Lista 11 - C2

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Ca´lculo II - Lista 11
1. Calcule as seguintes integrais iteradas:
(a)
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
(x+ y) dx dy;
(b)
∫ pi/4
0
∫ cos θ
0
3 r2senθ dr dθ.
2. Escreva a integral dupla nas duas ordens de integrac¸a˜o e use a mais
conveniente para calcular a integral . Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
(a)
∫∫
R
y
x2 + y2
dA, R : triaˆngulo limitado por y = x, y = 2x e x = 2;
(b)
∫∫
R
−2y ex dA, R : regia˜o limitada por y = 4− x2 e y = 4− x;
(c)
∫∫
R
x dA, R : setor circular limitado por y =
√
25− x2, 3x+ 4y = 0
e y = 0
(d)
∫∫
R
(x+ y) dA, R : semic´ırculo limitado por y =
√
4− x2 e y = 0.
3. Usando integral dupla, calcule o volume do so´lido limitado pelas equac¸o˜es
dadas:
(a) z = x y, z = 0, y = x e x = 1 no 1◦ octante;
(b) x2 + z2 = 1, y2 + z2 = 1 no 1◦ octante.
4. (a) Use coordenadas polares para calcular a integral
∫∫
R
(x2+y2) dA,
R : a regia˜o anular localizada entre os c´ırculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 5;
1
(b) Use coordenadas polares para calcular o volume do so´lido limitado
acima por z =
√
16− x2 − y2 e abaixo por x2 + y2 ≤ 4;
(c) Calcule a integral tripla iterada
∫ 1
0
∫ x
0
∫ xy
0
x dz dy dx;
(d) Usando integral tripla, calcule o volume do elipso´ide
4x2 + 4y2 + z2 = 16.
5. (a) Usando coordenadas cil´ındricas calcule a integral tripla∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 4
x2+y2
x dz dy dx;
(b) Usando coordenadas esfe´ricas calcule o volume do so´lido limitado
acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 9 e abaixo pelo cone z2 = x2 + y2, z ≥ 0.
2