Lista 10 - C2

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Ca´lculo II - Lista 10
1. Para as func¸o˜es abaixo, calcule todas as derivadas de 2a ordem:
(a) f(x, y) =
√
x2 + y2; (b) f(x, y) = ln(x− y);
(c) f(x, y) = 2x ey − 3 y e−x; (d) f(x, y) = sen(x− 2 y).
2. Para as func¸o˜es abaixo, mostre que as derivadas mistas
∂3f
∂y2∂x
,
∂3f
∂y∂x∂y
e
∂3f
∂x∂y2
sa˜o iguais.
(a) f(x, y, z) = e−xsen(yz); (b) f(x, y) =
2 z
x + y
.
3. Mostre que a func¸a˜o dada satisfaz a equac¸a˜o diferencial indicada.
(a) Equac¸a˜o de Laplace:
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0;
func¸a˜o: z = ex sen(y)
(b) Equac¸a˜o da onda:
∂2z
∂t2
= c2
∂2z
∂x2
; c 6= 0;
func¸a˜o: z = sen(ω c t) sen(ω x).
(b) Equac¸a˜o do calor:
∂z
∂t
= c2
∂2z
∂x2
; c 6= 0;
func¸a˜o: z = e−t cos
(x
c
)
.
4. (a) Defina cada um dos seguintes conceitos para uma func¸a˜o de duas
varia´veis:
(i) Ma´ximo relativo e mı´nimo relativo;
1
(ii) Ponto cr´ıtico e ponto de sela.
(b) Enuncie o teste das derivadas parciais de 2a ordem para extremos
relativos e pontos de sela.
5. Encontre os extremos relativos das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) = −x3 + 4x y − 2 y2 + 1; (b) f(x, y) = x2 y2.
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