Tarefa 2 Mat020 Adendo (1#2013)

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ADENDO À TAREFA 2 
 
Faremos um estudo particular dos dois sistemas de financiamento: o Financiamento 
Price e o Financiamento SAC. 
 
Usaremos apenas três fórmulas básicas: 
 
1k k kS S Pϕ −= − 1k k kA S S−= − 1( 1)k k kP A Sϕ −= + − 
 
Financiamento Price 
 
Neste financiamento vimos que as prestações são constantes, todas iguais a P, em que, 
 
( 1)
1
n
n
CP ϕ ϕ
ϕ
−
=
−
. 
 
Veremos como as amortizações se comportam e também o saldo devedor. Temos, 
 
1
( 1)( 1)
1n
CA P C ϕϕ
ϕ
−
= − − =
−
. 
 
Mostraremos agora a propriedade notável da seqüência das amortizações. 
 
1 1 1[ ( 1) ] [ ( 1) ] ( 1)k k k k k k kA A P S P S S S Aϕ ϕ ϕ+ − −− = − − − − − = − = − . 
 
Logo, 
 
1k kA Aϕ+ = . 
 
Ou seja, as amortizações formam seqüência em progressão geométrica de razão ϕ . 
 
Como A1 > 0, temos que todas as amortizações são positivas e crescem em progressão 
geométrica cuja razão é exatamente o fator de juros. 
 
Uma indução simples nos mostra que o saldo devedor no Financiamento Price se 
expressa pela seguinte fórmula: 
 
11
1
k
k nS C
ϕ
ϕ
 
−
= − 
− 
. 
 
Temos ainda que o preço do Financiamento Price é obtido pela fórmula: 
 
1
( 1) 1
1
nn
k n
k
np P C nP C C ϕ ϕ
ϕ
=
 
−
= − = − = − 
− 
∑ . 
 
 
 
 2 
Financiamento SAC 
 
Neste financiamento as amortizações são constantes: k
CA A
n
= = ∀ k = 1, 2,..., n. 
Vamos analisar o comportamento da seqüência das prestações Pk, k = 1, 2,..., n. 
 
Temos, 
 
1 ( 1) ( 1)
CP A C C
n
ϕ ϕ= + − = + − . 
 
Obtemos agora a diferença entre duas prestações consecutivas: 
 
1 1[ ( 1) ] [ ( 1) ] ( 1) ( 1)k k k k
CP P A S A S A
n
ϕ ϕ ϕ ϕ+ −− = + − − + − = − − = − − . 
 
Logo, notavelmente, a seqüência das prestações forma uma progressão aritmética 
decrescente cuja diferença comum é ( 1) C
n
ϕ− − . 
 
Evidentemente o saldo devedor também decresce em progressão aritmética de diferença 
comum igual a CA
n
= . 
 
Calcula-se o preço deste financiamento através da soma de uma progressão aritmética, 
ou seja, 
 
1
1
( 1) 1( 1) ( 1)
2 2
n
k
k
C n n np P C nP C C
n
ϕ ϕ
=
− +
= − = − − − = −∑ . 
 
 
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