ( ) ( ) ( )0 [ 0] 0 1m f f= − − = = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 181 O traçado de tal gráfico será igual à reflexão do gráfico de f em torno do eixo dos yy. Na seguinte ilustração mostramos o gráfico de m junto com o gráfico de f. d) ( )y f x= − − .O gráfico dessa nova função ( ) ( )p x f x= − − será obtido do gráfico da função do item anterior por reflexão em torno do eixo dos xx. Haverá troca de sinal nas ordenadas dos pontos do gráfico do item anterior. Perceba que: ( ) ( ) ( )6 [ 6] 6 0p f f− = − − − = − = ; ( ) ( ) ( ) ( )4 [ 4] 4 1 1p f f− = − − − = − = − − = ; ( ) ( ) ( )1 [ 1] 1 2p f f− = − − − = − = − ; ( ) ( ) ( ) ( )0 [ 0] 0 1 1p f f= − − − = − = − = − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 182 A seguir o esboço do gráfico de p juntamente com o gráfico de f. Exercício 06. O gráfico a seguir é da função definida por 23y x x= − . Que transformações devem ser aplicadas na função anterior para se ter o seguinte gráfico. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 183 Resolução. Percebemos que o centro da semicircunferência está no eixo das abscissas. Antes ele estava identificado com 1.5x = e agora está identificado com 3.5x = . Houve uma translação de duas unidades para a direita. Devemos aplicar a transformação ( )2y f x= − . Observamos também que houve uma expansão vertical, se antes o gráfico tinha uma amplitude que ia de zero até 1.5, agora a amplitude vai de zero até 3. Houve uma expansão de fator 2 na vertical. Devemos considerar ( )2 2y f x= − . A transformação necessária é ( )2 2y f x= − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 184 Exercício 06. O gráfico a seguir é da função definida por 23y x x= − . Que transformações devem ser aplicadas na função anterior para se ter o seguinte gráfico. Resolução. Percebemos que houve uma reflexão em torno do eixo das abscissas, isso fornece a transformação ( )y f x= − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 185 Percebemos que o centro da semicircunferência mudou para ( )2.5, 1− − . Devemos efetuar uma translação de 4 unidades para a esquerda seguida de uma translação de uma unidade para baixo. Isso nos fornece a seguinte expressão ( )4 1y f x= − + − . Exercício 08. a) Qual a relação entre o gráfico da função definida por ( )2siny x= e o da função definida por ( )siny x= ? Esboce os dois gráficos. b) Qual a relação entre o gráfico da função definida por 1y x= + e da função definida por y x= . Esboce os gráficos. Resolução. O gráfico da função definida por ( )2siny x= é obtido do gráfico da função definida por ( )siny x= mediante uma expansão de fator 2 na vertical. Assim, o gráfico de ( )2siny x= varia entre as ordenadas 2y = − e 2y = e possui as mesmas raízes e período que a função ( )siny x= . Vejamos os dois gráficos. O de ( )2siny x= está em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 186 b) O gráfico da função definida por 1y x= + é obtido do gráfico da função definida por y x= mediante translação vertical de uma unidade para cima. Vejamos os dois gráficos. Exercícios de 09 até 24: Esboce o gráfico das funções definidas nos seguintes itens. Inicie o traçado com o gráfico de uma função conhecida e execute transformações até esboçar o gráfico da função final. Não use calculadoras e marcação de pontos. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 187 Exercício 09. Função 1 2 y x = − . Resolução. Observando a definição algébrica da função, vemos que uma função conhecida que se assemelha com a do enunciado é a função ( ) 1f x x = . O gráfico dessa função é composto de dois arcos hiperbólicos. Seu domínio é ( ) {0}Dom f = −ℝ . Então, a função proposta tem gráfico obtido do gráfico da função ( ) 1f x x = por translação de duas unidades para a direita. Temos: ( ) ( ) 12 2 y x f x x = − = − . A seguir mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função 1 2 y x = − em azul. Perceba que seu domínio é { }2−ℝ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 188 Exercício 10. Função ( )31y x= − . Resolução. Observando a definição algébrica da função, vemos que uma função conhecida que se assemelha com a do enunciado é a função ( ) 3f x x= . O domínio de tal função é ℝ . Para obter o gráfico definido por ( )31y x= − devemos efetuar a translação de uma unidade para a direita no gráfico da função cúbica. Vejamos os dois gráficos. Mostramos o de ( ) 3f x x= em vermelho e o de ( )31y x= − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 189 Exercício 11. Função 3y x= − . Resolução. Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) 3f x x= . Seu gráfico é crescente, passa pelo ponto ( )0,0 e continua crescente. Esse gráfico é obtido pela reflexão do gráfico da função cúbica ( ) 3n x x= em torno da reta y x= , já que ( ) 3f x x= é a função inversa de ( ) 3n x x= . O gráfico da função enunciada é obtido por reflexão do gráfico de f em torno do eixo dos xx. Mostramos a seguir o gráfico da função f em vermelho e o gráfico da função enunciada em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 190 Exercício 12. Função 2 6 4y x x= + + . Resolução. Precisamos de uma expressão fatorada. ( ) ( )22 26 4 2(3) 9 4 9 3 5y x x x x x= + + = + + + − = + − . O gráfico de uma função conhecida que se relaciona com a definição anterior é ( ) 2f x x= . A partir do gráfico de ( ) 2f x x= efetuamos uma translação de 3 unidades para a esquerda seguida de uma translação vertical de 5 unidades para baixo. Vejamos o gráfico de ( )f x em vermelho e o de ( )23 5y x= + − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 191 Exercício 13. Função 2 1y x= − − . Resolução. Pensemos primeiramente na função ( )f x x= . Seu domínio é [0, )∞ . Devemos efetuar uma translação de duas unidades para a direita para obtermos o gráfico de 2y x= − . Nessa situação, vemos que o domínio torna-se [2, )∞ . Depois devemos efetuar uma translação de uma unidade para baixo para obter o gráfico de 2 1y x= − − . Mostramos o gráfico de ( )f x x= em vermelho e o de 2 1y x= − − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 192 Exercício 14. Função ( )4sin 3y x= . Resolução. Uma função cujo gráfico conhecemos e que se assemelha a do enunciado é ( ) ( )sinf x x= , cujo domínio é ℝ . Primeiramente, efetuamos uma contração horizontal de fator 3. Isso altera apenas o período, tornando-o menor. Depois efetua- se uma expansão vertical de fator 4, o que modifica a amplitude e faz com que os valores funcionais fiquem entre 4− e 4. Essas transformações não modificam o domínio inicial. Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o de ( )4sin 3y x= em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 193 Exercício 15. Função sen 2 x y = . Resolução. Pensemos primeiramente na função ( ) ( )senf x x= . Seu domínio é ℝ e suas raízes ocorrem a intervalos de π unidades lineares, , 3 , 2 , , 0, , 2 ,π π π π π− − −⋯ ⋯ . O gráfico da função enunciada é obtido a partir do gráfico da função ( ) ( )senf x x= por dilataçãode fator 2 na horizontal. Perceba que a primeira raiz positiva de ( ) ( )senf x x= , x π= não será mais raiz de sen 2 x y = . A primeira raiz positiva será 2x π= , já que: ( ) ( ) ( )22 2 sin sin 0 2 y f π π π π = = = = . A seguir mostramos parte do gráfico de ( ) ( )senf x x= em vermelho e parte do gráfico de sen 2 x y = em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 194 Exercício 16. Função 2 2y x = − . Resolução. Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) 1f x x = cujo domínio é { }0−ℝ e o gráfico é uma hipérbole (dois ramos). Devemos considerar o gráfico de 2 y x = e para isso tomamos o gráfico de ( )f x e o expandimos verticalmente de fator 2. Depois fazemos uma translação de duas unidades para baixo. Essas considerações não afetam o domínio. Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função definida por 2 2y x = − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 195 Exercício 17. Função ( )( )1 1 cos 2 y x= − . Resolução. Iniciemos nosso raciocínio com a função ( ) ( )cosf x x= , cujo esboço do gráfico é mostrado a seguir. Consideremos a função ( ) ( )cosg x x= − . Esta função tem gráfico obtido a partir do gráfico da função ( ) ( )cosf x x= por reflexão em relação ao eixo dos xx. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 196 Em seguida, consideremos a função ( ) ( )1 cosh x x= − . O gráfico desta função é obtido por uma translação vertical de uma unidade do gráfico da função g. Finalmente, consideramos a função ( ) ( )( )1 1 cos 2 j x x= − . O gráfico desta última é obtido mediante compressão vertical de Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 197 fator 1 2 no gráfico da função ( ) ( )1 cosh x x= − . A ilustração do gráfico da função j está a seguir, em azul. Exercício 18. Função 1 2 3y x= − + . Resolução. Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . O domínio é [0, )∞ . Teremos de considerar a função definida por 3y x= + . Seu gráfico é obtido do gráfico de ( )f x mediante translação de 3 unidades para a esquerda. O domínio torna-se [ 3, 0)− . Depois teremos de considerar uma expansão de fator 2 na vertical no gráfico da função definida por 3y x= + , assim consideraremos a função definida por 2 3y x= + . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 198 Depois consideraremos a reflexão em torno do eixo das abscissas no gráfico da função definida por 2 3y x= + , assim consideraremos a função definida por 2 3y x= − + . Finalmente, consideraremos a função definida por 1 2 3y x= − + e seu gráfico será obtido do gráfico da função definida por 2 3y x= − + pela translação e uma unidade para cima. O gráfico da função ( )f x é mostrado em vermelho e o da função dada por 1 2 3y x= − + é mostrado em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 199 Exercício 19. Função 21 2y x x= − − . Resolução. Deveremos fatorar a expressão. 2 2 21 2 2 1 2 1 1 1y x x x x x x = − − = − + − = − + + − − = ( )21 2x = − + − . Consideremos a função ( ) 2f x x= . Efetuamos uma translação de uma unidade para a esquerda no gráfico de ( )f x . A função considerada deve ser definida por ( )21y x= + . Depois, no gráfico de ( )21y x= + , devemos efetuar uma translação de duas unidades para baixo, o que fornece o gráfico da função definida por ( )21 2y x= + − . Finalmente, devemos refletir o gráfico da função ( )21 2y x= + − em torno do eixo das abscissas. Nessa situação estaremos considerando o gráfico da função definida por ( )21 2y x = − + − . Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função definida por ( )21 2y x = − + − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 200 Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 201 Exercício 20. Função 2y x= − . Resolução. Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . A partir desse gráfico devemos efetuar uma translação de duas unidades para baixo. Dessa maneira estaremos considerando a função definida por 2y x= − . Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o gráfico da função definida por 2y x= − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 202 Exercício 21. Função 2y x= − . Resolução. Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . Seu gráfico é conhecido. Considere a função dada no enunciado. 2y x= − . O gráfico desta função é obtido do gráfico da função ( )f x x= por translação de duas unidades para a direita. Verifique que o vértice está agora sobre a abscissa 2x = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 203 Exercício 22. Função 1 tan 4 4 y x π = − . Resolução. Vamos considerar a função ( ) ( )tanf x x= . Seu domínio é , 2 D k k π = − ∈ ℝ ℤ . A partir do gráfico da função ( )f x efetuamos uma translação de 4 π unidades para a direita. Obteremos o gráfico da função definida por tan 4 y x π = − . O domínio dessa nova função é 3 , 4 D k k π = − ∈ ℝ ℤ . Após isso, faremos uma contração vertical de fator 4. O gráfico assim obtido é o da função definida por 1 tan 4 4 y x π = − . Mostramos o gráfico de ( )f x em vermelho e o da função definida por 1 tan 4 4 y x π = − em azul. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 204 Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 205 Exercício 23. Função 1y x= − . Resolução. Tomemos inicialmente a função ( )f x x= . Seu domínio é [0, )D = ∞ . A partir do gráfico de ( )f x efetuamos uma translação de uma unidade para baixo. Obtemos o gráfico da função definida por 1y x= − . Em seguida rebatemos as partes negativas do gráfico da função definida por 1y x= − para torna-las positivas. Esse é o gráfico da função definida por 1y x= − . Os gráficos são mostrados a seguir. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 206 Exercício 24. Função cos( )y xπ= . Resolução. Consideramos a função ( ) ( )cosf x x= cujo gráfico sabemos traçar. A partir desse gráfico efetuamos uma expansão horizontal de fator π . O gráfico obtido é o da função definida por ( )cosy xπ= . Em seguida, rebatemos as partes negativas do gráfico anterior para torna-las positivas. O gráfico obtido é o gráfico da função definida por ( )cosy xπ= . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 207 Exercício 25. Considere os seguintes gráficos: Eles indicam a quantidades de horas de luz solar por dia em função dos meses do ano. São apresentados cinco gráficosde acordo com as latitudes do hemisfério norte. Considere que a cidade de Nova Delhi, na Índia. Ela está situada na latitude 30º N. Use os dados da figura anterior para determinar a expressão algébrica de uma função que modele a quantidade de luz solar diária em Nova Delhi em função dos dias do ano. Para apurar seu modelo considere que nessa cidade, no dia 31 de março, o Sol nasce às 6h13min e se põe às 18h39min. