Lista 7 - C2

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Ca´lculo II - Lista 7
1. Sejam f(x, y) = ex sen(y) e (x0, y0) =
(
0,
pi
4
)
.
(a) Mostre que f e´ diferencia´vel em (x0, y0);
(b) Encontre a linearizac¸a˜o L(x, y) de f em (x0, y0). Compare os valores
de L(x, y) e f(x, y) no ponto (0.2, 0.68).
2. Considere a func¸a˜o f e o ponto (x0, y0) dados na questa˜o 1.
(a) Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a da reta nornal ao gra´fico de
f no ponto (x0, y0);
(b) Se (x0, y0) varia ate´ o ponto (0.2, 0.68), calcule o diferencial dz e o
acre´scimo ∆z de f em (x0, y0). Compare os resultados obtidos;
(c) Descreva a diferenc¸a entre dz e de ∆z para uma func¸a˜o f(x, y) qual-
quer.
3. Justifique sua respostas para as seguintes perguntas:
(a) Disseram-lhe que existe uma func¸a˜o f(x, y) com derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) descont´ınuas em (x0, y0), que e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Voceˆ deve acreditar nisso?
(b) Toda func¸a˜o descont´ınua na˜o e´ diferencia´vel?;
(c) Existe um plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) =

x y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0);
0 se (x, y) = (0, 0).
no ponto (0, 0, 0)?
1
(d) Para algumas superf´ıcies, a reta normal em quaisquer de seus pontos
passa por um mesmo objeto geome´trico. Qual e´ o objeto comum para a
esfera?
4. (a) Seja z = f(x, y) com x = x(t) e y = y(t). Enuncie a regra
da cadeia para calcular
dz
dt
. Aplique a regra na func¸a˜o z = ln
(y
x
)
com
x = cos(t) e y = sen(t);
(b) Seja z = f(x, y) com x = x(s, t) e y = y(s, t). Enuncie a regra da
cadeia para calcular
∂z
∂s
e
∂z
∂t
. Aplique a regra na func¸a˜o z = sen(2x + 3 y)
com x = s+ t e y = s− t.
5. (a) Descreva a diferenc¸a entre a forma expl´ıcita e a forma impl´ıcita
de uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y. Deˆ um exemplo em cada caso;
(b) Se F (x, y) = 0, enuncie a regra da cadeia para calcular implici-
tamente
dy
dx
. Se F (x, y, z) = 0, enuncie a regra da cadeia para calcular
implicitamente
∂z
∂x
e
∂z
∂y
. Deˆ um exemplo em cada caso.
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