Preparação2_AP2_tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2015
Gabarito da 2a Semana de Preparac¸a˜o para a AP2
Questa˜o 1: Encontre a integral de:
a)
∫
x3 − 2x+ 3 dx b) ∫ ( 2x + 3x2 ) dx
c)
∫
x+ e3x dx d)
∫
5x
1+3x2
dx
e)
∫
x
√
1 + x2 dx f)
∫
x3ex
2
dx.
Soluc¸a˜o: a)
∫
x3 − 2x+ 3 dx = x44 − x2 + 3x+K.
b)
∫ (
2
x +
3
x2
)
dx = 2 ln(x)− 3x +K.
c)
∫
x+ e3x = x
2
2 +
e3x
3 +K.
d)
∫
5x
1+3x2
dx = 56 ln
(
3x2 + 1
)
+ K, sugesta˜o chame de u = 1 + 3x2 ⇒ du = 6x dx e veja que∫
5x
1+3x2
dx = 56
∫
6x
1+3x2
dx.
e)
∫
x
√
1 + x2 dx = 13
(
x2 + 1
)3/2
+K. Sugesta˜o: chame de u = 1 + x2.
f)
∫
x3ex
2
dx, chame de u = x2 ⇒ du = 2xdx enta˜o ∫ x3ex2 dx = 12 ∫ 2xx2ex2 dx = 12 ∫ ueu du agora
fac¸a integrac¸a˜o por partes fazendo f = u ⇒ f ′ = du e g′ = eudu ⇒ g = eu enta˜o 12
∫
ueu du =
1
2e
u(u− 1) e por voltar para a varia´vel inicial temos ∫ x3ex2 dx = 12ex2 (x2 − 1)+K.
Questa˜o 2: Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre os gra´ficos de y = x e y = x2, com
0 ≤ x ≤ 2.
Soluc¸a˜o: Queremos determinar a a´rea da regia˜o, para isso vamos determinar os pontos de intersec¸a˜o,
isto e´,
x = x2 ⇔ x2 − x = x(x− 1) = 0⇔ x = 0 ou x = 1.
Fazendo o gra´fico temos
1
Figure 1: Regia˜o entre y = x e y = x2
Logo a a´rea da regia˜o e´ dado por
A =
∫ 1
0
x− x2 dx+
∫ 2
1
x2 − x dx
=
[
x2
2
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− x
2
2
]2
1
=
1
2
− 1
3
+
8
3
− 4
2
− (1
3
− 1
2
) = 1.
Questa˜o 3: O carro A esta´ indo na direc¸a˜o oeste a 70 km/h e o carro B esta´ indo para o norte a
90 km/h. Ambos esta˜o se dirigindo para a intersec¸a˜o das duas estradas. A que velocidade os carros
esta˜o se aproximando um do outro quando o carro A esta´ a 0, 3 km e o carro B esta´ a 0, 4 km da
intersec¸a˜o?
Soluc¸a˜o: Fazendo o esquema temos
Veja que no esquema se x representa a distaˆncia do carro A ate´ o cruzamento e y a distaˆncia
do carro B ate´ o cruzamento das vias. Enta˜o a distaˆncia entre os carros e´ dado por Dis(x, y) =√
x2 + y2. E queremos determinar a velocidade que dois carros se aproximam em um determinado
2
momento. Queremos derivar Dis(x, y) em func¸a˜o do tempo, isto e´, dDisdt , mas
dx
dt = −70 e dydt = −90
e Dis(0, 3, 0, 4) = 0, 5, enta˜o derivando Dis em func¸a˜o de t e pensando x = x(t) e y = y(t), usando a
regra da cadeia temos
dDis
dt
=
x(t)x′(t) + y(t)y′(t)√
x(t)2 + y(t)2
=
x(t)x′(t) + y(t)y′(t)
Dis(x, y)
=
0.3× (−70) + 0, 4× (−90)
0, 5
= −114 km/h.
Isto quer dizer que, nesse instante, esta˜o se aproximando a velocidade de 114 km/h.
Questa˜o 4: Calcule a a´rea entre os gra´ficos de yA = 2x− x2 e yB = x2.
Soluc¸a˜o: igualando yA = yB obtemos 2x
2 − 2x = 0⇒ x = 1 e 0. E claramente yB ≤ yA, e portanto,
para calcular a a´rea basta fazer
A´rea =
∫ 1
0
yA − yB dx =
∫ 1
0
2x− 2x2 dx =
[
x2 − 2
3
x3
]1
0
=
1
3
.
3