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 208 Resolução. O gráfico relativo a 30 graus Norte é o vermelho. Ele se inicia em uma ordenada e cresce suavemente logo em seguida. Depois atinge um valor máximo e decresce, é um comportamento cíclico. Vamos considerar inicialmente a função ( ) ( )sinf x x= . Ela parte do valor zero e aumenta e diminui ciclicamente. Percebemos que a variação do gráfico tem valor central de 12. Então vamos considerar a função definida por ( )sin 12y x= + . Percebemos, pelo gráfico mostrado, que os valores máximos e mínimos da função são 14 e 10. Devemos transformar o gráfico da função anterior multiplicando-o por um fator 2. O gráfico considerado é, por enquanto, definido por ( )2sin 12y x= + . Observamos que o gráfico vermelho se inicia no dia 21 de março. Deveremos transladar o gráfico da função definida por ( )2sin 12y x= + . Temos: 31 28 21 80+ + = dias de 01 de janeiro até 1 de março. Devemos considerar a função definida por ( )2sin 80 12y x= − + . Devemos arrumar o período dessa última função. Verificamos que a primeira raiz ocorre no dia 21 de setembro, 180 dias após o dia 21 de março. Se o período de ( ) ( )2sin 80 12g x x= − + é de 2π dias e queremos um período de 180 dias, devemos dividir o argumento da função por 180 2π . Isso arrumará o Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 209 gráfico, fará com que ele se expanda de fator 180 2π na horizontal e seja coincidente com o gráfico vermelho do enunciado. A função que modela a quantidade de luz solar na cidade de Nova Delhi é ( ) 22sin ( 80) 12 180 h x x π = − + . Na ilustração marcamos o segmento sobre a abscissa 90, já que dia 31 de março é o nonagésimo dia do ano. Calculamos ( )90 12.65f ≅ . A resposta é que no dia 31 de março há pouco mais de 12 horas e 30 minutos de luz solar em Nova Delhi. Os dados oficiais dizem que, no dia 31 de março, o Sol nasce às 6h13 e se põe às 18h39. Isso fornece a informação de que nesse dia há 12 horas e 26 minutos de luz solar. Nosso modelo está razoável. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 210 Exercício 26. Considere a estrela Delta Cephei. Ela é uma estrela de brilho variável. O período de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio vale 4 unidades e seu brilho varia de 0.35± unidades em magnitude. Determine um modelo para a variação do brilho dessa estrela em função do tempo. Resolução. Consideremos inicialmente a função ( ) ( )sinf x x= . Seu período é de 2π unidades. Para fazermos com que o período coincida com o período de 5,4 unidades, devemos comprimir o gráfico de ( ) ( )sinf x x= de um fator de 2 5.4 π . Assim consideraremos a função definida por 2 sin 5.4 y x π = . A magnitude média é de 4 unidades, devemos transladar o gráfico da função definida por 2 sin 5.4 y x π = de 4 unidades para cima. A função que possui esse gráfico é definida por 2 sin 4 5.4 y x π = + . A amplitude da variação do brilho é de 0.35 unidades, para mais e para menos. Como a amplitude da função considerada ainda é de uma unidade para mais e de uma unidade para Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 211 menos, precisamos multiplicar a expressão da função seno de um fator 0.35. A função que desejamos é ( ) 20.35sin 4 5.4 g x x π = + . Ilustramos o gráfico da função em azul e o gráfico da função ( ) ( )sinf x x= em tracejado. Exercício 27. Considere o gráfico de uma função genérica ( )y f x= . a) Qual a relação do gráfico de f com o gráfico de ( )y f x= ? b) Esboce o gráfico de ( )siny x= . c) Esboce o gráfico de y x= . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 212 Resolução. Para construir o gráfico de ( )y f x= a partir do gráfico da função original ( )y f x= , devemos preservar o traçado do gráfico de ( )y f x= para todos os valores 0x ≥ . Devemos então refletir essa parte situada no semiplano 0x ≥ em torno do eixo das ordenadas. O gráfico de ( )y f x= é um gráfico que possui tal simetria, ele é o gráfico de uma função par, já que se 0x > então ( ) ( )f x f x− = . Mostramos a seguir o gráfico de ( )siny x= em azul e o gráfico de ( )g x x= em verde. Observe que o domínio de ( )f x x= é [0, )∞ , mas o domínio de ( )g x x= é ℝ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 213 Exercício 28. Considere o gráfico de uma função ( )y f x= mostrado na seguinte figura. Esboce o gráfico de ( ) 1 y f x = . Explique quais os aspectos importantes do gráfico original lhe foram importantes e como foram utilizados. Resolução. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 214 Os aspectos mais importantes na hora de construir o gráfico da função definida como ( ) 1 y f x = são as raízes de ( )f x . Não haverá gráfico de ( ) 1 y f x = sobre as raízes já que essas são responsáveis pelo aparecimento de zeros no denominador. Devemos traçar retas verticais sobre as raízes e marca-las em tracejado assim como fazemos ao traçarmos o gráfico da função tangente. Para o exemplo mostrado em tracejado. Temos ( )1 0f − = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 215 À esquerda de 1x = − os valores de ( )f x são negativos, logo, devemos desenhar um traço que assume valores cada vez menores à medida que se aproxima da asbcissa 1x = − pela esquerda. À direita de 1x = − os valores de ( )f x são positivos, logo, devemos desenhar um traço que assume valores cada vez maiores à medida que se aproxima da abscissa 1x = − pela direita. Raciocínios análogos são utilizados para traçar o novo gráfico perto das outras raízes. De maneira análoga, pensamos que, quanto maior for a grandeza ( )f x menor deverá ser a ordenada a ser traçada no gráfico de ( ) 1 f x . Por isso o esboço mostrado em azul. Observe que o gráfico de ( ) 1 y f x = não apresentará nenhuma raíz. Exercício 29. Considere as funções definidas por ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g+ ; Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 216 b) f g− ; c) f g⋅ ; d) f g . Resolução. Primeiramente, vejamos os domínios das funções f e g. A função f é uma função polinomial, portanto podemos calcular o valor da função em qualquer número real. Seu domínio é todo o conjunto dos números reais. ( )Dom f =ℝ . A função g também é definida algebricamente por uma expressão polinomial. Portanto, também podemos calcular os valores de g em qualquer número real, ou seja, ( )Dom g =ℝ . a) f g+ , com () 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . A notação apresentada estipula que a nova função terá o “nome” f g+ . Tal nome poderia ser “soma”, poderia ser “adic_f_g”, ou outro nome qualquer. O que devemos considerar é que essa nova função, dada com o nome f g+ deve calcular seus valores nos números reais da seguinte maneira: ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + para qualquer x real. Observação: Se o nome da função fosse “soma” deveríamos adotar que: Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 217 ( ) ( ) ( )soma x f x g x= + para qualquer número real x. Se o nome da função fosse “adic_f_g” deveríamos adotar que: ( ) ( ) ( )adic_f_g x f x g x= + para qualquer número real x. É importante que o aluno compreenda a diferença entre o “nome” da função e qual é o procedimento adotado para definir o que a função faz num número real x. Então, a função cujo nome é f g+ tem domínio ℝ , e para cada número a real, a imagem de a é calculada da seguinte maneira: ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a+ = + = 3 2 2 3 22 3 1 5 1a a a a a + + − = + − . O leitor precisa perceber que o número a deve estar no domínio de f e no domínio de g, senão não conseguimos executar os cálculos da nova função f g+ . b) f g− , com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . A notação f g− indica o nome de uma nova função obtida das funções anteriormente apresentadas f e g. Como observado anteriormente, nós poderíamos criar um nome sugestivo, como por exemplo, “dif_f_g”. Mas esse nome não faria muito sentido para os estudantes que falassem alemão, ou falassem coreano, Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 218 etc. A notação adotada, f g− , é apropriada para uso no mundo todo. Em todas as nações do mundo, quando os leitores virem a notação f g− compreenderão que se trata de uma nova função e que os cálculos dessa nova função num número a serão: ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a− = − . Ou seja, é preciso calcular a imagem de tal número a pela função f e pela função g, e depois efetuar a subtração do número ( )g a do número ( )f a , isto é, efetuar ( ) ( )f a g a− . Assim, ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a− = − = 3 2 2 3 2 2 3 22 3 1 2 3 1 1a a a a a a a a + − − = + − + = − + . Como, para efetuar tais operações é necessário que o número a esteja no domínio de f e no domínio de g, o domínio da função “diferença” será: ( )Dom f g− =ℝ . c) f g⋅ , com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . A notação indica que a função “produto” deverá calcular no número a o produto das imagens desse número por f e por g. Para efetuar tal operação, devemos exigir que o número a pertença ao domínio de f e ao domínio de g. Portanto o domínio da função produto é ( )Dom f g⋅ =ℝ . Temos ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a⋅ = ⋅ = Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 219 3 2 2 5 3 4 22 3 1 3 6 2a a a a a a a + ⋅ − = − + − = 5 4 3 23 6 2a a a a+ − − . d) f g , com ( ) 3 22f x x x= + e ( ) 23 1g x x= − . Esta nova função exige uma atenção na hora de explorar qual é o domínio. Pela notação utilizada, devemos executar ( ) ( ) ( ) f af a g g a = . Mas perceba que se a imagem ( )g a ou igual a zero, haverá a impossibilidade de cálculo de ( )f a g . Então devemos retirar do domínio de g, os números nos quais a função g assume valor zero. Vamos procurá-los. ( ) 2 2 2 10 3 1 0 3 1 3 g x x x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ 1 3 x = ± . Então, poderemos efetuar as operações de cálculo da nova função f g apenas nos números reais diferentes de 1 3 e 1 3 − . 1 1 , 3 3 f Dom g = − − ℝ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 220 Temos, assim, ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 1 f af a a a g g a a + = = − . Exercício 30. Considere as funções definidas por ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g+ ; b) f g− ; c) f g⋅ ; d) f g . Resolução. Determinemos os domínios das funções elencadas no enunciado. A função definida por ( ) 3f x x= − não pode ser calculada em todos os números reais. Devemos exigir uma condição de existência para a sentença algébrica que define a função. O radicando não pode ser negativo. 3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤ . Então ( ) ( ,3]Dom f = −∞ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 221 A função definida por ( ) 2 1g x x= − também não pode ser calculada para todos os números reais. Devemos exigir que o radicando seja nulo ou positivo. 2 21 0 1 1 ou 1x x x x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ . Então ( ) ( , 1] [1, )Dom g = −∞ − ∪ ∞ . a) f g+ , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Os números que podemos tomar para calcular a nova função f g+ devem estar nos dois domínios ao mesmo tempo. Então, escrevemos: ( ) ( ) ( )Dom f g Dom f Dom g+ = ∩ . Então, devemos determinar a interseção de ( ) ( ,3]Dom f = −∞ com ( ) ( , 1] [1, )Dom g = −∞ − ∪ ∞ . Assim, ( ) ( , 1]Dom f g+ = −∞ − . Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: ( )( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a+ = + = − + − . b) f g− , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 222 Para efetuar os cálculos necessários da nova função f g− precisamos que os números estejam no domínio: ( ) ( , 1]Dom f g− = −∞ − . Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: ( )( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a− = − = − − − . c) f g⋅ , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Para efetuar os cálculos necessários da nova função f g⋅ precisamos que os números estejam no domínio: ( ) ( , 1]Dom f g⋅ = −∞ − . Se ( , 1]a∈ −∞ − então calculamos: ( ) ( ) ( ) ( ) 23 1f g a f a g a a a⋅ = ⋅ = − ⋅ − = ( )( )23 1a a− − . d) f g , com ( ) 3f x x= − e ( ) 2 1g x x= − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 223 Para efetuar os cálculos necessários da nova função f g precisamos que os números a estejam no intervalo ( , 1]−∞ − , mas que também não anulem o valor ( )g a . Sabemos que ( ) 0g a = quando 1a = ± . Dessa maneira, escrevemos que ( , 1) f Dom g = −∞ − . Então, se ( , 1)a∈ −∞ − podemos calcular: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 f af a a g g a a − = = − . Exercício 31. Considere as funções definidas por ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; d) g g� . Resolução. O domínio da função f é ( )Dom f =ℝ , já que a sentença algébrica que define a função é polinomial. