Aula - Derivadas parciais - máximos e mínimos

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Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 
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Máximos e Mínimos para funções de várias variáveis 
 
Se f(x,y) for uma função de duas variáveis, dizemos que f(x,y) tem um máximo 
relativo quando x = a e y = b se f(x,y) é no máximo igual a f(a,b) sempre que x estiver 
perto de a e y estiver perto de b. Geometricamente, o gráfico de f(x,y) tem um pico no 
ponto (x, y) = (a,b). Analogamente dizemos que f(x,y) possui um mínimo relativo 
quando x = a e y = b se f(x,y) é no mínimo igual a f(a,b) sempre que x estiver perto de a 
e y estiver perto de b. Geometricamente, o gráfico de f(x,y) tem um poço cujo fundo 
ocorre em (x, y) = (a, b). 
 
 
 
Suponha que a função f(x, y) tenha um mínimo relativo em (x, y) = (a, b). 
Quando y for mantido constante em b, f(x, y) é uma função de x com um mínimo 
relativo em x = a. Portanto a reta tangente à curva z = f(x, y) é horizontal em x = a e sua 
inclinação é zero. Logo 
 
��
�� = 0 
 
Da mesma forma, quando x é mantido constante em a, f(x, y) é uma função de y 
com um mínimo relativo em y = b. Por isso, sua derivada em relação a y é zero em y = 
b. Assim 
 
��
�� = 0 
 
 
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Considerações análogas se aplicam no caso de máximo relativo. Portanto: 
 
Testa da derivada primeira para funções de duas variáveis: Se f(x,y) tem um 
máximo ou mínimo relativo em (x, y) = (a, b), então: 
��
�� (�, 	) = 0 
e 
��
�� (�, 	) = 0 
Obs.: 
•••• Um máximo ou mínimo relativo pode ou não ser um máximo ou mínimo 
absoluto. 
•••• O ponto (a,b) é chamado de PONTO CRÍTICO. 
 
Exemplo1: Determine o ponto crítico da função �(�, �) = 3�
 − 4�� + 3�
 + 8� −
17� + 30 que possui gráfico semelhante à figura anterior. (perceba que esse ponto é um 
mínimo relativo) 
(lousa) 
 
Exemplo2: Um monopolista comercializa um produto em dois países e pode cobrar 
preços diferentes em cada país. Sejam x o número de unidades a serem vendidas no 
primeiro país e y o número de unidades a serem vendidas no segundo. Devido às leis da 
demanda, o monopolista precisa fixar o preço em �� = 97 − ��� dólares no primeiro país 
e em �
 = 83 − �
� dólares no segundo, para vender todas as unidades. O custo na 
produção desses unidades é de �(�, �) = 20000 + 3(� + �). Encontre os valores de x e 
y que maximizam o lucro. 
(lousa) 
 
 
 
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Exercícios: 
(1) Seja �(�, �) = �
 + �
 − 2� − 6� + 14. Sabendo que a curva é um paraboloide 
com um ponto crítico de mínimo, utilize o teste da primeira derivada e encontre as 
coordenadas de seu ponto. 
 
(2) Encontre todos os pontos em que a função tem um possível máximo ou mínimo 
relativo. 
(a) �(�, �) = �
 − 3�
 + 4� + 6� + 8 
(b) �(�, �) = �� + �
 − 3� + 6� 
 
 
 
 
Teste da segunda derivada 
 
Exemplo3: Determine os valores extremos de �(�, �) = �
 − �
 
 
(lousa) 
 
 
Teste da segunda derivada para funções de duas variáveis: Sejam f(x, y) uma função 
e (a, b) um ponto crítico de f(x, y). Seja 
� = �(�, 	) = ���(�, 	)���(�, 	) − ����(�, 	) 
 
 
(a) se D > 0 e ��� > 0, então f(a, b) é um mínimo local. 
(b) se D > 0 e ��� < 0, então f(a, b) é um máximo local. 
(c) se D < 0, então f(a, b) não é mínimo local nem máximo local. (esse ponto recebe o 
nome de ponto de sele de f) 
(d) se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser tirada desse teste. 
 
 
 
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Obs.: Para lembrar a fórmula de D é útil recorrer a uma Determinante 
 
� = #��� ������ ���# = ������ − $���%
 
 
Exemplo4: Analise os pontos críticos da função �(�, �) = �& + �& − 4�� + 1 
(lousa) 
 
 
Exemplo 5: Uma estação retransmissora de televisão atende as cidades A, B e C, cujas 
posições relativas são mostradas na figura abaixo. Determine onde a estação deve estar 
localizada para que a soma dos quadrados das distâncias a cada cidade seja minimizada. 
 
 
 
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Exemplo 6: Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m² de papelão. 
Determine o volume máximo de tal caixa. 
(lousa) 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
(1) Use o teste da segunda derivada e classifique os pontos críticos das funções 
abaixo: 
(a) �(�, �) = �� − �
 − 12� + 6� + 5 
(b) �(�, �) = 2�
 + 3�� + 5�
 
(c) �(�, �) = �� − 2�� + 4� 
 
(2) A receita total semanal (em dólares) da Acrosonic obtida na produção e na venda de 
sistemas de alto-falantes portáteis é dada pela função 
((�, �) = −14�

 − 38�

 − 14�� + 300� + 240� 
 
onde x denota o número de unidades completamente montadas e y denota o número de 
kits produzidos e vendidos por semana. O custo total semanal em razão da produção 
desses sistemas de alto-falantes é, em dólares, dado pela função 
�(�, �) = 180� + 140� + 5000 
 
onde x e y tem o mesmo significado anteriormente. Determine quantas unidades 
montadas e quantos kits a Acrosonic deve produzir semanalmente para maximizar seu 
lucro (Lembre-se que a função Lucro = Receita – Custo).