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Unifal - Funções Matemáticas - Profa. Thais Gama (setembro/2009) 
 
 
Lista de exercícios - Derivadas e aplicações 
 
• Taxas relacionadas 
 
1) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o 
seu volume seja 2500 m3. O material da base vai custar R$ 1200,00 por m2 e o 
material dos lados R$ 980,00 por m2. Encontre as dimensões da caixa de modo 
que o custo do material seja mínimo. 
 
2) O carro A está viajando rumo oeste a 50 mi/h e o carro B está viajando rumo sul 
a 60 mi/h. Ambos estão se dirigindo para a intersecção de duas estradas. A que 
taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 
milha e o carro B está a 0,4 milha da intersecção? (1milha = 1,6km) 
 
3) Se dois resistores com resistência R1 e R2 estão conectados em paralelo, como 
na figura abaixo, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por 
21
111
RRR
+= . Se R1 e R2 estão crescendo à taxa de 0,3 Ω/s e 0,2 Ω/s, 
respectivamente, quão rápido está variando R quando R1=80 Ω e R2=100 Ω? 
 
4) A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás comprimida a uma 
temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV=C, 
onde C é uma constante. Suponha que num certo instante o volume é 600 cm3, a 
pressão é 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa está 
crescendo o volume nesse instante? 
 
• Derivação implícita, paramétrica e inversa 
 
Derive as funções abaixo: 
 
5) yeyxyx 42 1)3cos( −=−
 
6) 
yx
yxy +
−=3 
 
7) ⎩⎨
⎧ ∈+=
−=
Rt
tty
ttx
5)(
12)(
3
 
8) 
⎩⎨
⎧
=
=
)(8)(
)(cos8)(
3
3
tsenty
ttx
 
9) Determine a derivada da inversa da função y=f(x)=x3, x>0, usando o teorema da 
derivada inversa. 
 
• Diferencial 
 
10) Compare os valores de ∆y e dy se f(x) = x3+x2-2x+1 se x variar de 2 para 2,01. 
 
11) Use diferenciais para estimar o número dado: 
 
a) 1,36 b) 
1,10
1 c) sec(0,08) 
 
 
• Máximos e mínimos (esboço de gráficos) 
 
Nos exercícios abaixo, encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento 
e decrescimento. Por fim, esboce o gráfico de cada função. 
 
12) f(x) = 3x4-8x3+6x2+5 
 
13) 
5
2
−= x
xy 
 
14) 2
2
4
4)(
x
xxy −
+= 
 
15) ⎩⎨
⎧
−>−
−≤+=
2,2
2,4
)( 2 xsex
xsex
xg
 
Gabarito 
 
1) x=15,983 y=9,785 (aproximadamente!) 
2) 78mi/h 
3) 0,132 ohms/s 
4) 80 cm3/min 
5) yeyxsenx
yxy
dx
dy
42 4)3(3
)3cos(2
++
+−= 
6) 
143
1
32
3
++
−=
yxy
y
dx
dy 
7) 
2
3 2t
dx
dy = 
8) 0,
2
),( ≠≠−= ttttg
dx
dy π 
9) 
23 )(3
1)('
y
yg = 
10) ∆y=0,140701, dy=0,14 
11) a) 6,0083 b) 0,099 c) 1 
 
Os exercícios de 12 a 15 serão corrigidos em sala de aula na próxima semana 
antes da prova 1. 
 
 
 
Bom estudo! ☺