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 224 O domínio da função g é ( )Dom g =ℝ , também devido à definição desta função ser dada por uma sentença algébrica polinomial. a) f g� , com ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . A notação f g� indica que essa nova função toma um número real a, calcula sua imagem pela função g e depois toma essa imagem ( )g a e calcula o valor de f nesse número. Para todo ( )a Dom g∈ =ℝ temos ( ) 2 1g a a= + . Como f é polinomial, podemos calcular f nesse número 2 1a+ . ( )( ) ()( ) ( ) ( )22 1 2 1 1f g a f g a f a a= = + = + − =� 2 24 4 1 1 4 4a a a a+ + − = + . b) g f� , com ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2 1g x x= + . A notação g f� indica que essa nova função toma um número real a, calcula sua imagem ( )f a e depois calcula a imagem de ( )f a pela função g. Como a função g é polinomial, podemos efetuar esse cálculo em todos os pontos do domínio de f. Então, temos: Para todo a∈ℝ , Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 225 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 2 1 1g f a g f a g a a= = − = − + =� 2 22 2 1 2 1a a− + = − . c) f f� , com ( ) 2 1f x x= − . A notação indica que para a∈ℝ , essa nova função calcula o número ( )f a e depois calcula a imagem de ( )f a pela função f novamente. Para todo a∈ℝ , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 21 1 1f f a f f a f a a= = − = − − =� 4 2 4 22 1 1 2a a a a− + − = − . d) g g� , com ( ) 2 1g x x= + . A notação indica que para a∈ℝ , essa nova função calcula o número ( )g a e depois calcula a imagem de ( )g a pela função g novamente. Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1g g a g g a g a a= = + = + + =� 4 2 1 4 3a a+ + = + . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 226 Exercício 32. Considere as funções definidas por ( ) 2f x x= − e ( ) 2 3 4g x x x= + + . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; d) g g� . Resolução. O domínio de f é: ( )Dom f =ℝ ; O domínio de g é: ( )Dom g =ℝ . a) f g� . A notação indica que se deve calcular a imagem ( )g a e depois calcular a imagem de ( )g a pela função f. Como f é linear não há problemas advindos da imagem de g. Temos ( )Dom f g =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( )2 3 4f g a f g a f a a= = + + =� ( )2 23 4 2 3 2a a a a= + + − = + + . b) g f� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 227 Como a função g não tem restrições ao cálculo, isto é, seu domínio é o conjunto de todos os números reais, temos ( )Dom g f =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( ) ( ) ( )( ) ( )2g f a g f a g a= = − =� ( ) ( )2 2 22 3 2 4 4 4 3 6 4 2a a a a a a a= − + − + = − + + − + = − + . c) f f� . Temos ( )Dom f f =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 4f f a f f a f a a a= = + = + + = +� . d) g g� . Temos ( )Dom g g =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 4g g a g g a g a a= = + + =� ( ) ( )22 23 4 3 4 4a a a a= + + + + + + = 4 3 2 3 2 23 4 3 9 12 4 12 16a a a a a a a a= + + + + + + + + = Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 228 4 3 26 17 24 16a a a a= + + + + . Exercício 33. Considere as funções definidas por ( ) 1 3f x x= − e ( ) ( )cosg x x= . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; d) g g� . Resolução. O domínio de f é: ( )Dom f =ℝ ; O domínio de g é: ( )Dom g =ℝ . a) f g� . A notação indica que se deve calcular a imagem ( )g a e depois calcular a imagem de ( )g a pela função f. Como f é linear não há problemas advindos da imagem de g. Temos ( )Dom f g =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos 1 3 cosf g a f g a f a a= = = − = � ( )1 3cos a− . b) g f� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 229 Como a função g não tem restrições ao cálculo, isto é, seu domínio é o conjunto de todos os números reais, temos ( )Dom g f =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 3 cos 1 3g f a g f a g a a= = − = −� . c) f f� . Temos ( )Dom f f =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( ) [ ]1 3 1 3 1 3f f a f f a f a a= = − = − − =� 1 3 9 2 9a a− + = − + . d) g g� . Temos ( )Dom g g =� ℝ . Para todo a∈ℝ , ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos cos cos( )g g a g g a g a a= = =� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 230 Exercício 34. Considere as funções definidas por ( )f x x= e ( ) 3 1g x x= − . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; d) g g� . Resolução. Existe condição de existência para a expressão que define a função ( )f x x= . O domínio é [0, )∞ . O domínio de g é ℝ . a) f g� ; A notação indica que devemos calcular o valor de um número a pela função g e depois calcular a função f no valor ( )g a . Existe a possibilidade de ( )g a ser negativo, e nesse caso, não se pode calcular ( )( )f g a . Vemos que se 1x = então ( ) 31 1 1 0g = − = . Para 1x > temos que ( ) 3 1 0g x x= − < . Para 1x < temos que ( ) 3 1 0g x x= − > . Então se 1a < temos ( ) 3 1 0g a a= − > e daí ( ) ( )( ) ( )3 3 61 1 1f g a f g a f a a a= = − = − = −� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 231 Então : ( ,1]f g −∞ →� ℝ ; ( ) 6 1f g a a= −� . b) g f� ; Como ( )Dom g =ℝ não haverá problemas no cálculo de ( )( )g f a . ( ) ( )( ) ( ) 3 1g f a g f a g a a= = = −� . Então, :[0, )g f ∞ →� ℝ ; ( ) 3 1g f a a= −� . c) f f� ; A Imagem de f é ( )Im [0, )f = ∞ então não haverá problemas no cálculo de ( )( )f f a . ( ) ( )( ) ( ) 4f f a f f a f a a a= = = =� . Então :[0, )f f ∞ →� ℝ ; ( ) 4f f a a=� . d) g g� . Como ( )Dom g =ℝ não haverá problemas no cálculo de ( )( )g g a . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 232 ( ) ( )( ) ( ) 33 31 1 1g g a g g a g a a= = − = − −� . Exercício 35. Considere as funções definidas por ( ) 1f x x x = + e ( ) 1 2 x g x x + = + . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; d) g g� . Resolução. Existem condições de existência para as sentenças que definem as funções do enunciado. Para a existência da função f devemos exigir que 0x ≠ , logo temos ( ) ( ,0) (0, )Dom f = −∞ ∪ ∞ . Para a existência da função g devemos exigir que 2x ≠ , logo temos ( ) ( , 2) ( 2, )Dom g = −∞ − ∪ − ∞ . a) f g� , com ( ) 1f x x x = + e ( ) 1 2 x g x x + = + . A notação dessa nova função nos diz que para um número a, primeiramente calcula-se a imagem ( )g a , e depois calcula-se a imagem de ( )g a pela função f. Assim precisamos verificar se existe a possibilidade da imagem ( )g a ser igual a zero, pois nesse caso, não conseguiremos calcular a composta. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 233 Se ( ) 1 2 x g x x + = + , então ( ) 0 1g x x= ⇔ = − . Precisamos retirar o número 1x = − do domínio da função composta f g� . Assim, além de 2x = − que não pertence ao domínio de g, precisamos exigir que o número 1x = − também não esteja no domínio da composta. Temos ( ) ( , 2) ( 2, 1) ( 1, )Dom f g = −∞ − ∪ − − ∪ − ∞� Para todo { 2, 1}a∈ − − −ℝ temos ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 12 2 2 a a f g a f g a f aa a a + + = = = + = ++ + + � 1 2 2 1 a a a a + + + + + . b) g f� , com ( ) 1f x x x = + e ( ) 1 2 x g x x + = + . Essa nova função calcula a imagem de um número a por f e depois toma esse número ( )f a e calcula ( )( )g f a . Então é preciso tomar cuidado e verificar a possibilidade de ( )f a anular o denominadorde g. