Introducao_a_Vetores

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Introdução a Vetores
Vetores no plano e no espaço
Prof.ª Bruna Fabris
Geometria Analítica e Álgebra Linear
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O que é um Vetor?
Objeto Matemático
Um vetor é definido por 
magnitude e direção.
Representação Gráfica
É visualizado como uma seta.
Grandezas Vetoriais
Exemplos incluem velocidade e força.
Vetores diferem de escalares, que possuem 
apenas magnitude. Eles são cruciais para 
descrever grandezas físicas.
Grandezas Escalar
São grandezas que necessitam apenas um 
valor para que fiquem bem definidas
Exemplos: massa, tempo, área etc.
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Conceitos Fundamentais
Magnitude - Módulo
O comprimento do vetor.
Direção
A linha ao longo da qual atua.
Sentido
A orientação na direção (ex: cima/baixo).
Segmento
Qualquer trecho de uma reta.
Vetor
Grandeza com modulo, direção e
sentido
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Segmento Orientado: A Base 
do Vetor
Segmento de 
Reta
Ponto Inicial e 
Final
Equipolência
Um segmento orientado é um segmento de reta com um ponto inicial e um 
final. Segmentos equipolentes representam o mesmo vetor.
Segmento Nulo Segmentos Opostos
A extremidade coincide com a 
origem
Segmentos na mesma
direção, mas para lados
contrários
Segmento de Reta: AB
Módulo: |AB|
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Assimilando
Para entender facilmente essa questão imaginando a reta numérica. Imagine uma pessoa que está na origem (ponto 
zero) e caminha até o ponto 5, ela andou 5 espaços. Se ela sai da origem e anda até o ponto –5, ela também andou 5 
espaços, ou seja, o módulo ou distância da caminhada é 5.
Em resumo, módulo é a distância de um ponto até outro ponto em qualquer direção.
0 5-5
X
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Assimilando
Direção: A direção do segmento orientado AB pode ser compreendida ao observarmos a inclinação da reta r que 
passa por A e B, sobre a qual o segmento orientado se encontra. Ela pode ser horizontal, vertical ou
inclinada.
Pode estar sobre o eixo X, Y ou inclinada.
0 5-5
X
5
5
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Assimilando
Observe o segmento AB da Figura 2.5. Agora suponha que ele seja o trajeto de decolagem de um avião. Podemos, 
então, dizer que sua direção é inclinada 46,08°em relação à pista de decolagem.
X
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Assimilando
Sentido: Definimos o sentido do segmento AB a partir da origem para a extremidade, ou seja, AB é de A para B e BA
é de B para A.
0 5-5
X
5
5
A
B
AB tem sentido
de sudoeste para nordeste.
BA tem sentido
de nordeste para sudoeste.
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Representação Matemática 
de Vetores
Em 2D
(x, y) ou xi + yj
Em 3D
(x, y, z) ou xi + yj + zk
Norma
√(x² + y²) (2D) ou √(x² + y² + z²) (3D)
Vetores podem ser representados como vetores coluna ou linha. A norma 
representa a magnitude do vetor.
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Representação Segmento orientado
Suponha uma reta r e um segmento AB sobre r, conforme a figura
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Representação Segmento orientado
Suponha uma reta r e um segmento AB sobre r, conforme a figura
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Representação Segmento orientado
Segmentos opostos: dizemos que o segmento AB tem seu oposto o segmento BA pois possui mesmo modulo e 
mesma direção mas sentidos opostos.
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Representação Segmento orientado
Segmentos equipolentes: possuem mesmo modulo, direção e sentido. Se esses seguimentos forem ambos nulos, 
também são chamados de equipolentes. 
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Representação Segmento orientado
Segmentos equipolentes: Estes segmentos podem pertencer à mesma reta ou não. Se os segmentos orientados AB
e CD não pertencem à mesma reta, como na Figura 2.8, para que AB seja equipolente a CD, é necessário que AB// CD
e BD // AC, ou seja, ABDC deve ser um paralelogramo.
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Representação Segmento orientado
Define-se o vetor por uma classe de equipolência de seguimentos orientados, ou seja, um conjunto de seguimentos
orientados que possuem mesmo modulo, direção e sentido. 
Assim, um seguimento orientado, ele determina um vetor e todos os segmentos que compõe esse conjuntos são
representados pelo mesmo vetor.
Se qualquer um desses vetores do 
conjunto seja o seguimento AB, 
então todos os outros segmentos
desse conjunto são representantes
de AB, pois todos tem o mesmo
modulo, direção e sentido.
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Casos particulares
Vetor nulo
Representado por 0, o vetor nulo
tem a origem coincidindo com
a sua extremidade
Vetores paralelos
Indicados por X//Y dois vetores
paralelos tem a mesma direção, 
não necessariamente tendo o
mesmo modulo nem o mesmo
Sentido.
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Operações: Adição e Subtração
Método do Paralelogramo
Visualização gráfica da soma de 
vetores.
Método do Polígono
Outra forma de visualizar a soma de 
vetores.
Componente a Componente
Adição/subtração realizada nas 
componentes.
A adição de vetores é comutativa e associativa. Existem diferentes métodos para realizar essa operação.
O que são VETORES?
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Exemplos Práticos
1 Deslocamento
Movimento como vetor.
2 Forças
Análise em equilíbrio.
3 Velocidade
Avião com vento.
4 Robótica
Controle de movimentos.
Vetores são aplicados para descrever deslocamentos, forças e velocidades. Eles também 
são usados no controle de robôs.
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Exercícios
Observe a Figura 2.9 e responda:
a) As retas b, c e d têm a mesma inclinação? Por quê?
b) Apresente pelo menos dois segmentos orientados determinados a
partir de A, B e C.
c) Apresente pelo menos dois segmentos orientados opostos.
d) Apresente pelo menos dois segmentos orientados equipolentes.
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Exercícios
Observe a Figura 2.10 e responda:
a) AB e CD são segmentos opostos?
b) AB e CD são segmentos de módulos iguais, direção e sentidos
diferentes?
c) AB e GH são segmentos de mesmo módulo, direção e sentido?
d) GH e OP são segmentos equipolentes?
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Exercícios
1. Marque a alternativa que contém uma grandeza vetorial:
a) A massa de uma bola de basquete.
b) O espaço-tempo percorrido para ir de uma cidade a outra.
c) A força necessária para levantar um objeto de 60 kg.
d) A densidade da água.
e) A temperatura corporal de uma criança em estado febril.
2. Sobre segmentos equipolentes, podemos afirmar que eles têm:
a) A mesma direção, o mesmo sentido e módulos diferentes.
b) Direções diferentes, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
c) A mesma direção, sentidos diferentes e o mesmo comprimento.
d) A mesma direção, o mesmo módulo e o mesmo comprimento.
e) A mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
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Exercícios
3. Das afirmações a seguir, verifique quais se referem a grandezas escalares
e quais a grandezas vetoriais:
I − Um jogo de futebol dura 90 minutos.
II − Um automóvel esportivo atinge a marca 200 km/h.
III − Para colocar uma caixa em uma prateleira é necessária uma força de
150 N.
IV − Aquela praça tem uma área de 300 m².
V − O deslocamento de um avião, em direção ao sul do país, foi de 1.720
km.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
a) Vetorial,vetorial, escalar, escalar, escalar.
b) Vetorial, escalar, escalar, vetorial, escalar.
c) Escalar, escalar, vetorial, escalar, escalar.
d) Vetorial, escalar, vetorial, vetorial, escalar.
e) Escalar, vetorial, vetorial, escalar, vetorial.
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