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 234 Devemos perguntar: Existe a em ( )Dom f tal que ( ) 2f a = − ? 2 21 2 1 2 2 1 0a a a a a a + = − ⇔ + = − ⇔ + + = ⇔ ( )21 0 1a a+ = ⇔ = − . Então ( ) 11 1 2 1 f − = − + = − − e não podemos calcular ( )( )1g f − . Assim, devemos retirar 1− do domínio de f para podermos calcular a composta. Temos: ( ) ( , 1) ( 1,0) (0, )Dom g f = −∞ − ∪ − ∪ ∞� . Para { 1,0}a∈ − −ℝ temos ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 a a g f a g f a g a a a a + + = = + = = + + � 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 a a a aa a a a a a + + + + = + + + + . c) f f� , com ( ) 1f x x x = + . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 235 Como f não pode ser calculada em zero, devemos determinar se existe a possibilidade de ( ) 0f a = . 21 1 0 0 x x x x + + = ⇔ = . Logo, não existe essa possibilidade. Todos os pontos do domínio de f são pontos do domínio dessa nova função. ( ) {0}Dom f f = −� ℝ . Para todo {0}a∈ −ℝ temos: ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 f f a f f a f a a a a a a = = + = + + = + � 2 1 1 a a a a + + + . d) g g� , com ( ) 1 2 x g x x + = + . Como g não pode ser calculada em 2x = − devemos determinar se existe a possibilidade de ( ) 2g a = − . ( ) 12 2 1 2 4 2 x g x x x x + = − ⇔ = − ⇔ + = − − ⇔ + 5 3 5 3 x x= − ⇔ = − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 236 Então 5 5 3 15 23 3 2 5 5 63 12 3 3 g − + − + − − = = = = − − + − + e não será possível efetuar 5 3 g g − . Devemos tomar como domínio da composta o seguinte conjunto: ( ) 52, 3 Dom g g = − − − � ℝ . Para todo ( )a Dom g g∈ � temos: ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 2 12 2 2 a a a g g a g g a g aa a + + + + = = = = ++ + + � 1 2 2 32 1 2 4 3 5 2 a a aa a a a a + + + ++ = + + + + + . Exercício 36. Considere as funções definidas por ( ) 1 x f x x = + e ( ) ( )sin 2g x x= . Escreva as definições algébricas e os domínios das funções: a) f g� ; b) g f� ; c) f f� ; Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 237 d) g g� . Resolução. Os domínios são: ( ) { 1}Dom f = − −ℝ e ( )Dom g =ℝ . a) f g� ; Existe a possibilidade de ( ) 1g a = − ? Sim. ( ) ( )1 sin 2 1 2 2 2 g a a a k π π= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ 4 a k π π⇔ = − . Então : , 4 f g k k π π − − ∈ � ℝ ℤ é tal que: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) sin 2 sin 2 1 sin 2 a f g a f g a f a a = = = + � . b) g f� ; Como o domínio de g é o conjunto de todos os números reais não há problemas extras para a determinação da composta g f� . A função é { }: 1g f − − →� ℝ ℝ ; ( ) ( )( ) 2sin 1 1 a a g f a g f a g a a = = = + + � . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 238 c) f f� ; Existe a possibilidade de ( ) 1f a = − ? Sim. ( ) 11 1 1 1 2 a f a a a a a = − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = − − . Verifiquemos: ( ) 1/ 2 1/ 21/ 2 1 1 1/ 2 1/ 2 f − − − = = = − − . Então o ponto 1 2 a = − deve ser retirado para o cálculo da composta f f� . Assim, 1 : 1, 2 f f − − − → � ℝ ℝ ; ( ) ( )( ) 1 a f f a f f a f a = = = + � 1 1 1 1 21 1 1 a a aa a a a a a a a + += = = + + ++ + + . d) g g� . Não haverá problemas no cálculo dessa composta. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 239 :g g →� ℝ ℝ ; ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )sin 2 sin sin 2g g a g g a g a a= = =� . Exercício 37. Considere as funções definidas por: ( ) 3 2f x x= + , ( ) ( )seng x x= e ( ) 2h x x= . Determine a expressão algébrica e o domínio de f g h� � . Resolução. A notação f g h� � indica que no número a do domínio de h será efetuado o cálculo ( )h a . Depois será calculado o seno desse número ( )h a e depois calculado f da imagem ( )( )sen h a . Como não há restrições a serem feitas nos domínios de g e de f, o domínio da composta proposta no enunciado é igual ao domínio de h. Então para todo a∈ℝ temos: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2senf g h a f g h a f g a f a = = = = � � ( )( ) ( )2 23 sen 2 3sen 2a a+ = + . Exercício 38. Considere as funções definidas por: ( ) 4f x x= − , ( ) 2xg x = e ( )h x x= . Determine a expressão algébrica e o domínio de f g h� � . Resolução. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 240 A notação f g h� � indica que no número a do domínio de h será efetuado o cálculo ( )h a . Depois será calculado o seno desse número ( )h a e depois calculado f da imagem ( )( )sen h a . Os domínios de f e g são iguais ao conjunto dos reais, logo, não há números do ( ) [0, )Dom h = ∞ que devam ser retirados para o cálculo dessa composta. Temos :[0, )f g h ∞ →� � ℝ ; ( ) ( )( ) ( ) ( )( )f g h a f g h a f g a f g a= = = =� � � � ( )2 2 4a af= = − . Exercício 39. Considere as funções definidas por: ( ) 3f x x= − , ( ) 2g x x= e ( ) 3 2h x x= + . Determine a expressão algébrica e o domínio de f g h� � . Resolução. O domínio de h é ℝ . O domínio de g é ℝ . Para determinar o domínio de f devemos impor uma condição de existência da sentença matemática que define a função, devemos exigir que o radicando seja maior ou igual a zero. 3 0 3x x− ≥ ⇔ ≥ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 241 Então ( ) [3, )Dom f = ∞ . Observemos o gráfico de f. A notação f g h� � indica que os cálculos dessa função composta são ( )( ) ( )( )( )f g h a f g h a=� � . Como f será calculada na imagem de g, devemos exigir que a imagem de números pela função g não sejam inferiores a 3, caso isso ocorra não conseguiremos calcular a função composta. Como ( ) 2g x x= , devemos exigir que: 2 3 3 ou 3x x x≥ ⇔ ≤ − ≥ . Vejamos essa situação no gráfico de g. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 242 Dessa maneira, devemos impor às imagens de a por h que: ( ) ( , 3] [ 3, )h a ∈ −∞ − ∪ ∞ . A definição de h é: ( ) 3 2h x x= + , vejamos quando a imagem de um número x será igual a 3± : 3 32 3 3 2x x+ = ± ⇔ = ± − ⇔ 3 3 2x ≤ − − ou 3 3 2x ≥ − . Podemos compreender melhor tais desigualdades observando o gráfico de ( ) 3 2h x x= + . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 243 Para números reais x inferiores a 3 3 2− − , conjunto marcado em verde na ilustração anterior, tem-se: ( ) ( )( )3 3 2 3 3x h x g h x≤ − − ⇒ ≤ − ⇒ ≥ . Para números reais x superiores a 3 3 2− , conjunto marcado em verde na ilustração anterior, tem-se: ( ) ( )( )3 3 2 3 3x h x g h x≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥ . E nesses casos podemos calcular ( )( )( )f g h x . Assim, se 3 3 2a ≤ − − ou 3 3 2a ≥ − temos: Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.comPágina 244 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )3 2f g h a f g h a f g a= = + =� � ( )( ) ( )2 23 32 2 3f a a+ = + − . Reforçando a informação: ( ) 3 3( , 3 2] [ 3 2, )Dom f g h = −∞ − − − ∪ − ∞� � . Exercício 40. Considere as funções definidas por: ( ) ( )tanf x x= , ( ) 1 x g x x = − e ( ) 3h x x= . Determine a expressão algébrica e o domínio de f g h� � . Resolução. O domínio de h é ℝ . O domínio de g é { }1−ℝ . O domínio de f é { },k kπ− ∈ℝ ℤ . Existe a possibilidade de ( ) 1h a = ? Sim. ( ) 31 1 1h a a a= ⇔ = ⇔ = . Por enquanto, sabemos que devemos evitar 1x = para o cálculo da composta g h� . Existe a possibilidade de ( )g x ser da forma ,k kπ ∈ℤ ? Sim. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 245 ( )1 1 x k x k x k k x k x π π π π π= ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ − 1 k x k π π − ⇔ = − . Então para que possamos calcular a composta f g h� � devemos fazer as restrições: { }: 1 , 1 k f g h k k π π − − − ∪ ∈ − � � ℝ ℤ `; ( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 1 a f g h a f g h a f g a f a = = = = − � � � � 3 3 tan 1 a a = − . Exercício 41. Considere a função ( ) ( )422F x x x= + . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. Percebemos que a última operação efetuada no cálculo da função F é a operação que calcula a quarta potência. Então, uma maneira de obter a função como o resultado de uma composição é: Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 246 Considere a função :m →ℝ ℝ , ( ) 4m x x= e a função :n →ℝ ℝ , ( ) 22n x x x= + . Tem-se que: ( ) :m n →� ℝ ℝ é tal que ( )( ) ( )( ) ( ) ( )42 22 2m n x m n x m x x x x= = + = +� . Assim, F m n= � . Exercício 42. Considere a função ( ) ( )2cosF x x= . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. A notação envolvida no enunciado tem o seguinte significado ( ) ( ) 22cos cosx x= . Percebemos então que primeiramente deve-se calcular o cosseno do número x e depois elevar-se ao quadrado o resultado. Considere a função :m →ℝ ℝ ; ( ) ( )cosm x x= e a função :n →ℝ ℝ ; ( ) 2n x x= . Tem-se que :n m →� ℝ ℝ é tal que ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2cos cosn m x n m x n x x F x= = = = � . Assim, temos a composição ( ) ( )F x n m x= � . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 247 Exercício 43. Considere a função ( ) 3 31 x F x x = + . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. A função do enunciado tem domínio ( ) { 1}Dom F = − −ℝ . Percebemos a expressão 3 x no numerador e no denominador. Se pensarmos em substituí-la pela imagem de uma função, obteremos a composição desejada. Considere a função : { 1}n − − →ℝ ℝ , ( ) 3n x x= e a função :m →ℝ ℝ , ( ) 1 x m x x = + . Temos : {1}m n − →� ℝ ℝ dada por ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 31 x m n x m n x m x x = = = + � . Exercício 44. Considere a função ( ) 3 1 x F x x = + . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. Consideremos as funções: Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 248 { }: 1m − − →ℝ ℝ ; ( ) 1 x m x x = + e :n →ℝ ℝ ; ( ) 3n x x= . Tem-se : {1}n m − →� ℝ ℝ dada por ( ) ( )( ) ( )3 1 1 x x n m x n m x n F x x x = = = = + + � . Exercício 45. Considere a função ( ) ( ) ( )2 2sec tgF t t t= . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. Qual é o domínio da função F? É preciso que 2t não seja igual a múltiplos inteiros de 2 π . Então é preciso que t não seja igual aos números 2 k π com k∈ℤ . Assim, a função considerada no enunciado tem domínio ( ) , 2 Dom F k k π = − ∈ ℝ ℤ . Percebemos que a expressão 2t aparece no arco da função secante e também no arco da função tangente. Vamos considerar que essa expressão quadrática seja o resultado da aplicação de uma função inicial, e que o cálculo do produto das Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 249 funções trigonométricas seja o cálculo da segunda função da pretendida composição. Considere a função : , 2 g k k π − ∈ → ℝ ℤ ℝ , ( ) 2g x x= e a função : , 2 f k k π − ∈ → ℝ ℤ ℝ , ( ) ( ) ( )sec tgf x x x= . Tem-se: : , 2 f g k k π − ∈ → � ℝ ℤ ℝ dada por ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2sec tgf g x f g x f x x x= = =� . Exercício 46. Considere a função ( ) ( ) ( ) tan 1 tan t F t t = + . Expresse essa função como uma composição f g� não trivial, isto é, sem que f ou g seja função identidade. Resolução. Qual o domínio de F? É preciso que ,t k kπ≠ ∈ℤ , pois caso contrário não podemos calcular a tangente. Também é preciso que ( )tan 1t ≠ − , ou seja, é preciso que se tenha a restrição 2 4 t k π π≠ − . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 250 Então se chamarmos { },A k kπ= ∈ℤ e 2 , 4 B k k π π = − ∈ ℤ podemos escrever que ( ) ( )Dom F A B= − ∪ℝ . Considere ( ):n A B− ∪ →ℝ ℝ ; ( ) ( )tann t t= . Considere também { }: 1m − − →ℝ ℝ ; ( ) 1 a n a a = + . Tem-se ( ):m n A B− ∪ →� ℝ ℝ ; ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) tan tan 1 tan t m n t m n t m t F t t = = = = + � . Exercício 47. Considere a função ( ) 1F x x= − . Expresse essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, sem que f , g ou h seja função identidade. Resolução. Devemos exigir que 0x ≥ . Também devemos exigir que 1 0x − ≥ . Isso ocorre se e somente se 1 1x x≥ ⇔ ≥ . Então ( ) [1, )Dom F = ∞ . Considere ( ):[1, ) ;h h x x∞ → =ℝ . Considere ( ): ; 1g g a a→ = −ℝ ℝ . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 251 Considere ( ):[0, ) ;f f b b∞ → =ℝ . Tem-se :[1, )f g h ∞ →� � ℝ ; ( ) ( )( ) ( ) ( )( )f g h x f g h x f g x f g x= = = =� � � � ( ) ( )1 1f x x F x= − = − = . Exercício 48. Considere a função ( ) 8 2F x x= + . Expresse essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, sem que f , g ou h seja função identidade. Resolução. Devemos exigir que 2 0x+ ≥ , mas isso é sempre verdadeiro para qualquer número real. Logo ( )Dom F =ℝ . Considere :h →ℝ ℝ ; ( )h x x= . Considere ( ): ; 2g g a a→ = +ℝ ℝ . Considere :[0, )f ∞ → ℝ ; ( ) 8f b b= . Tem-se :f g h →� � ℝ ℝ ; ( ) ( )( ) ( )f g h x f g h x f g x= = =� � � � ( )( ) ( ) ( )82 2f g x f x x F x= = − = − = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 252 Exercício 49. Considere a função ( ) ( )4secF x x= . Expresse essa função como uma composição f g h� � não trivial, isto é, sem que f , g ou h seja função identidade. Resolução. Consideremos: ( ):[0, ) ;h h x x∞ → =ℝ . Como ( ) ( ) 1 sec cos x x = , para calculara secante de um arco x devemos exigir que ,x k kπ≠ ∈ℤ . Consideremos: { } ( ) ( ): , ; secg k k g a aπ− ∈ → =ℝ ℤ ℝ . Pode ocorrer ( )h x kπ= ? Sim. ( ) ( )2h x k x k x kπ π π= ⇔ = ⇔ = . Então para termos a composta g h� devemos retirar do domínio de h os pontos ( ){ }2 ,k kπ ∈ℤ . Considere ( ) 4: ;f f b b→ =ℝ ℝ . Então podemos considerar: ( ){ }2:[0, ) ;f g h k kπ∞ − ∈ →� � ℤ ℝ ; Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 253 ( ) ( )( ) ( )f g h x f g h x f g x= = =� � � � ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 sec secf g x f x x F x = = = = . Exercício 50. Considere a seguinte tabela. Utilize a tabela para determinar os seguintes valores. a) ( )( )1f g ; b) ( )( )1g f ; c) ( )( )1f f ; d) ( )( )1g g ; e) ( )( )3g f� ; f) ( )( )6f g� . Resolução. a) Vemos que: ( )1 6g = e que ( )6 5f = , então ( )( ) ( )1 6 5f g f= = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 254 b) Vemos que: ( )1 3f = e que ( )3 2g = , então ( )( ) ( )1 3 2g f g= = . c) Vemos que: ( )1 3f = e que ( )3 4f = , então ( )( ) ( )1 3 4f f f= = . d) Vemos que: ( )1 6g = e que ( )6 3g = , então ( )( ) ( )1 3 6g g g= = . e) Vemos que: ( )3 4f = e que ( )4 1g = , então ( )( ) ( )( ) ( )3 3 4 1g f g f g= = =� . f) Vemos que: ( )6 3g = e que ( )3 4f = , então ( )( ) ( )( ) ( )6 6 3 4f g f g f= = =� . Exercício 51. Considere os seguintes gráficos para f e g. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 255 Determine o valor da expressão ou determine por que não estão definidas. a) ( )( )2f g b) ( )( )0g f c) ( )( )0f g� d) ( )( )6g f� e) ( ) ( )2g g −� f) ( ) ( )4f f� Resolução. a) Temos ( )2 5g = e ( )5 4f = , então ( )( ) ( )2 5 4f g f= = . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 256 b) Temos ( )0 0f = e ( )0 3g = , então ( )( ) ( )0 0 3g f g= = . c) Temos ( )0 3g = e ( )3 0f = , então ( )( ) ( )0 3 0f g f= = . d) Temos ( )6 6f = e ( )6g = ∃ , pois 6 não pertence ao domínio de g. Então ( )( )6g f� não pode ser calculado. e) Temos ( )2 1g − = e ( )1 4g = , então ( )( ) ( )2 1 4g g g− = = . f) Temos ( )4 2f = e ( )2 2f = − , então ( )( ) ( )4 2 2f f f= = − . Exercício 52. Considere os seguintes gráficos para f e g. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 257 Determine ou estime os valores de ( )( )f g x para: 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5x = − − − − − . Use esses valores para esboçar o gráfico de f g� . Resolução. Vamos escrever valores aproximados, pois a impressão do quadro que mostra os gráficos sofre alterações de posição em cada exemplar do livro impresso. Para 5x = − , os gráficos mostram que: ( )5 0.2g − = − e ( )0.2 3.9f − = − . Então ( ) ( ) ( )( )5 5 3.9f g f g− = − = −� . Para 4x = − , os gráficos mostram que: Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 258 ( )4 1.2g − = e ( )1.2 3.1f = − . Então ( ) ( ) ( )( )4 4 3.1f g f g− = − = −� . Para 3x = − , os gráficos mostram que: ( )3 2.2g − = e ( )2.2 1.5f = − . Então ( ) ( ) ( )( )3 3 1.5f g f g− = − = −� . Para 2x = − , os gráficos mostram que: ( )2 2.7g − = e ( )2.7 0.5f = − . Então ( ) ( ) ( )( )2 2 0.5f g f g− = − = −� . Para 1x = − , os gráficos mostram que: ( )1 3.0g − = e ( )3.0 0.2f = − . Então ( )( ) ( )( )1 1 0.2f g f g− = − = −� . Para 0x = , os gráficos mostram que: ( )0 2.8g = e ( )2.8 0.4f = − . Então ( )( ) ( )( )0 0 0.4f g f g= = −� . Para 1x = , os gráficos mostram que: ( )1 2.3g = e ( )2.3 1.7f = − . Então ( )( ) ( )( )1 1 1.7f g f g= = −� . Para 2x = , os gráficos mostram que: ( )2 1.2g = e ( )1.2 3.1f = − . Então ( ) ( ) ( )( )2 2 3.1f g f g= = −� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 259 Para 3x = , os gráficos mostram que: ( )3 0.2g = − e ( )0.2 3.9f − = − . Então ( ) ( ) ( )( )3 3 3.9f g f g= = −� . Para 4x = , os gráficos mostram que: ( )4 2g = − e ( )2 2f − = − . Então ( ) ( ) ( )( )4 4 2f g f g= = −� . Para 5x = , os gráficos mostram que: ( )5 4.1g = − e ( )4.1 1.9f − = . Então ( ) ( ) ( )( )5 5 1.9f g f g= =� . Temos os pares ordenados ( ), ( ( ))a f g a : ( )5, 3.9− − , ( )4, 3.1− − , ( )3, 1.5− − , ( )2, 0.5− − , ( )1, 0.2− − , ( )0, 0.4− , ( )1, 1.7− , ( )2, 3.1− , ( )3, 3.9− , ( )4, 2− e ( )5,1.9 . Inserimos esses pares ordenados o Geogebra. Depois utilizamos o comando RegressãoPolinomial[{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K},7}. O Geogebra determina a função polinomial de grau 7 cujo gráfico melhor aproxima os pontos. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 260 Exercício 53. Considere que a queda de uma pedra num lago com superfície bem calma gere ondas circulares que se espalhem a 60 centímetros por segundo. a) Expresse o raio dos círculos das ondas em função do tempo. b) Considere que A é a área dos círculos em função do raio, determine A r� e interprete seu significado. Resolução. a) Como as ondas se espalham a 60 cm/s, os raios crescem linearmente segundo a lei ( ) 60r t t= ⋅ , onde t é dado em segundos. Após um segundo o raio da primeira onda é de 60 cm, depois de 2 segundos o raio da onda é de 120 cm, e assim por diante. b) Se a área de um círculo de raio r é 2A rπ= , então podemos calcular a composição A r� . Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 261 ( ) ( ) ( )2 2( ) ( ) 60 3600A r t A r t t tπ π= = =� . Como o raio depende do tempo, a área também depende do tempo. A expressão anterior é a expressão dessa dependência, ela fornece a área do círculo delimitado pela onda em função do tempo em segundos. Exercício 54. Considere que um balão idealmente esférico é inflado e que seu raio cresça a uma taxa de 2 centímetros a cada segundo. a) Determine a expressão do raio do balão em função do tempo em segundos. b) Sendo V a expressão do volume do balão esférico em função de seu raio, determine a composição V r� e explique seu significado. Resolução. a) Se a taxa de crescimento é de 2 cm/s, a dependência do raio em função do tempo é linear, temos que ( ) 2r t t= centímetros. b) Temos que o volume do balão esférico é 3 4 3 V rπ= . Podemos calcular a composta: ( ) ( ) ( )34( ) V ( ) 2 3 V r t r t tπ= =� . Temos, assim, ( ) 332 3 V t tπ= . Essa é a expressão do volume do balão em função do tempo. Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM professorrui@hotmail.com Página 262 Exercício 55. Considere que um navio siga rota paralela a costa com velocidade constante de 30 quilômetros por hora e sempre a 6 quilômetros da costa. Admita que a costa marítima seja uma reta perfeita e que o navio passa por um farol ao meio dia. (obs. na verdade o navio passa pela perpendicular à costa que passa pela posição do farol). a) Determine a distância s entre o farol e o navio em função da distância d que o navio percorreu desde o meio dia, ou seja, encontre ( )s f d= . b) Determine d em função de t, ou seja, ( )d g t= . c) Determine a composta f g� e explique o significado dessa composição. Resolução. b) A distância que o navio percorre após o
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